修理工休假的溫貯備可修系統(tǒng)的瞬時(shí)可用度分析*

張 靜，岳德權(quán)，王麗花

(燕山大學(xué)理學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

20世紀(jì)80年代開(kāi)始，很多學(xué)者開(kāi)始研究帶有溫貯備部件的可修系統(tǒng)，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1-7]，其在實(shí)際生活中，特別是在生產(chǎn)制造系統(tǒng)、電力系統(tǒng)和工業(yè)系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。例如，在生產(chǎn)制造系統(tǒng)中，可以有效的防治因失效的部件得不到及時(shí)的修理而造成的資源浪費(fèi)和生產(chǎn)效率的降低。Jain等[6]研究了帶有溫貯備部件和一個(gè)修理工N-策略休假的模型，利用Laplace變換反演的方法得到了系統(tǒng)可靠度和平均壽命的精確表達(dá)式，文中只考慮了矩陣的所有特征值全部互異的情況，有很大局限性；Wang等[7]研究了帶有止步和中途退出的帶有溫貯備的可修系統(tǒng)，利用Markov過(guò)程理論得到了系統(tǒng)可用度和首次故障前的平均時(shí)間的具體表達(dá)式，文中沒(méi)有考慮修理工休假的情況。

本文對(duì)文獻(xiàn)[6]中的方法進(jìn)一步研究，考慮了矩陣有相同特征值的情況，進(jìn)而研究了考慮止步現(xiàn)象的R個(gè)修理工進(jìn)行同步多重休假的有多個(gè)溫貯備部件的可修系統(tǒng)的瞬態(tài)結(jié)果，利用矩陣?yán)碚摵蚅aplace變換反演的方法求解出了系統(tǒng)故障狀態(tài)概率的精確表達(dá)式，從而得到了系統(tǒng)的瞬時(shí)可用度的精確表達(dá)式。

1 模型假定

本文研究了由m個(gè)同型工作部件、w個(gè)同型溫貯備部件和R個(gè)修理工組成可修系統(tǒng)。模型假定如下：

1)系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)有m個(gè)正在工作的部件。系統(tǒng)還可以退化模式工作：w個(gè)溫貯備部件全部故障，系統(tǒng)中有不少于k個(gè)但不多于m個(gè)部件工作時(shí)，系統(tǒng)工作。即當(dāng)且僅當(dāng)至少有R個(gè)部件失效時(shí)系統(tǒng)失效，k=1,2,…,m。

2)一旦工作部件故障立即用完好的溫貯備部件替換，故障部件立即送修，如果修理工正忙或是休假，故障部件需排隊(duì)等待修理。工作部件和溫貯備部件的壽命分別服從參數(shù)為λ和α的指數(shù)分布,1-b。

3)系統(tǒng)有R個(gè)修理工，修理時(shí)間均服從參數(shù)μ的指數(shù)分布。修理工一旦空閑進(jìn)行同步多重休假，休假時(shí)間服從參數(shù)θ(>0)的指數(shù)分布。一個(gè)修理工同時(shí)只能修理一個(gè)部件，修理順序服從先到先服務(wù)的原則。

4)當(dāng)正在工作的部件少于m個(gè)時(shí)，故障部件一旦修理完成立即進(jìn)行工作，即作為工作部件；否則，故障部件修理完成后作為溫貯備部件貯備；溫貯備部件一旦進(jìn)入系統(tǒng)工作相當(dāng)于工作部件。

5)故障部件以概率1-b止步，以概率N(t)進(jìn)入系統(tǒng)等待修理。止步的故障部件進(jìn)入系統(tǒng)的緩沖區(qū)，等到系統(tǒng)中的所有故障部件都修理完時(shí)，緩沖區(qū)中的部件按照到達(dá)的順序依次被修理。

6)部件間的轉(zhuǎn)換通過(guò)轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)來(lái)實(shí)現(xiàn)，轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)完全可靠，轉(zhuǎn)換是瞬時(shí)的；所有隨機(jī)變量均相互獨(dú)立；故障部件均可修復(fù)如新；初始時(shí)刻所有部件均完好。

注：當(dāng)P0i(t)時(shí)，系統(tǒng)是m個(gè)部件的并聯(lián)系統(tǒng)；當(dāng)t時(shí)，系統(tǒng)是m個(gè)部件的串聯(lián)系統(tǒng)。

2 瞬時(shí)可用度的研究

2.1 微分差分方程組

假設(shè)N(t)表示時(shí)刻t系統(tǒng)中故障部件的個(gè)數(shù)(包括正在被修理的部件)；J(t)表示時(shí)刻t修理工的狀態(tài)，定義如下

則{J(t),N(t),t≥0}是一個(gè)二維馬爾科夫過(guò)程。過(guò)程的狀態(tài)空間Ω={(0,0)}∪{(i,j):i=0,1;j=1,2,…,L}，其中，工作狀態(tài)空間W={(0,0),(0,1),…,(0,L-1),(1,1),…,(1,L-1)}；故障狀態(tài)空間F={(0,L),(1,L)}。

定義系統(tǒng)的狀態(tài)概率:

P0i(t)表示時(shí)刻t修理工在休假，系統(tǒng)中有i個(gè)部件失效的概率，i=0,1,…,L；

P1i(t)表示時(shí)刻t修理工在修理，系統(tǒng)中有i個(gè)部件失效的概率，i=1,…,L。

則由Markov過(guò)程理論得如下系統(tǒng)狀態(tài)概率滿(mǎn)足的微分差分方程組

(1)

n= 1,2,…,L-1

(2)

(3)

(4)

μn + 1P1n + 1(t) +λn-1P1n-1(t),n= 2,…,R-1

(5)

μn + 1P1n + 1(t) +λn-1bP1n-1(t),

n=R+ 1,…,L-1

(6)

μR + 1P1R + 1(t) +λR-1P1R-1(t)

(7)

(8)

其中

2.2 微分差分方程組的求解

定義系統(tǒng)的狀態(tài)概率向量P(t)=[P00(t),P01(t)…,P0L(t),P11(t),…,P1L(t)]T，對(duì)上述微分方程組求Laplace變換，將變換后的方程組寫(xiě)成矩陣形式

D(s)P*(s)=P(0)

(9)

其中，A2是第一行第一列元素為-μ1，其余元素全為0的(L+1)×L矩陣；

其中

把用P(0)代替D(s)的第L+1列、第2L+1列所得到的矩陣分別記為D1(s)和D2(s)。

引理1[6]令Dk+1表示k+1階的三對(duì)角矩陣，則其行列式為

|Dk+1|=dk+1k+1|Dk|-dk+1kdkk+1|Dk-1|,

k=1,2,…,n(n≥2)

(10)

其中

引理2

(11)

令S=-λ,則D(s)=D(-λ)=D(0)-λI=A-λI,因此有

|D(s)|=|A-λI|=(-1)N+L|λI-A|=

引理3

(12)

其中ΔL(s)是三對(duì)角矩陣A4的行列式。

該引理可由引理1的迭代公式求得。

引理4

其中，ΔL-1(s)是B4劃去第一列最后一行得到的矩陣的行列式，是三對(duì)角矩陣的行列式，可由引理1得出；Δi-1(s),i=1,2,…,L-1是ΔL-1(s)的i-1級(jí)順序主子式，也都是三對(duì)角形式的矩陣，可由引理1得出。

引理5

|D2(s)|=(-1)L+2θΔL-1(s)·L(s)

(13)

其中

i=1,2,…,L-3,

ΔL-1(s),xi(i=1,2,…,L-1)

由引理4給出。

顯然，det[B4]=(-1)L+2θΔL-1(s)。

由矩陣乘法得到

上式中最后一個(gè)行列式按最后一行展開(kāi)有

其中βi有引理中的形式。

因此，

定理1 系統(tǒng)處于失效狀態(tài)的概率為

(14)

(15)

其中

k=2,…,mn;

k=2,…,mn

其中

Fn(s)=an1+an2(s+rn)+…+anmn(s+rn)mn-1+(s+rn)mn·

n=1,2,…,i;

Fn′(s) =an1+an2(s+rn) + … +anmn(s+rn)mn -1+ (s+rn)mn·

n= 1,2,…,i

(16)

(17)

由文獻(xiàn)[9]，按照有多重極點(diǎn)的部分分式展開(kāi)法求解有

(18)

(19)

反演(18)和(19)式即得定理結(jié)論。

定理2 系統(tǒng)的瞬時(shí)可用度

(20)

證明由文獻(xiàn)[10]，系統(tǒng)的瞬時(shí)可用度

A(t) = 1-P0L(t)-P1L(t) =

當(dāng)t→∞時(shí)，對(duì)(20)式求極限，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度[10]，結(jié)果如下推論1。

推論1

1) 當(dāng)D(0)無(wú)零特征根時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度A=1；

2)當(dāng)D(0)有單重零特征根時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度

其中ri+1=0是D(0)的單重零特征根。

參考文獻(xiàn)：

[1]傅國(guó)強(qiáng)，楊文鵬.兩部件熱貯備系統(tǒng)的可靠性分析[J].西北紡織工業(yè)學(xué)報(bào)，1995,9(1): 42-48.

[2]吳清太.二部件溫貯備可修系統(tǒng)的可靠性分析[J].南昌大學(xué)學(xué)報(bào)，1999,23(3): 283-286.

[3]WANG K H,SIVAZLIAN B D. Reliability of a system with warm standbys and repairmen[J]. Microelectron Reliab,1989,29(5): 849-860.

[4]劉鳴，蘇保河.修理工多重休假兩部件冷貯備可修系統(tǒng)[J].石家莊鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)，1994,7(3): 47-52.

[5]岳德權(quán),祁洪娟,曹靜，等.修理工N-策略休假的帶有溫貯備的可修系統(tǒng)的可靠性分析[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2009,26(6): 1062-1068.

[6]JAIN M,MAHESHWARI R S. N-policy for a machine repair system with spares and reneging[J]. Applied Mathematical Modeling,2004,28(6): 513-531.

[7]WANG K H,KE J C. Probabilistic analysis of a repairable system with warm standbys plus balking and reneging[J]. Applied Mathematical Modeling,2003,27(4): 327-336.

[8]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].3版,北京:高等教育出版社,2003.

[9]湯全武,李德敏,陳曉娟.信號(hào)與系統(tǒng)[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2008.

[10]曹晉華,程侃.可靠性數(shù)學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,1986.