具有逐段常值變元邏輯方程的全局吸引性

王振芳，羅 芳

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

考慮如下具有逐段常值變元的邏輯方程

其中

方程（1）有唯一的正的平衡點(diǎn)N＊，它滿足

因而

具有逐段常值變元的微分方程是泛函微分方程中的一類重要方程［1]，文獻(xiàn)［2 -5] 研究了具有逐段常值變元的微分方程的振動性和穩(wěn)定性問題．

本文考慮方程（1）的全局吸引性，文獻(xiàn)［5] 研究了β＝1時(shí)方程（1）的全局吸引性，本文推廣文獻(xiàn)［5] 中部分結(jié)果為β＞0的情形，得到方程（1）為全局吸引的一個(gè)充分條件．

令N（t）＝N＊×exp｛x（t）｝，f（x）＝eβx－1，則x（t）滿足如下方程

進(jìn)一步有

其中xn＝x（n），n＝0，1，2，…

下面給出方程（1）為全局吸引的結(jié)果．

定理1 設(shè)式子（2）成立，且令r1＝若r1，r2滿足

r1＞r2＞0，1＜rβ＝（r1＋r2）β≤2．

且

定理1的證明可以由下面幾個(gè)引理得到．

引理1 令

設(shè)0＜（r1＋r2）β≤2，則

引理2 設(shè)

則φ（x）在L＊＝＜0達(dá)到唯一的局部最大值．

1）當(dāng)L≤0時(shí)，令G1（L）＝φ（L）－r2＝r1f（L）＋且＝φ（L＊）－r2f（L），則下面的每一條都成立：

iii）若對某個(gè)L＜L＊成立（L）＝0，則（L）＜0．

因此，對任意L≤L＊成立（L）＜0且G1（L）＞0．

2）當(dāng)L≤0時(shí)，令G2（L）＝－－L且＝φ（L＊）－r2f（L），則下面的每一條都成立：

ii）G2（L＊）＝（L＊）－L＊＞0；

iii）G′2（L）＜0對任意L≤L＊成立．因此，對任意L≤L＊有G2（L）＞0成立．

3）當(dāng)L≤0時(shí)，令G3（L）＝－－L且＝φ（L）－r2f（L），則對任意L＊≤L＜0，G3（L）＝（L）－L＞0．

引理3 設(shè)1＞r1β＞r2β＞0，（r1＋r2）β＞1，

則φ（x）在R＊＝－＞0取得唯一局部最大值．

1）當(dāng)L≤0時(shí)，令G4（L）＝φ（L）－L（L）＝r1f（L）＋r2f，且＝φ（R＊）－r2f（L），則存在唯一Lˉ＜0，使得

且下面的每一條都成立：

2）當(dāng)L≤0時(shí)，令

G5（L）＝－L＞G4（L）＞0．

引理4 設(shè)

則φ（x）在R＊＝0取得唯一局部最大值，因而文獻(xiàn)［5] 中（2．22）—（2．23）成立，且有下面結(jié)論．

1）在引理3的1）中考慮R＊＝0時(shí)的函數(shù)G4（L），有L＜＝0時(shí)，G4（L）＞0成立．

2）在式（8）中，R＊＝0時(shí)，G5（L）＝L＞0對任意L＜＝0成立．

證明 證明定理1的條件可分為引理2、引理3與引理4的條件考慮，因而，由引理2、引理3與引理4可證＝0，從而定理1得證．

注：對于情形0＜r1≤2，r2＝0與情形0≤r2＜r1，（r2＋r1）β≤1也可證明方程（1）有全局吸引性，但與本文的方法不同．

［1] 鄭祖庥．泛函微分方程理論［M] ．合肥：安徽教育出版社，1994．

［2] Gopalsamy K，Ladas G．On the oscillation and asymptotic behavior of N＇（t）＝N（t）［a＋bN（t－τ）] －cN2（t－τ）［J] ．Quarterly of Applied Mathematics，1990，XLVIII：433－440．

［3] So J W H，Yu J S．Global stability in a logistic equation with piecewise constant arguments［J] ．Hokkaido Math．J．，1995，24：269－286．

［4] Muroya Y．A sufficient condition on global stability in a logistic equation with piecewise constant arguments［J] ．Hokkaido Math．J．，2003，32：75－83．

［5] Uesugi K，Muroya Y，Ishiwata E．On the global attractivity for a logistic equation with piecewise constant arguments［J] ．J．Math．Anal．Appl．，2004，294：560－580．