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    基于形態(tài)成分分析的軸承復(fù)合故障診斷

    2011-07-23 11:57:54楊杰鄭海起關(guān)貞珍王彥剛
    軸承 2011年8期
    關(guān)鍵詞:特征頻率齒輪箱字典

    楊杰,鄭海起,關(guān)貞珍,王彥剛

    (石家莊軍械工程學(xué)院,石家莊 050003)

    當(dāng)齒輪箱出現(xiàn)故障時(shí),有時(shí)可能不只存在一種故障,可能是多種故障狀態(tài)并存,盲源分離為齒輪箱多故障并存的分離提供了新的方法,在齒輪箱故障診斷中已經(jīng)得到成功的應(yīng)用[1-2]。

    在盲源分離算法中,經(jīng)典的獨(dú)立分量分析(ICA)方法假設(shè)源信號(hào)是獨(dú)立統(tǒng)計(jì)的。雖然目前ICA方法在許多應(yīng)用中已證明是成功的[3-4],但其基于統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的假設(shè)條件并不適用于所有情況。特別是在實(shí)際應(yīng)用中,很多信號(hào)或圖像具有稀疏性,或者經(jīng)適當(dāng)?shù)淖儞Q,使其在變換域中具有較好的稀疏性。當(dāng)源信號(hào)是高度稀疏時(shí),這表示每個(gè)源信號(hào)只有很少的時(shí)刻取值為非零(或者較大),而絕大多數(shù)時(shí)刻取值為零(或者接近零)。在這種情況下的獨(dú)立假設(shè)意味著2個(gè)源信號(hào)同時(shí)為有用信號(hào)的概率極低,因此源信號(hào)可以由不同的基函數(shù)表示。在稀疏成分分析(Sparse Component Analysis, SCA)中就利用了這一點(diǎn)[5-6]。

    最近,又提出了另外一種基于信號(hào)稀疏表示的分離方法——形態(tài)成分分析(Morphological Component Analysis,MCA)[7-8]。該方法假設(shè)對(duì)于混合信號(hào)中的每個(gè)源信號(hào),都存在著相對(duì)應(yīng)的能夠稀疏表示該源信號(hào)的字典,并且認(rèn)為該字典僅能稀疏表示該源信號(hào),對(duì)于其他源信號(hào)則不能稀疏表示;然后利用追蹤算法搜索最稀疏的表示,從而產(chǎn)生理想的分離效果。下文嘗試把該方法引入到軸承復(fù)合故障分離中,為齒輪箱故障診斷探索新的理論方法。

    1 信號(hào)的稀疏分解

    正交線性變換在信號(hào)處理中具有非常重要的地位和作用,如Fourier變換和小波變換等,在這些方法中,通過(guò)基函數(shù)展開(kāi)將信號(hào)表示為一系列基函數(shù)線性加權(quán)和的形式進(jìn)行分析,然而,工程實(shí)踐中對(duì)于任意復(fù)雜多變信號(hào),傳統(tǒng)的基函數(shù)展開(kāi)方法在信號(hào)表示方面缺乏自適應(yīng)性。為了對(duì)任意復(fù)雜多變的信號(hào)進(jìn)行表示,人們?cè)噲D尋找建立在多種基函數(shù)基礎(chǔ)之上的信號(hào)表示方法,稀疏分解即是為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)而提出的新的信號(hào)處理方法,其基本思想是基函數(shù)用稱之為字典的超完備的冗余函數(shù)系統(tǒng)取代,字典中的元素被稱為原子,信號(hào)由原子的線性組合來(lái)表示。其中原子的數(shù)目比信號(hào)的維數(shù)大,由此產(chǎn)生了冗余。由于這種超完備性,就有很多表示信號(hào)的方法,其中具有最少系數(shù)(最稀疏)的表示是最簡(jiǎn)單的,也是認(rèn)為最優(yōu)的一種表示方法。

    對(duì)于任意信號(hào)s∈RN,要想找到最稀疏的表示,等同于解決下列問(wèn)題

    (1)

    式中:‖u‖0為系數(shù)矢量u中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù),在一個(gè)隨機(jī)的冗余字典T中尋找信號(hào)的稀疏表示,這是非凸和高度非光滑的,是一個(gè)NP難問(wèn)題。

    為了解決這個(gè)問(wèn)題,文獻(xiàn)[9]引入了匹配追蹤(marching pursuit,MP)算法。近幾年,匹配追蹤算法得到了很大的發(fā)展,顯示出很大的優(yōu)越性。然而匹配追蹤算法由于在算法過(guò)程中需要進(jìn)行大量的內(nèi)積運(yùn)算和字典的選擇,計(jì)算量巨大,限制了它在很多領(lǐng)域的運(yùn)用。同時(shí),匹配追蹤算法信號(hào)表示的精度問(wèn)題也限制了其應(yīng)用。

    為了解決信號(hào)稀疏表示和分解問(wèn)題,又提出了基追蹤(basis pursuit,BP)算法,把(P0)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為(P1)問(wèn)題

    (2)

    即把最小化l0范數(shù)轉(zhuǎn)化為最小化l1范數(shù),使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。對(duì)于最小化l1范數(shù),可以通過(guò)線性規(guī)劃方法解決。基追蹤去噪(Basis Pursuit Denoising, BPDN)[10]是BP算法的推廣,把(P1)問(wèn)題變成無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題

    (3)

    其中參數(shù)λ控制著表示信號(hào)s時(shí)的失真度。(P1,λ)具有二次規(guī)劃結(jié)構(gòu),可以通過(guò)很多方法進(jìn)行求解。當(dāng)T選擇為酉矩陣時(shí)存在封閉解

    (4)

    其中,ηλ(x)=sign(x)(|x|-λ)+,

    2 形態(tài)成分分析

    (5)

    (6)

    Stark在BCR(Block-Coordinate-Relaxation)方法[11]的基礎(chǔ)上,給出了MCA的數(shù)值實(shí)現(xiàn):

    (1)初始化迭代次數(shù)Lmax及閾值δk=λk·Lmax/2;

    (2)Whileδk>λk/2

    fork=1,…,n;

    假設(shè)sk′≠k不變,更新sk:

    計(jì)算剩余量rk=s-∑k′≠ksk′;

    更新閾值δk=δk-λk/2。

    MCA算法只能分離同一信號(hào)中具有不同形態(tài)的信號(hào)分量。文獻(xiàn)[12]將MCA擴(kuò)展到多通道數(shù)據(jù)情況下,提出了GMCA(Generalized MCA)算法,GMCA是一種快速有效的盲源分離方法,充分利用了形態(tài)多樣性和稀疏性的特點(diǎn),把源看作是形態(tài)成分的線性組合,并利用稀疏性估計(jì)源和混合矩陣,取得了較好的試驗(yàn)結(jié)果。文獻(xiàn)[13]將該方法應(yīng)用到了腦信號(hào)分離中。

    對(duì)于線性混疊模型

    X=AS+N,

    (7)

    設(shè)源信號(hào)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的,且每個(gè)源信號(hào)sk是不同形態(tài)成分的線性組合,

    (8)

    Tk和Rk分別表示與冗余字典Φk相關(guān)的正逆變換,(8)式中,φk,i為sk的1個(gè)形態(tài)成分,可以由變換Tk稀疏化,且僅能由Tk稀疏化。則估計(jì)模型(7)中的混疊矩陣A和源信號(hào)S轉(zhuǎn)化為求解以下優(yōu)化問(wèn)題

    (9)

    (1)初始化遞歸次數(shù)Lmax和閾值:?k,δk=

    Lmax·λk/2;

    (2)Whileδk>λk/2

    fork=1,…,n;

    (3)假設(shè)sk′≠k和ak′不變,更新sk:

    (4)設(shè)源信號(hào)不變,更新A;

    (5)對(duì)?k,重正規(guī)化ak,sk和δk;

    (6)對(duì)?k,減小閾值δk=δk-λk/2。

    在步驟(4)中,在由MCA算法得到的源信號(hào)的稀疏分解系數(shù)α={αk,i}的基礎(chǔ)上,混疊矩陣A的估計(jì)基于如下的更新策略

    (10)

    式中:β為歸一化常量;I為屬于Rm的單位矩陣;γ為與源信號(hào)參數(shù)的假設(shè)概率分布有關(guān)的非線性函數(shù)向量。

    3 仿真信號(hào)分析

    為了檢驗(yàn)GMCA盲分離算法的有效性,進(jìn)行了如下的仿真,取m=2,n=2,即2個(gè)傳感器、2個(gè)源信號(hào)的盲分離。

    設(shè)2個(gè)源信號(hào)分別為

    sin(2π×0.01t)+n(t),

    sin(2π×0.035t)+n(t),

    隨機(jī)選取混合矩陣為

    將2路信號(hào)線性混合并疊加3 dB的高斯白噪聲,得到混疊信號(hào)如圖1所示。

    圖1 混疊信號(hào)時(shí)域圖

    構(gòu)造Fourier字典和基于8階消失矩Symlet小波字典,由GMCA算法得到混合矩陣A的估計(jì)

    由GMCA算法分離得到的源信號(hào)如圖2所示,可以看出,源信號(hào)被較好地分離出來(lái),且噪聲較小。FICA分離的源信號(hào)如圖3所示,很明顯,分離信號(hào)與原始信號(hào)差別很大。

    圖2 GMCA分離信號(hào)時(shí)域圖

    圖3 FICA分離信號(hào)時(shí)域圖

    為進(jìn)一步反映源信號(hào)的分離效果,引入信噪比和誤差指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià),結(jié)果見(jiàn)表1。由表中可以看出,GMCA對(duì)帶噪信號(hào)的分離效果明顯好于FICA,同時(shí)也說(shuō)明了GMCA分離算法的有效性。

    表1 分離方法效果對(duì)比

    4 齒輪箱復(fù)合故障信號(hào)分析

    在某型單級(jí)齒輪箱上進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。該系統(tǒng)由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)輸入軸,輸出軸帶動(dòng)負(fù)載。主動(dòng)齒輪齒數(shù)Z1=30,被動(dòng)齒輪齒數(shù)Z2=50,輸入軸軸承型號(hào)為6206,輸出軸軸承型號(hào)為7207,故障是在輸入軸軸承內(nèi)圈、外圈和滾動(dòng)體通過(guò)線切割實(shí)現(xiàn)的,對(duì)振動(dòng)信號(hào)在時(shí)域里進(jìn)行等時(shí)間間隔采樣,采樣頻率為12 800 Hz,測(cè)量時(shí)轉(zhuǎn)速為1 200 r/min,采樣時(shí)間長(zhǎng)度為0.25 s。6206軸承內(nèi)徑為9.5 mm,外徑為46.5 mm,接觸角為0°,滾動(dòng)體數(shù)目為9,根據(jù)軸承的結(jié)構(gòu)尺寸和工作轉(zhuǎn)速,可以計(jì)算出內(nèi)圈故障特征頻率108.4 Hz,滾動(dòng)體故障特征頻率94.2 Hz,外圈故障特征頻率為71.6 Hz。

    在輸入軸兩端軸承座的上部各安裝1個(gè)傳感器,并在輸入軸一端軸承座的下部安裝1個(gè)傳感器,傳感器的型號(hào)為B&K4508加速度傳感器,3個(gè)傳感器采集的振動(dòng)信號(hào)頻譜如圖4所示,可以看出采集信號(hào)的幾個(gè)故障特征頻率在每一個(gè)頻譜圖上混疊,難以確定哪些故障存在。

    圖4 3路傳感器采集信號(hào)的頻譜圖

    構(gòu)造Fourier字典、Dirac字典和基于8階消失矩Symlet小波字典,分別用以匹配振動(dòng)信號(hào)中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、沖擊和其他瞬態(tài)振動(dòng)現(xiàn)象,采用GMCA算法對(duì)采集的3路振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行盲分離,圖5分別為分離出的3個(gè)源信號(hào)的頻譜圖。

    圖5 GMCA分解結(jié)果

    從圖5a中能看出94 Hz和188 Hz的頻率成分,這與滾動(dòng)體故障特征頻率(94.2 Hz)及二次諧波(188.4 Hz)接近,由此可認(rèn)為滾動(dòng)體故障被有效地分離出來(lái);從圖5b中能看出72 Hz和144 Hz的頻率成分,這與外圈故障特征頻率(71.6 Hz)及二次諧波(153.2 Hz)接近,由此可認(rèn)為外圈故障被有效地分離出來(lái);從圖5c中能看出108 Hz和216 Hz的頻率成分,這與內(nèi)圈故障特征頻率(108.4 Hz)及二次諧波(216.8 Hz)接近,其他頻率幅值成分較小,由此可認(rèn)為內(nèi)圈故障被分離出來(lái)。經(jīng)上述分析得出,上文提出的算法能較好地分離出滾動(dòng)軸承的故障特征。

    5 結(jié)束語(yǔ)

    形態(tài)成分分析方法是有別于稀疏成分分析的一種基于稀疏表示的信號(hào)分解方法,在分解信號(hào)的同時(shí),也自動(dòng)地提取出噪聲成分,完成了信號(hào)去噪處理。將形態(tài)成分分析方法應(yīng)用到3種軸承故障的分離中,取得了良好的分離效果,表明了該方法在軸承故障診斷中的有效性。

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