兩類復(fù)序解析函數(shù)族的系數(shù)估計(jì)

熊良鵬，劉曉麗

（成都理工大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000）

兩類復(fù)序解析函數(shù)族的系數(shù)估計(jì)

熊良鵬，劉曉麗

（成都理工大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000）

用S表示在單位開(kāi)圓盤Δ={z:|z|＜1}內(nèi)單葉解析的函數(shù)類，函數(shù)族S*C(γ,λ,β)為S的一個(gè)子類，其中0≤λ≤1，0≤β＜1，γ∈C，z∈Δ. 借用非同構(gòu)的Cauchy-Euler微分方程，定義了與S*C(γ,λ,β)相關(guān)的另一類函數(shù)族BS*C(γ,λ,β,μ)，μ∈R(-∞,-1]，并得到了S*C(γ,λ,β)與BS*C(γ,λ,β,μ)系數(shù)估計(jì)的結(jié)果.

單葉函數(shù)；解析函數(shù)；星形函數(shù)；系數(shù)估計(jì)；Cauchy-Euler方程

1 預(yù)備知識(shí)

用S表示在單位開(kāi)圓盤Δ={z:|z|＜1}內(nèi)單葉解析形式如下的函數(shù)：

S*,C,P 分別表示通常意義的星形函數(shù)族、近于凸函數(shù)族和正實(shí)部函數(shù)，它們均為S的子類. 一個(gè)函數(shù)f(z)∈SC(γ,λ,β)當(dāng)且僅當(dāng)f(z)∈S且滿足不等式

其中，0≤λ≤1，0≤β＜1，γ∈C，z∈Δ.

O. Altintas等[1-2]曾經(jīng)研究過(guò)此函數(shù)族，本文定義如下2個(gè)新的函數(shù)族.

定義1 一個(gè)函數(shù)f(z)∈S*C(γ,λ,β)當(dāng)且僅當(dāng)f(z)∈S且存在函數(shù)g∈S*滿足不等式

其中，0≤λ≤1，0≤β＜1，γ∈C，z∈Δ.

顯然，S*C(1,1,0)≡k*. K.I. Noor等[3]定義和研究過(guò)S*，S*C(1,0,0)≡C 為近于凸函數(shù)族；熊良鵬[4]定義和研究過(guò)S*C(γ,λ,β)特殊子集的半徑問(wèn)題.

定義2 一個(gè)函數(shù)f(z)∈BS*C(γ,λ,β,μ)當(dāng)且僅當(dāng)f(z)∈S且存在函數(shù)g(z)∈S*C(γ,λ,β)使得f(z)滿足如下的非同構(gòu)Cauchy-Euler微分方程：

其中，w=f(z)∈S ，g(z)∈S*C(γ,λ,β)，μ∈R(-∞,-1].

本文獲得了函數(shù)族S*C(γ,λ,β)和BS*C(γ,λ,β,μ)系數(shù)估計(jì)的結(jié)果.

2 主要結(jié)果

引理1[5]13如果

引理2[5]12如果

證明 因?yàn)閒(z)∈S*C(γ,λ,β)，則由定義1，有：

設(shè)

式（4）和式（5）暗示了Rp(z)＞0，故由引理2有：|pn|≤2. 事實(shí)上，式（5）等價(jià)于

展開(kāi)式（6）兩端，對(duì)比nz的系數(shù)，有：

所以

又因?yàn)間(z)∈S*，由引理1，有|bn|≤n，n≥2. 聯(lián)合式（7），可得：

下面是定理1的2個(gè)推論.

證明 在定理1中取λ=β=0，γ=1即可.

證明 在定理1中取λ=γ=1，β=0即可.

證明 因?yàn)閒(z)∈BS*C(γ,λ,β,μ)且，則由定義2，有：

聯(lián)合定理1，容易得到

證畢.

[1] ALTINTAS O, IRMAK H, OWA S, et al. Coefficient bounds for some families of stralike and convex functions of complex order[J]. Applied Mathematics Letters, 2007, 20(12): 1218-1222.

[2] ALTINTAS O, OZKAN O, SRIVASTAVA H M. Neighborhoods of a class of analytic functions with negative coefficients[J]. Appl Math Lett, 1995, 13(3): 63-67.

[3] NOOR K I, ALDIHAN N. A subclass of close-to-convex function[J]. Pb Univ Math, 1982, 16(2): 183-192.

[4] 熊良鵬. 一類新的近于凸函數(shù)的子集[J]. 湖北大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2010, 32(1): 13-17.

[5] HALLENBECK D J, MACGREGOR T H. Linear problem and convexity techniques in geometric function theory[M]. New York: Putnam Publishing Group, 1984.

Coefficient Estimates of Two Types of Complex Sequence Analytic Functions

XIONG Liang-peng, LIU Xiao-li
(School of Engineering Technology, Chengdu University of Technology, Leshan 614000, China)

Let S denote the class of functions which are analytic and univalent in the open unit disk Δ={z:|z|＜1}. The class S*C(γ,λ,β)belongs to the S. Then the other class BS*C(γ,λ,β) was defined with the Cauchy-Euler differential equation with S*C(γ,λ,β)and the coefficient estimate of the classes S*C(γ,λ,β)and BS*C(γ,λ,β) were obtained.

univalent function; analytic function; starlike function; coefficient estimate; Cauchy-Euler equation

O174.51

A

1006-7302（2011）01-0016-04

2010-10-20

熊良鵬（1983—），男，湖北武漢人，助教，碩士，研究方向?yàn)閱螐?fù)變函數(shù)論.