北江流域徑流時(shí)間序列的分形特征解析*

陶 謹(jǐn)，陳曉宏，汪麗娜，謝毅文

(1.中山大學(xué) 水資源與環(huán)境研究中心，廣東 廣州 510275；2.廣東省東莞市水務(wù)局,廣東 東莞523888；3 .華南地區(qū)水循環(huán)與水安全廣東省教育廳重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣東 廣州510275；4.華南師范大學(xué) 地理科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631；5. 東莞理工學(xué)院 化學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院， 廣州 東莞 523808)

徑流作為水文循環(huán)中重要的子要素，受多種因素的影響，加上人類(lèi)活動(dòng)的影響，使得徑流時(shí)間序列表現(xiàn)出高度的非線性、復(fù)雜性和不確定性的特征。因此，傳統(tǒng)的非線性方法很難將徑流時(shí)間序列的內(nèi)部表征進(jìn)行較為全面的描述和研究。但非線性動(dòng)力學(xué)的研究表明，一些看起來(lái)貌似隨機(jī)的過(guò)程實(shí)際并不是隨機(jī)的而是混沌的，具有某種內(nèi)在的分形特征。隨著混沌、分形理論引入到水文、氣象學(xué)科中，人們逐漸認(rèn)識(shí)到徑流時(shí)間序列并非是純隨機(jī)過(guò)程，今天的徑流量受到昨天的徑流信息量的影響，本文采用R/S分析方法證實(shí)徑流時(shí)間序列的長(zhǎng)程相關(guān)性。由于多重分形(也稱為分形測(cè)度) 研究的是一種物理量在一個(gè)支體或支集上的分布狀況[1]，利用多重分形理論可提供定量刻劃分形測(cè)度在支集上的分布狀況，多重分形理論被廣泛地應(yīng)用在金融、地震、氣象和水文上。本研究采用多重分形理論，進(jìn)一步探究徑流時(shí)間序列的分形性。

北江，是珠江的三大支流之一，分析北江流域控制站——石角站的徑流時(shí)間序列的分形特征，不僅為北江流域的水資源綜合利用提供理論依據(jù)，也為流域的可持續(xù)發(fā)展奠定研究基礎(chǔ)。因此，本研究以北江流域石角站為研究對(duì)象，根據(jù)1954-2006年的徑流資料序列，采用R/S分析方法和多重分形理論研究石角站53年各年年平均徑流量的分形特征。

1 研究方法

1.1 R/S方法和V統(tǒng)計(jì)計(jì)算方法

R/S方法:上世紀(jì)50年代，英國(guó)水文學(xué)專(zhuān)家Hurst在研究尼羅河的水庫(kù)流量與水庫(kù)儲(chǔ)存能力的關(guān)系時(shí)，提出一種R/S的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)分析方法[2-4]，從而給出了一種判別時(shí)間序列是否對(duì)時(shí)間有依賴的統(tǒng)計(jì)量[5-7]。在此基礎(chǔ)上，Hurst發(fā)現(xiàn)許多自然界現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)能很好的由有偏的隨機(jī)游走來(lái)刻畫(huà)，芒德勃羅特[8]也在上世紀(jì)60、70年代對(duì)此進(jìn)行了廣泛的探討，并把它們稱為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，目前，大家普遍稱之為分形時(shí)間序列[9]。

其基本原理和方法[10]一時(shí)間序列ξ(t),t=1,2,···,N，將它劃分為int[N/n]個(gè)，時(shí)間長(zhǎng)度為n的獨(dú)立時(shí)間序列，對(duì)于第m個(gè)時(shí)間序列樣本，時(shí)間序列的特征值如表1所示。

表1 時(shí)間序列的特征值

設(shè)一時(shí)間序列ξ(t),t=1,2,···,N，是相互獨(dú)立、方差有限的隨機(jī)序列，即布朗運(yùn)動(dòng)。赫斯特和費(fèi)勒證明了，如果存在：

R/S∝(n)H

(1)

則說(shuō)明所分析的時(shí)間序列存在赫斯特現(xiàn)象，H稱為赫斯特指數(shù)。假設(shè)R和S之間的正比系數(shù)為C，則：

lg(R/S)=lgC+Hlgn

(2)

利用最小二乘法回歸求出斜率，便是Hurst指數(shù)，即式(2)中H的值。

V統(tǒng)計(jì)值的計(jì)算方法:通過(guò)繪制lg(R/S)與lgn的圖形可以估計(jì)時(shí)間序列的非周期循環(huán)性，對(duì)于R/S分析的log/log圖，每一個(gè)循環(huán)的結(jié)尾，就是下一個(gè)循環(huán)的開(kāi)始，通過(guò)尋找圖中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，可以估計(jì)何處發(fā)生突變，進(jìn)一步可以估算出平均循環(huán)的長(zhǎng)度。V統(tǒng)計(jì)得計(jì)算方法，最初有Hurst在1951年用于檢驗(yàn)穩(wěn)定性，它可以給出更加精確的算出循環(huán)長(zhǎng)度的度量值，統(tǒng)計(jì)值V的計(jì)算式，如下式所示：

(3)

1.2 多重分形模型

多重分形是通過(guò)一個(gè)譜函數(shù)來(lái)描述分形結(jié)構(gòu)上不同的局域條件、或分形結(jié)構(gòu)在演化過(guò)程中不同層次所導(dǎo)致的特殊的結(jié)構(gòu)行為與特征，是從系統(tǒng)的局部出發(fā)來(lái)研究其整體的特征，并借助統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的方法來(lái)討論特征參量的概率測(cè)度的分布規(guī)律。

對(duì)于時(shí)間序列x(t),t∈[0,T]，冪譜在無(wú)標(biāo)度區(qū)間內(nèi)滿足如下關(guān)系：

E(ω)∝ω-β

(4)

其中，ω=1/T，表示為頻率，β是指數(shù)(又稱冪譜指數(shù))。滿足冪律的頻率區(qū)間及相應(yīng)的時(shí)間區(qū)間作為分形關(guān)系成立的尺度區(qū)間。在無(wú)標(biāo)度區(qū)間內(nèi)，研究對(duì)象具有無(wú)標(biāo)度性，即具有自相似性，表明研究對(duì)象在形狀、性質(zhì)或其他方面是自相似的。

如果在分形體中，具有相同α值的小區(qū)域數(shù)目為Nα，則：

Nα(r)～r-f(α)

(5)

因此，f(α)就是用指數(shù)α所標(biāo)征的子區(qū)域構(gòu)成的子集的分維數(shù)。對(duì)于復(fù)雜的分形體，其內(nèi)部可用一系列不同α值表示的子集，相同的α值，具有相同的奇異程度。因此，知道了f(α)是α的某一函數(shù)，就確定了這一系列子集的分形特征。且有：

maxf(α)=D

(6)

對(duì)于均勻分形，f(α)=α=D0，f(α)在f～α平面上只是一個(gè)點(diǎn)。

若統(tǒng)計(jì)矩具有如下形式：

M(λ,q)∝λτ(q)

(7)

式中，τ(q)被稱為配分函數(shù)，若τ(q)是q的非線性函數(shù)，則時(shí)間序列是多重分形的，τ(q)若是q的線性函數(shù)，則對(duì)應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程是單分形過(guò)程。

從信息論角度，當(dāng)r→0時(shí)，得到：

Iq(r)=Cr-(1-q)Dq

(8)

2 結(jié)果與分析

對(duì)于年平均徑流量過(guò)程，其R/S分析圖和V統(tǒng)計(jì)圖如圖1和圖2所示。圖1表明,北江流域石角站年平均徑流量的lg(n)和lg(R/S) 的相關(guān)性很強(qiáng)，年平均流量的Hurst指數(shù)大于0.8，意味著北江流域的年平均徑流量時(shí)間序列未來(lái)的趨勢(shì)與過(guò)去一致，即北江流域的徑流過(guò)程具有長(zhǎng)程相關(guān)性。而V統(tǒng)計(jì)量(圖2)在剛開(kāi)始的時(shí)候平穩(wěn)上升，當(dāng)lgn達(dá)到一定值后，統(tǒng)計(jì)值V開(kāi)始上下波動(dòng)，年平均徑流量平穩(wěn)上升與波動(dòng)的臨界點(diǎn)為1.2

圖1 年平均徑流量的R/S分析圖

圖2 年平均徑流量的V統(tǒng)計(jì)圖

北江流域年平均徑流量的多重分形譜見(jiàn)圖3-6，以年平均徑流量的冪譜與頻率之間的曲線為例，圖3表明年平均徑流量的lgE(ω)與lg(ω)之間成正比，且正比系數(shù)(a)的絕對(duì)值為0.9143，即相應(yīng)于冪譜與頻率之間的關(guān)系式的指數(shù)β，說(shuō)明年平均徑流量具有無(wú)標(biāo)度性。進(jìn)一步分析年平均徑流量在其無(wú)標(biāo)度范圍內(nèi)的多重分形性，由統(tǒng)計(jì)矩，即配分函數(shù)的定義可知，配分函數(shù)分析的分析方法可以判斷研究對(duì)象是否具有多重分形的特性，年平均徑流量序列的配分函數(shù)圖可以有效地判別年平均徑流量是否具有分形特征，如圖4所示。圖4為q取不同值時(shí)lg(λ)～ lg(xq(λ)) 的曲線簇，最上面的曲線所代表的q值為-50，最下面的曲線所代表的q值為50，從上至下依次為-50、-37.5、-25、-12.5、0、12.5、25、37.5和50。lg(λ)-lg(xq(λ)) 曲線圖表明，當(dāng)q>0時(shí)，北江流域年平均徑流量的lg(λ)-lg(xq(λ))曲線呈現(xiàn)良好的線性關(guān)系；盡管當(dāng)q<0時(shí)，年平均徑流量的lg(λ)～lg(xq(λ))曲線有微小的波動(dòng)，但整個(gè)尺度范圍內(nèi)的變化仍舊表現(xiàn)出較好的線性關(guān)系。因此可以認(rèn)為，北江流域的年平均徑流量時(shí)間序列在相應(yīng)的標(biāo)度范圍內(nèi)，具有分形特征。

圖3 年平均徑流量的冪譜與頻率關(guān)系曲線

圖4 年平均徑流量的lg(λ)- lg(xq(λ))關(guān)系曲線

北江流域年平均徑流量的q～τ(q)的曲線圖(圖5)表明年平均徑流量的q～τ(q)曲線為凹向橫軸的曲線，q～τ(q)之間存在非線性關(guān)系。因此，進(jìn)一步說(shuō)明北江流域年平均徑流量的時(shí)間序列具有多重分形結(jié)構(gòu)特征。不同的q值具有不同尺度函數(shù)的τ(q)值，不同幅度的波動(dòng)具有不同尺度關(guān)系，且τ(q)隨著階數(shù)q值的增加而增加，當(dāng)q>0時(shí)， (q)隨著階數(shù)q的增加的幅度變小。

圖6為北江流域年平均徑流量多重分形譜的α～f(α)曲線，α～f(α)曲線表明，年平均徑流量具有多重分形隨機(jī)游走的特征。

圖5 年平均徑流量的q-τ(q)曲線圖

圖6 年平均徑流量的多重分形譜

多重分形參數(shù)分別為：①f(α)max= 0.7769，Δα=0.1600；②由于這年平均徑流量的α-f(α)曲線形狀呈現(xiàn)非鐘型，分別計(jì)算f(α)最大值左右兩側(cè)的Δf(α)分別為：0.5106、0.6330。③f(α)最大值左、右兩側(cè)最小值連線斜率的絕對(duì)值為：0.7653。以上3項(xiàng)多重分形參數(shù)表明，年平均徑流量的α-f(α)曲線反映出年平均徑流量的內(nèi)在動(dòng)力學(xué)特征。上述分析表明，北江流域年平均徑流量具有多重分形的特征。

4 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)北江流域年平均徑流量的研究，揭示了北江流域年平均徑流量不是隨機(jī)游動(dòng)的，而是有偏隨機(jī)游走的，具有分形特征。并且北江流域年平均流量的Hurst指數(shù)大于0.5，表明北江流域年平均流量具有極強(qiáng)的持續(xù)性，即具有長(zhǎng)期記憶性和混沌特征。這是由于人類(lèi)活動(dòng)的影響、氣候的變化等外部等因素的作用，加之外部力量具有非周期性循環(huán)的特點(diǎn)，使得北江流域年平均徑流量的具有長(zhǎng)程記憶性，其消失的時(shí)間約為15-20年。

根據(jù)多重分形的分析法，本文得出北江流域年平均流量具有多重分形的特征，且多重分形譜的參數(shù)變化較準(zhǔn)確、精細(xì)地揭示了北江流域年平均流量時(shí)間序列分形結(jié)構(gòu)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特征。應(yīng)用分形廣義維數(shù)和多重分形的原理，對(duì)北江流域年平均流量的時(shí)間序列進(jìn)行科學(xué)的分析，對(duì)推動(dòng)非線性數(shù)學(xué)分析理論在水文時(shí)間序列中的實(shí)際應(yīng)用具有重要的意義。北江流域年平均流量的多重分形譜參數(shù)具有較明顯的變化特征，表明北江流域年平均流量時(shí)間序列具有復(fù)雜的特性，這為進(jìn)一步描述北江流域年平均流量的復(fù)雜性規(guī)律提供了依據(jù)。在今后的研究中，如何將這些規(guī)律與相應(yīng)的預(yù)測(cè)模型相結(jié)合，以其對(duì)北江流域的年平均徑流量進(jìn)行較好的預(yù)測(cè)是下一步工作的重點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]嚴(yán)紹瑾，彭永清，張運(yùn)剛.一維氣溫時(shí)間序列的多重分形研究[J].熱帶氣象學(xué)報(bào)，1996，12(3)：207-211.

[2]HURST H E. The long-term storage capacity of reservoirs[J]. Transactions of the American Society of Civil Engineer,1951,116: 770-799.

[3]HURST H E,BLACK R P,SIMAIKA Y M. Long-Term storage: An Experimental Study[M]. London,1965.

[4]FEDER J. Fractals: Physics of Solids and Liquids [M]. New York: Plenum Press,1988.

[5]湯龍坤. 太陽(yáng)黑子數(shù)時(shí)間序列的R/S分析[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，29(4)：627-629.

[6]汪麗娜，陳曉宏，章四龍，等.武江流域洪水時(shí)間序列的R/S分析[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011(1)：128-131.

[7]白萌，沈冰，孟海平，等.寶雞市降水和徑流的分形特征與R/S分析[J].黑龍江水專(zhuān)學(xué)報(bào)，2009，36(4)：6-10.

[8]Mandelbrot B. The pareto-levy law and the distribution of income[J]. International Economic Review,1960,(1): 79-106.

[9]張維，黃興.滬深股市的R/S實(shí)證分析[J].系統(tǒng)工程，2001，19(1)：1-5.

[10]周寅康，王臘春等.淮河流域洪澇變化的混沌特征[J].自然災(zāi)害學(xué)報(bào)，1999，8 (1)：42-47.

[11]郭科，施澤進(jìn)，唐菊興，等.用多重分形研究元素的共生組合性[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，33(2)：221-224.

[12]胥澤銀，郭科.多元統(tǒng)計(jì)及其程序設(shè)計(jì)[M].成都：四川大學(xué)出版社，1999.