內(nèi)稟正則半群的新刻畫

林秀萍，謝祥云

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

內(nèi)稟正則半群的新刻畫

林秀萍，謝祥云

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

介紹了內(nèi)稟正則半群上的區(qū)間值模糊集，探討了它們之間的一些運(yùn)算性質(zhì)，并用區(qū)間值模糊左（右，雙）理想給出了內(nèi)稟正則半群的新刻畫.

內(nèi)稟正則半群；區(qū)間值模糊集；區(qū)間值模糊左（右，雙）理想

1965年Zadeh首先提出了模糊集的概念，1975年Zadeh[1]提出了模糊集的另一個(gè)重要概念：區(qū)間值模糊集. 進(jìn)一步地，很多數(shù)學(xué)家討論了直覺模糊子集[2-6]以及它們上的算子[3,7-8]. 1994年，Biswas[9]在Rosenfeld模糊子群的基礎(chǔ)上類似地定義了區(qū)間值模糊子群，討論了它們的有關(guān)性質(zhì). 在半群和序半群研究的基礎(chǔ)上[10-12]，近來(lái)，Narayanan等[13]引入了半群的區(qū)間值模糊左（右，雙，內(nèi)稟）理想并討論了一個(gè)區(qū)間值模糊左（右，雙，內(nèi)稟）理想的生成問題，2008年Shabir等[14]將該結(jié)論進(jìn)一步推廣到序半群的情況. 本文討論了內(nèi)稟正則半群上的區(qū)間值模糊左（右，雙）理想并通過它們給出了內(nèi)稟正則半群的新刻畫.

本文設(shè)S是半群. S稱為正則的，如果(?x∈S)(?y∈S)x=xyx. 設(shè)A≠?，A?S，A稱為S的左理想，如果SA?A；A稱為S的右理想，如果AS?A. 一個(gè)非空子集A既是S的左理想又是S的右理想，則稱之為S的理想. S的子半群B如果滿足BSB?B，則稱B為S的雙理想. 半群S稱為內(nèi)稟正則的，如果(?a∈S)(?x,y∈S)a=xa2y ，即(?a∈S)a∈Sa2S . 半群S的模糊子集f稱為模糊子半群，如果(?x,y∈S)f(xy)≥min{f(x),f(y)}. f稱為S的模糊左（右）理想，如果(?x,y∈S)f(xy)≥f(y)(或f(xy)≥f(x)). 如果f既是模糊左理想又是模糊右理想，稱f為S的模糊理想[13]，即(?x,y∈S)f(xy)≥max{f(x),f(y)}.

本文涉及的其他術(shù)語(yǔ)或概念參見文獻(xiàn)[12,15].

1 區(qū)間值模糊子半群

用D[0,1]表示[0,1]的所有閉子區(qū)間集，為了方便，將[c,c]，?c∈[0,1]也歸入D[0,1]. 設(shè)=[a-,a+]，，?i∈I均為D[0,1]中的元素，D[0,1]集上規(guī)定的大小及相等關(guān)系如下：

設(shè)S是半群，S的區(qū)間值模糊子集（interval valued模糊子集，簡(jiǎn)稱i-v模糊子集）是一個(gè)從S到D[0,1]的映射. 設(shè)f為S的i-v模糊子集，則對(duì)任意x∈S,f(x)=[f-(x),f+(x)],f-(x)≤f+(x)，這里f-和f+分別是f誘導(dǎo)的2個(gè)S的模糊子集. 設(shè)A?S,A≠?，則

是S的i-v模糊子集.

設(shè)S為半群，f,g是S的2個(gè)i-v模糊子集，規(guī)定它們之間的大小關(guān)系及運(yùn)算如下：

1）(?x∈S)f≤g當(dāng)且僅當(dāng)f(x)≤g(x).

2）(f∪g)(x)=rmax{f(x),g(x )}.

3）(f∩g)(x)=rmin{f(x),g(x )}.

定義1[13]456設(shè)S為半群. S的i-v模糊子集f稱為S的i-v模糊半群，如果

定義2[13]456設(shè)S為半群. S的i-v模糊子集f稱為S的i-v模糊左理想（右理想），如果

如果f既是i-v模糊左理想又是i-v模糊右理想，則稱之為S的i-v模糊理想.

定理1 S的i-v模糊子集f是i-v模糊理想當(dāng)且僅當(dāng)

證明 必要性. 因?yàn)閒是i-v模糊理想，所以

因此f(xy)≥rmax{f(x),f(y)}.

充分性. 如果f(xy)≥rmax{f(x),f(y)}，顯然，f(xy)≥f(x)且f(xy)≥f(y).

定義3[11]5設(shè)S是半群. S的i-v模糊子集f稱為S的i-v模糊雙理想，如果

因此，S的每個(gè)i-v模糊左（右）理想一定是S的i-v模糊雙理想.

定義4[15]設(shè)S是半群. S的i-v模糊子集f稱為S的i-v模糊內(nèi)稟理想，如果

注意到S本身的特征函數(shù)，即fS(x)=[1,1]，?x∈S是S的i-v模糊理想，我們?nèi)匀挥浿疄镾.

2 主要定理

首先給出以下引理.

引理1[15]106設(shè)S為半群，下列各款等價(jià)：

1）S是內(nèi)稟正則的.

2）對(duì)S的每個(gè)左理想L和每個(gè)右理想R，R∩L?LR ．

引理2[13]設(shè)S為半群，下列各款等價(jià)：

1）S是正則和內(nèi)稟正則的.

2）對(duì)S的每個(gè)雙理想B，B2=B.

3）對(duì)S的任何2個(gè)雙理想A、B，A∩B?A?B .

4）對(duì)S的每個(gè)雙理想B和每個(gè)左理想L，B∩L?LB∩BL .

5）對(duì)S的每個(gè)雙理想B和每個(gè)右理想R，R∩B?BR∩RB.

6）對(duì)S的每個(gè)左理想L和每個(gè)右理想R，R∩L?LR∩RL .

定理2 設(shè)半群S的非空子集A是S的左（右，雙）理想當(dāng)且僅當(dāng)fA是S的i-v模糊左（右，雙）理想．

證明 設(shè)S為半群，A為S的左理想，則SA?A．設(shè)?x,y∈S，若xy∈SA，則xy∈A，即fA(xy)=[1,1]≥fA(y). 若xy?SA，則xy?A，且y?A，所以fA(xy)=[0,0]≥[0,0]=fA(y). 綜上所述，?x,y∈S均有fA(xy)≥fA(y). 所以fA是S的i-v模糊左理想．反之，顯然. 同理可以證明i-v模糊右理想和雙理想這兩種情況.

定理3 設(shè)S是半群，f是S的i-v模糊左理想當(dāng)且僅當(dāng)S?f≤f.

證明 設(shè)S為半群，f是S的i-v模糊左理想，?x,y∈S，如果存在?y,z∈S使得x=yz，則

否則S?f(x)=0≤f(x). 因此，S?f≤f. 反之，如果S?f≤f，則對(duì)?y,z∈S，

同理可以證明下面的對(duì)偶情形.

定理4 設(shè)S是半群，f是S的i-v模糊右理想當(dāng)且僅當(dāng)f?S≤f.

定理5 設(shè)S為半群，S是內(nèi)稟正則的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)i-v模糊理想f均有f(a)=f(a2),?a∈S .

證明 設(shè)f是S的i-v模糊理想，a∈S. 設(shè)S是內(nèi)稟正則的，則存在x,y∈S使得a=xa2y，因此

故f(a)=f(a).

反之，設(shè)a∈S，則a2生成的理想是(a2)，由定理2，f(a2)為S的i-v模糊理想，根據(jù)假設(shè)，f(a2)(a)=f(a2)(a2)=[1,1]，因此a∈(a2)={a2}∪Sa2∪a2S∪Sa2S . 由此推出a∈Sa2S，所以S是內(nèi)稟正則的．證畢．

推論1 設(shè)S是內(nèi)稟正則半群，則對(duì)于每個(gè)i-v模糊理想f，f(xy)=f(yx)，?x,y∈S.

證明 由定理5，

因此，f(xy)=f(yx).

定理6 設(shè)半群S，則S是內(nèi)稟正則的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)S的每個(gè)i-v模糊左理想f和每個(gè)i-v模糊右理想g，f∩g≤f?g．

證明 設(shè)S是內(nèi)稟正則半群且f,g分別是S的i-v模糊左、右理想. 對(duì)任意a∈S，存在x,y∈S使得a=xa2y，且

因此，f∩g≤f?g.

反之，如果f∩g≤f?g，設(shè)R,L分別是S的右理想和左理想. 由定理2，則fR,fL是S的i-v模糊右理想和左理想. 設(shè)a∈R∩L，則，

因此存在x∈R,y∈L使得a=xy，即a∈RL. 由引理1，S是內(nèi)稟正則的.

引理3[15]103一個(gè)半群是正則的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)S的每個(gè)右理想A和每個(gè)左理想B，A∩B=AB.

引理4 一個(gè)半群是正則的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)S的每個(gè)i-v模糊左理想f和每個(gè)i-v模糊右理想g，f∩g=f?g.

證明 設(shè)S是正則的，因?yàn)閒為i-v模糊左理想，所以f?g≤f?S≤f. 因?yàn)間為S的每個(gè)i-v模糊右理想，所以f?g≤S?g≤g，因此f?g≤f∩g. 另一方面，對(duì)任意a∈S，因?yàn)镾為正則半群，所以存在x∈S使得a=axa. 因此，

綜上證明，有f∩g=f?g.

反之，設(shè)A為S的左理想，B為S的右理想，則fA,fB分別是S的i-v模糊左理想和右理想，由假設(shè)，fA∩fB=fA?fB. 取a∈A∩B，則[1,1]=(fA∩fB)(a)=fA?fB(a). 因此，故a∈AB. 顯然AB?A∩B.

因此，AB=A∩B. 由引理3，S是正則的.

定理7 設(shè)S是半群，下列各款等價(jià)：

1）S是正則和內(nèi)稟正則的.

2）對(duì)S的每個(gè)i-v模糊雙理想f，f?f=f.

3）對(duì)S的任意i-v模糊雙理想f,f1，f∩f1≤(f?f1)∩(f1?f).

4）對(duì)S的每個(gè)i-v模糊雙理想f和每個(gè)i-v模糊左理想h，f∩h≤(f?h)∩(h?f).

5）對(duì)S的每個(gè)i-v模糊雙理想f和每個(gè)i-v模糊右理想g，f∩g≤(f?g)∩(g?f).

6）對(duì)S的每個(gè)i-v模糊右理想g和每個(gè)i-v模糊左理想h，g∩h≤(g?h)∩(h?g).

證明 顯然3）?4），4）?6），3）?5），5）?6），3）?2）.

1）?3）. 任意a∈S. 因?yàn)镾是正則的，則存在x∈S使得a=axa=axaxa，又因?yàn)镾是內(nèi)稟正則的，則存在y,z∈S使得a=ya2z. 所以

因?yàn)閒,f1是S的i-v模糊雙理想，所以

且

所以

所以，f?f1≥f∩f1．同理可證f1?f≥f∩f1，因此

6）?1）. 設(shè)6）成立. 設(shè)g,h分別是S的任意2個(gè)i-v模糊右理想和左理想，由題意知：

由定理6可得S是內(nèi)稟正則的. 另一方面，根據(jù)定理4和定理5，g∩h≤g?h≤g?S≤g，g∩h≤g?h≤S?h≤h，得g∩h≤g?h≤g∩h，即g?h≤g∩h. 由引理4，S是正則的.

2）?1）設(shè)B是S的任意雙理想，則fB是S的i-v模糊雙理想，顯然B2?B. 取?a∈B，因?yàn)閒B?fB=fB，所以

因此Ω={(b,c)∈B×Ba=bc}≠?，故a∈B2，即B=B2. 由引理2，S是正則和內(nèi)稟的.

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A New Characterization of Intra-regular Semi-groups

LIN Xiu-ping, XIE Xiang-yun
(School of Mathematics and Computation Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

The concept of intraval valued fuzzy sets on intra-regular semi-groups is introduced. Moreover, the operations with interval valued fuzzy sets are discussed. Finally, some theorems are given to characterize intra-regular semigroups in terms of interval valued fuzzy left (resp. right, bi-) ideals of semigroups.

intra-regular semi-groups; interval valued fuzzy sets; interval valued fuzzy left (right, bi) ideal

O152. 7

A

1006-7302（2011）01-0010-06

2010-08-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10961014）；廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（0501332）

林秀萍（1984—），女，廣東陽(yáng)江人，碩士研究生，研究方向：模糊代數(shù)；謝祥云，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，通信作者，研究方向?yàn)樾虬肴旱拇鷶?shù)理論、模糊代數(shù)、粗糙集理論.