光滑函數(shù)芽的無限相對(duì)決定性

賀文青，徐沈新

（保險(xiǎn)職業(yè)學(xué)院 金融保險(xiǎn)系，湖南 長沙 410114）

光滑函數(shù)芽的無限相對(duì)決定性

賀文青，徐沈新

（保險(xiǎn)職業(yè)學(xué)院 金融保險(xiǎn)系，湖南 長沙 410114）

在(Rn,0)中一般代數(shù)集芽S上，討論了光滑函數(shù)芽在右等價(jià)群?的子群?S作用下其無限相對(duì)決定性的條件，所得結(jié)果推廣了Wilson的有關(guān)定理.

函數(shù)芽；代數(shù)集；無限決定性

無限決定性研究了光滑函數(shù)芽在平坦芽擾動(dòng)下的穩(wěn)定性. 國內(nèi)外有大量關(guān)于光滑映射芽無限決定性的研究，Brodersen等[1]研究了映射芽的無限決定性和拓?fù)銫0決定性，C.T.C.Wall[2]研究了等變映射芽的無限決定性，L.C. Wilson[3-4]研究了映射芽關(guān)于左右等價(jià)群和右等價(jià)群的無限決定性，Sun B.等[5]研究了實(shí)孤立線奇點(diǎn)芽在右等價(jià)群子群?L作用下的無限決定性，劉恒興等[6]討論了分支問題的無限決定性. 本文就函數(shù)芽在右等價(jià)群?的子群?S作用下的無限相對(duì)決定性做了一些討論.

記εn={f:(Rn,0)→R∈C∞}為光滑函數(shù)芽環(huán)，為ε的極大理想. 對(duì)于nf∈εn，記，εn為芽f的雅可比理想，jrf可表示f在0∈Rn處的r階 Taylor多項(xiàng)式. 記?表示右等價(jià)群，f??={f?φ|φ∈?}表示f在群?作用下的軌道，Tf(f??)表示f??在f處的軌道切空間. 考慮由所有平坦芽構(gòu)成的理想

定義1 設(shè)f∈εn，稱f是無限?-決定的（簡(jiǎn)稱為∞-?-決定的），如果對(duì)于?u∈，都存在光滑微分同胚φ∈?使得f+u=f?φ.

定理1[3]70-72設(shè)f∈μn，則下面的條件等價(jià)：

1 定義和結(jié)果

假設(shè)S為(Rn,0)中包含原點(diǎn)的代數(shù)集芽，考慮右等價(jià)群?的子群?S={φ∈?|φ|S=idS}.

定義2 設(shè)f∈εn，如果對(duì)于?u∈IS∩，都存在光滑微分同胚φ∈?S使得f+u=f?φ，則稱f相對(duì)于?S是∞-?S-決定的，其中IS={f∈εn|f |S≡0}是εn的理想.

顯然f是∞-?S-決定的當(dāng)且僅當(dāng)f+IS∩?f ??S.

定義3 設(shè)I是環(huán)εn的一個(gè)理想．令S=z(I)={x∈Rn|f(x)=0,?f∈I }并假設(shè)0∈S．令radI={f∈εn|f|S≡0}，如果I=radI，則稱I是εn的一個(gè)根式理想．設(shè)S?(Rn,0)且存在R[x]的理想I使得S=z(I)，則稱S是代數(shù)集芽.

定理2 設(shè)f∈μn，S?(Rn,0)為一代數(shù)子集芽，則f是∞-?S-決定的當(dāng)且僅當(dāng)IS∩?Tf(f ??S).

注：若S={0}，則IS=μn，Tf(f??S)=μnJ(f )，定理2退化為定理1的結(jié)果．

2 定理2的證明

引理1 如果S?(Rn,0)是一個(gè)代數(shù)集芽，則理想IS={f∈εn|f |S≡0}是εn的根式理想．

證明 由代數(shù)集的定義，則存在理想I?R[x]使得S=z(I)且I?IS?μn．由理想的根的定義，則radIS={f∈μn|f |z(IS)=0}，故我們只需證S=z(IS)．

以下證明定理2.

證明 充分性. 假設(shè)f是∞-?S-決定的，則由定義2有

由于f+IS∩是εn的R-向量子空間，對(duì)式（1）兩邊在f取軌道切空間即可.

必要性. 設(shè)g∈εn滿足g-f∈IS∩，只需證明g與f是?S-等價(jià)的．

下面證明對(duì)于任意的t0∈[0,1]和?t∈(R,t0)，F(xiàn)t和Ft0是?S-等價(jià)的．因證明過程與t0的選取無關(guān)，不妨設(shè)t0=0．

考慮εn+1有限生成的子模N=J(f)εn+1和．由式（2），若u∈N，則，其中ui(x,t)∈εn+1．由引理1知理想IS是根式理想，則，故N?K+μn+1ISN ．從而由Nakayama引理，N?K．

于是由假設(shè)條件Tf(f??S)=ISJ(f)可推出

類似地，考慮如下帶初始條件的微分方程：

對(duì)于任意固定的(n,0) x∈R，由常微分方程基本理論，存在唯一解φ(x,t)滿足

將式（4）中的x替換為φ，則有

由式（5），顯然h(x,t)|S=0,?t∈(R,0)，于是式（6）的解必滿足

令φt(x):=φ(x,t )，則由式（7）、（9）容易推出所得到的芽φt屬于?S．再由式（8），有Ft?φt=F0．因而對(duì)于t∈(R,0)，F(xiàn)t與F0是?S-等價(jià)的．從而證明了?t0∈［0,1］，存在t0的開鄰域Ut0?［0,1］，使得對(duì)于．由于區(qū)間[0,1]是緊的，故必存在φ∈?S使得F0?φ=F1．因此f和g是?S-等價(jià)的．

證畢.

[1] BARODERSEN H. A note on infinite determinacy of smooth map germs[J]. Bull of London Math Soc, 1981, 13: 397-402.

[2] WALL C T C. Infinite determinacy of equivariant map-germs[J]. Math Ann, 1985, 272: 67-82.

[3] WILSON L C. Infinitely determined map germs [J]. Canada J Math, 1981, 33: 671-684.

[4] WILSON L C. Map germs infinitely determined with respect to right-left equivalence[J]. Pac J Math, 1982, 102: 235-245.

[5] SUN B, WILSON L C. Determinacy of smooth germs with real isolated line singularities[J]. Proc Amer Math Soc, 2001, 192: 2789-2797.

[6] 劉恒興. 分支問題的無限決定性[J]. 湛江師范學(xué)院學(xué)報(bào), 1999, 20(2): 1-4.

The Infinite Relative Determinacy of Function Germs

HE Wen-qing, XU Shen-xin
(Insurance Finance Department of Insurance Professional College, Changsha 410114, China)

Infinite determinacy is a way to express the stability of smooth function-germs under flat perturbations. In this paper, we discuss the infinite relative determinacy of smooth function germs with respect to the subgroups ?Sof ?, where S is an algebraic set germ in(Rn,0). The result developed the Wilson Theorem.

function germ; algebraic set; infinite determinacy

O189

A

1006-7302（2011）01-0020-03

2010-09-18

賀文青（1982—），男，湖南長沙人，講師，碩士，研究方向?yàn)槠纥c(diǎn)理論及其應(yīng)用.