基于小波的加外生變量部分線性自回歸模型在石油價格預(yù)測中的應(yīng)用

井霞霞，張德生，李金鳳，王彥彪

（西安理工大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710054）

準(zhǔn)確的預(yù)測石油價格變動的方向和程度對國家制定能源政策和規(guī)避價格風(fēng)險具有重要意義，對維護(hù)石油生產(chǎn)國和消費(fèi)國的利益亦有重大意義．

目前預(yù)測石油價格的主要方法有時間序列法［1]、層次分析法［2]、灰色預(yù)測法［3]、回歸分析法［4]．時間序列模型主要有AR模型、ARMA［5]模型、ARIMA模型、VAR模型［8]、ARCH模型［9]、GARCH模型［10]、變系數(shù)回歸模型［11]等．

1 部分線性自回歸模型

部分線性模型［12]的一般形式為

其中Xt－1＝（xt－1，1，…，∈Rp和Zt－1＝（zt－1，1，…∈Rq為解釋變量；β＝（β1，…，為未知參數(shù)向量，p和q是正整數(shù)，Yt∈R為響應(yīng)變量或者是解釋變量．g（·）是未知函數(shù)，｛εt｝為隨機(jī)誤差序列，且εt＝Y(jié)t－E［Yt｜Xt－1，Zt－1] ，為線性時間序列部分，g（Zt－1）是非線性時間序列部分．在（1）式中，如果Xt－1和Zt－1中有一個是Yt的滯后變量，則（1）式就是部分線性自回歸模型．

2 小波多分辨分析

Meyer于1986年創(chuàng)造性地構(gòu)造了具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進(jìn)制伸縮與平移構(gòu)成L2（R）的規(guī)范正交基，才使小波得到真正的發(fā)展；1988年Mallat在構(gòu)造正交小波基時提出了多分辨率的概念，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，將之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波變換的快速算法，即Mallat算法．Mallat算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換算法在經(jīng)典傅立葉分析中的地位［13]．

定義1 設(shè)L2（R）的閉子空間序列｛vk，k∈Z｝稱為形成一個多分辨分析，若這些閉子空間｛Vk｝滿足以下性質(zhì)：

1）單調(diào)性：Vm?Vm＋1，m∈Z．

3）伸縮性：

4）平移不變性：

5）Riesz基存在性：存在Ψ（x）∈V0，使得｛φ（x－n）｜n∈Z｝構(gòu)成子空間V0的Riesz基．

則稱｛Vk｝這些閉子空間成了L2（R）的一個多分辨分析，其中φ（x）稱為尺度函數(shù)，此時稱φ（x）生成了一個多分辨分析為｛Vk｝．

多分辨分析理論認(rèn)為一個信號可以分解為低頻信號（概貌序列分量）和高頻信號（細(xì)節(jié)序列分量）兩部分．

3 基于小波的考慮外生變量的部分線性自回歸模型

3．1 建模步驟

對WTI石油價格進(jìn)行建模預(yù)測時，具體步驟如下：

（1）利用小波變換對WTI現(xiàn)貨價格序列和世界供應(yīng)量分別進(jìn)行分解和重構(gòu)，得到相應(yīng)的概貌序列分量和細(xì)節(jié)序列分量，然后對他們分別進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)和平穩(wěn)化處理．

（2）利用概貌石油價格序列分量和概貌世界供應(yīng)量序列分量建立部分線性自回歸模型．

（3）對細(xì)節(jié)石油價格序列分量和細(xì)節(jié)世界供應(yīng)量序列分量也建立部分線性自回歸模型．

（4）將WTI現(xiàn)貨概貌價格和細(xì)節(jié)價格的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行求和，可以得到最后的WTI現(xiàn)貨預(yù)測價格

3．2 樣本選取

本文所選取的數(shù)據(jù)是2004年1月到2011年2月的WTI現(xiàn)貨價格和世界供應(yīng)量的月度數(shù)據(jù)共86個，數(shù)據(jù)來源于美國能源情報署（http：／／www．eia．doe．gov／），前80個數(shù)據(jù)用于建模，后6個數(shù)據(jù)用來評價模型的質(zhì)量．

3．3 小波分解與重構(gòu)

對WTI現(xiàn)貨價格序列采用Sym2小波進(jìn)行一層小波分解與重構(gòu)，得到低頻的概貌序列CA1和高頻的細(xì)節(jié)序列CD1，如圖1所示．從圖1可以看出，在一層分解重構(gòu)下得到的概貌序列基本上已經(jīng)反映了WTI現(xiàn)貨價格序列的波動趨勢，而細(xì)節(jié)序列則體現(xiàn)了WTI現(xiàn)貨價格序列的隨機(jī)波動，分解的效果較好．同樣對世界供應(yīng)量用Sym2小波進(jìn)行小波分解和重構(gòu)，得到相應(yīng)的概貌序列和細(xì)節(jié)序列．

圖1 分解與重構(gòu)后的概貌序列和細(xì)節(jié)序列

3．4 平穩(wěn)性檢驗(yàn)和預(yù)處理

在建立模型之前需要對WTI現(xiàn)貨價格和世界供應(yīng)量進(jìn)行小波分解和重構(gòu)后的概貌序列和細(xì)節(jié)序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)和平穩(wěn)性處理，采用ADF檢驗(yàn)法對概貌序列和細(xì)節(jié)序列分別進(jìn)行檢驗(yàn)，見表1．WTI現(xiàn)貨價格和世界供應(yīng)量的概貌序列的ADF檢驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)量都大于各顯著性水平的臨界值，所以應(yīng)該接受原假設(shè)，即WTI現(xiàn)貨價格和世界供應(yīng)量的概貌序列并不平穩(wěn)，經(jīng)過對數(shù)差分后，ADF檢驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)量均小于各顯著性水平的臨界值，所以應(yīng)該拒絕原假設(shè)，即序列平穩(wěn)，而它們的高頻序列由表1可以看出已經(jīng)平穩(wěn)，故不需要處理．

3．5 部分線性自回歸模型的建立

對經(jīng)過平穩(wěn)化處理后的WTI現(xiàn)貨價格小波分解重構(gòu)后的概貌序列進(jìn)行建模，其中參數(shù)部分選取WTI現(xiàn)貨價格，非參數(shù)部分選擇世界供應(yīng)量．建立的部分線性自回歸模型的表達(dá)式為

表1 ADF檢驗(yàn)結(jié)果

對WTI現(xiàn)貨價格經(jīng)過小波分解的細(xì)節(jié)序列進(jìn)行建模，建立的部分線性自回歸模型的表達(dá)式為

通過以上兩個模型可以分別得到建模數(shù)據(jù)的概貌序列和細(xì)節(jié)序列的擬合值，應(yīng)用MATLAB編程，將WTI現(xiàn)貨價格概貌序列的擬合值進(jìn)行還原，并與細(xì)節(jié)序列的擬合值進(jìn)行相加得到WTI現(xiàn)貨價格最終的擬合值．

基于小波的考慮外生變量的部分線性自回歸模型對WTI現(xiàn)貨價格的擬合值和真實(shí)值比較結(jié)果如圖2所示．從圖2可以看出，基于小波的考慮外生變量的部分線性自回歸模型對WTI現(xiàn)貨價格月度數(shù)據(jù)時間序列的擬合效果比較準(zhǔn)確．

圖2 部分線性自回歸模型擬合圖

3．6 部分線性自回歸模型的檢驗(yàn)

當(dāng)建立好一個時間序列模型時，需要檢驗(yàn)隨機(jī)誤差項(xiàng)｛εt｝是否是一個白噪聲，若是則可以認(rèn)為所建模有效，本文利用χ2檢驗(yàn)法來進(jìn)行檢驗(yàn)，其主要思想是將εt的自相關(guān)系數(shù)記為ρk（N，εt），自協(xié)方差函數(shù)記為γk（N，εt），則

假設(shè)1 H0～NID（0，1），那么，即Q＝服從自由度為L（N）－M的χ2分布，L（N）為自相關(guān)系數(shù)的個數(shù)，M為模型的參數(shù)個數(shù)，于是，在給定顯著性水平α下，若Q≤（L（N）－M）接受H0；若Q＞（L（N）－M）則拒絕H0，即否定εt獨(dú)立．

由于εt是隨機(jī)的，這里我們用＝Y(jié)t－，t＝1，2，…，N來表示．所以由上述分析可知N＝80，L（N）＝10，M＝1，故L（N）－M＝9；當(dāng)α＝0．05時，查χ2分布表可知（L（N）－M）＝（10－1）＝（9）＝16．919

概貌序列所建模型的統(tǒng)計(jì)量Q＝14．7023＜16．919，所以有95%的置信度認(rèn)為殘差序列是白噪聲序列，因此，所建立的部分線性自回歸模型是有效的．

細(xì)節(jié)序列所建模型的統(tǒng)計(jì)量Q＝2．2243＜16．919，所以有95%的置信度認(rèn)為殘差序列是白噪聲序列，因此，所建立的部分線性自回歸模型是有效的．

3．7 模型的預(yù)測比較

為了更好的研究所建立的模型的優(yōu)劣，對部分線性自回歸模型、考慮外生變量的部分線性自回歸模型和基于小波的考慮外生變量的部分線性自回歸模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果見表2，并計(jì)算出其平均絕對誤差和均方誤差，結(jié)果見表3．

表2 3種模型的預(yù)測效果及其比較 美元／桶

表3 預(yù)測結(jié)果的MAE和MSE的比較

相對誤差＝（實(shí)際值—預(yù)測值）／實(shí)際值．

實(shí)證結(jié)果表明，對部分線性引入外生變量后，提高了模型的解釋能力，從表3中可以看出預(yù)測精度得到了一定的提高，將小波與考慮外生變量的部分線性自回歸模型結(jié)合以后，預(yù)測精度得到了進(jìn)一步的提高．

4 結(jié)束語

本文對WTI現(xiàn)貨價格序列建立了基于小波的且考慮外生變量的部分線性自回歸預(yù)測模型，并將該模型與部分線性自回歸預(yù)測模型和考慮外生變量的部分線性自回歸預(yù)測模型進(jìn)行了比較分析，因?yàn)樵撃Ｐ图壤昧诵〔ǚ治隽己玫木植炕匦?，又考慮了外生變量對外界影響因素的響應(yīng)性，因此具有較高的預(yù)測精度．

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