全純函數(shù)的正規(guī)族與分擔集

徐俊峰

（五邑大學 數(shù)學與計算科學學院，廣東 江門 529020）

全純函數(shù)的正規(guī)族與分擔集

徐俊峰

（五邑大學 數(shù)學與計算科學學院，廣東 江門 529020）

利用分擔集合的思想證明了定理：設F是單位圓盤內的一族全純函數(shù)族，a1和a2是2個不同的有限復數(shù)且a1+a2≠0；當α≥1時，如果對于任意的f∈F，Ef(S)=Ef＇(S)，S={a1,a2}在單位圓內成立，那么f是一個α-正規(guī)函數(shù).

全純函數(shù)；亞純函數(shù)；正規(guī)函數(shù)；分擔集

1 引言及主要結果

設D是復平面的區(qū)域，F(xiàn)是區(qū)域D中的一族亞純函數(shù). 在Montel意義下，如果F的子序列{fn}中包含一列子序列{fnj}，且其在D內一致局部球形收斂到一個亞純函數(shù)或者無窮，則稱F在區(qū)域D內正規(guī).[1]

本文假設f,g是區(qū)域D內的2個亞純函數(shù)，S1和S2是2個集合. 如果f(z)∈S1?g(z)∈S2，則記為f(S1)?g(S2). 如果f(z)∈S1?g(z)∈S2，則記為f(S1)=g(S2). 類似地，如果f(z)∈S1?g(z)∈S2，則記為Ef(S1)=Eg(S2). 如果集合S只有1個元素a，我們用f(z)=a表示f(z)∈S.[2]

Schwick[3]首先將函數(shù)族F（和它們的導數(shù)）的分擔值與其正規(guī)性聯(lián)系起來，并證明了：對每一個f∈F，以及區(qū)域D內的3個不同復數(shù)a1,a2,a3，如果f和f＇分擔a1,a2,a3，那么函數(shù)族F在區(qū)域D內正規(guī).

龐學誠等[4]325推廣了這個結果，得到定理A.

定理A 設F是區(qū)域D中的一族亞純函數(shù)族，a,b,c,d是復常數(shù)且滿足c≠a和d≠b. 如果對每一個f∈F，有f(z)=a?f＇(z)=b和f(z)=c?f＇(z)=d，那么F在區(qū)域D內正規(guī).

定義1[5-6]一個亞純函數(shù)f是單位圓D內的正規(guī)函數(shù)當且僅當這里存在一個常數(shù) C(f)（此常數(shù)僅與f有關）使得(1-|z|2)f?(z)＜C(f)，這里f?(z)=|f＇(z)|/(1+|f(z )|2)是f的球形導數(shù).

2000年，龐學誠[7]602利用分擔值考慮正規(guī)函數(shù)，得到定理B.

定理B 設F是單位圓中的一族亞純函數(shù)族，a1,a2,a3是3個不同的有限數(shù). 如果對每一個f∈F，f(ai)=f＇(ai)，i=1,2,3，在單位圓內成立，則存在一個正數(shù)M（M僅與a1,a2,a3有關），使得對每一個f∈F，有(1-|z|2)f?(z)＜M .

事實上，由定理B可以得到下面的推論.

推論1 設F是單位圓中的一族全純函數(shù)族，a1,a2是2個不同的有限復數(shù)，如果對每一個f∈F，f(ai)=f＇(ai)，i=1,2，在單位圓內成立，則定理B的結論成立.

最近，許多學者利用分擔集合來研究正規(guī)族[7-9]，如劉曉俊[9]411利用分擔集合S={a1,a2,a3}得到一個類似于定理B的正規(guī)族，那么利用分擔集合S={a1,a2}能否得到類似推論1的正規(guī)族是一個令人感興趣的問題. 本文利用文獻[10]的方法研究了這個問題并得到下面的結果.

定理1 設F是單位圓中的一族全純函數(shù)族，a1,a2是2個不同的有限復數(shù)，且a1+a2≠0. 如果對每一個f∈F，Ef(S)=Ef＇(S )，S={a1,a2}在單位圓內成立，則存在一個正數(shù)M(M僅與a1,a2,a3有關)，使得對每一個f∈F，有（1-|z|2）f?(z)＜M .

下面舉例說明條件a1+a2≠0是必要的.

例1[10]1214設S={-1,1}. 令F={fn(z):n =2,3,4…}，這里，那么對任意的fn∈F，有n2[fn2(z)-1]=fn2＇(z )-1；因而fn和fn＇分擔集合SCM，但是fn在D內不正規(guī).

推論2 設F是單位圓中的一族全純函數(shù)族，a是一個非零的有限復數(shù)，如果對每一個f∈F，f和f＇分擔集合S={0,a}IM在單位圓成立，那么定理1的結論成立.

例2說明條件中復數(shù)a為有限數(shù)也是必要的.

例2 設S={0,∞}. 令F={enz:n=1,2…}，D={z:|z|＜1}，那么fn=enz且fn＇=nenz分擔集合SIM，但是fn在D內不正規(guī).

定義2[11-13]給定0＜α＜∞，如果存在一個常數(shù)Cα(f)使（1-|z|2）αf?(z)＜Cα(f )，則稱f是單位圓D內的α-正規(guī)函數(shù).

定理2 令α≥1. 設F是單位圓中的一族全純函數(shù)族，a1,a2是2個不同的有限復數(shù)，且a1+a2≠0. 如果對每一個f∈F，Ef(S)=Ef＇(S )，S={a1,a2}在單位圓內成立，則存在一個正數(shù)M(M僅與a1,a2,a3有關)，使得對每一個f∈F，有（1-|z|2）αf?(z)＜M.

2 引理

引理1[4]328設F是定義在單位圓Δ內的亞純函數(shù)族，對于F中的任意函數(shù)f，其零點重數(shù)至少為k，f（z）=0?|f(k)(z)|≤A. 如果F在單位圓Δ內不正規(guī)，那么對0≤α≤k，存在一個點列zn,zn＜r＜1，一個函數(shù)列fn∈F，以及正數(shù)列ρn→0+使得按球面距離內閉一致收斂到非常數(shù)亞純函數(shù)g(ξ)且滿足g#(ξ)≤g#(0)=kA+1.

引理2 設F是定義在單位圓Δ內的亞純函數(shù)族，對于F中的任意函數(shù)f，其零點重數(shù)至少為k，f（z）=0?|f(k)(z)|≤A. 如果F不是α-正規(guī)函數(shù)，那么對0≤α≤k和1≤α＜∞，這里存在一個點列zn,zn＜r＜1和一個正數(shù)序列ρn→0+，以及函數(shù)列fn∈F使得{gn(ζ)}=ρn-λf（zn+(1-|zn|2)αρnζ ）按球面距離內閉一致收斂到ζ平面上的一個非常數(shù)Yosida函數(shù).

采用文獻[12]的方法可以證明上述引理.

3 定理2的證明

假設結論不成立，可以找到序列zn＜1和函數(shù)列fn∈F使得gn(z)=fn（zn+(1-|zn|2)αz）滿足：

因而，{gn(z)}在單位圓內不正規(guī).

由引理2可以找到正數(shù)r，0＜r＜1；復數(shù)ζn，|ζn|＜1；ρn→0+和gn∈F使得Gn(ζ)=gn(ζn+ρnζ)= fn（zn+(1-|zn|2)αζn+(1-|zn|2)αρnζ ）局部一致地收斂到一個非常數(shù)的整函數(shù)G(ζ). 由于G是一個非常數(shù)整函數(shù)，不失一般性，假設G-a1在復平面有零點，設ζ0是G-a1的零點.考慮亞純函數(shù)族

我們斷言H在點ζ0不正規(guī).

事實上，要么G(ζ0)=a1，要么G(ζ)≡/a1.由式（1）和Hurwitz定理，如果這里存在ζn滿足ζn→ζ0，Gn(ζn)=a1，那么Hn(ζn)=0. 然而，這里存在一個正數(shù)δ使得Δδ={z∈D:0＜|ζ-ζ0|＜δ}?D，但在Δδ內G(ζ)≠a1，因而對每一個ζ∈Δδ，Gn(ζ)≠a1（當n充分大）；從而對每一個ζ∈Δδ，有H(ζ)=∞.這樣就證明了H在點ζ0不正規(guī).

注意到Hn(ζ)=0?(ζ)=a1或a2，再利用引理2，可以得到τn→τ0，ηn→0以及Hn∈H使得

局部一致地收斂到一個非常數(shù)整函數(shù)F(ξ)，且F?(ξ)≤F?(0)=M.特別地，ρ(F)≤1.

我們斷言：

1）F只有有限多個零點.

2）F(ξ)=0?F＇(ξ)=a1或a2.

證明 對于斷言1）.假設ζ0是G(ζ)-a1的k重零點，如果F(ξ)有無窮多個零點，那么這里存在k+1個不同的點ξj(j=1,…,k+1)滿足F(ξj)=0(j=1,…,k+1).注意到F(ξ)≡/0，由Hurwitz定理，這里存在整數(shù)N，如果n＞N，則有F(ξj)=0(j=1,…,k+1)和Gn(τn+ηnξjn)-a1=0，于是

即ζ0是G(ζ)-a1的至少k+1重零點，這與ζ0是G(ζ)-a1的k重零點矛盾，于是斷言1）得證.

對于斷言2）.假設F(ξ0)=0，那么由Hurwitz定理，這里存在ξn,ξn→ξ0（當n充分大），使得

因而，fn（zn+(1-|zn|2)αζn+(1-|zn|2)αρn(τn+ηnξn)）=a1.由假設，有：

因而，

這就證明了F(ξ)=0?F＇(ξ)=a1或a2.

下面再證明F＇(ξ)=a1或a2?F(ξ)=0.

假設F＇(ξ0)=a1.明顯地，F(xiàn)＇≡/a1，否則F?(0)≤|F＇(0)|=|a1|＜M，矛盾.然后由Hurwitz定理，這里存在ξn,ξn→ξ0（當n充分大），使得

從而，

如果這里存在一個正整數(shù)N，則對每一個n＞N，有：

從而，

這與F＇(ξ0)=a1矛盾.因而這里存在{fn}的一個子序列（通過重排，我們繼續(xù)用{fn}表示）滿足fn（zn+(1-|zn|2)αζn+(1-|zn|2)αρn(τn+ηnξn)）=a1.于是，得到

這就暗含F(xiàn)＇=a?F=0.

類似地，我們得到F＇=a2?F=0，從而證明了斷言2）.

由于ρ(F＇)=ρ(F)≤1，那么由Nevanlinna第二基本定理有：

情況1 a1a2=0. 不失一般性，假設a1=0. 我們知道F＇有零點，那么F有重零點. 假設deg(F)=n，那么T(r,F＇)=(n-1)log r 和S(r,F＇)=O(1). 由式（2），有：

因而得到F只有重零點且其重數(shù)為2，F(xiàn)＇只有1個單零點，這就推出n=2. 令F＇=B(ξ-ξ0)，那么，這與F＇=a2?F=0矛盾. 證畢.

情況2 a1a2≠0. 我們首先證明F=0?F＇=a1或a2. 由a1a2≠0，得到F=0→F＇=a1或a2. 這樣只需證明F＇=a1或a2→F=0.

假設ξ0是F＇-a1的m重零點. 由Rouche定理，這里存在m個序列{ξin}(i=1,2,…,m)在Dδ/2= {ξ:|ξ-ξ0|＜δ/2}使得Fn＇(ξin)=a1，那么

由于f和f＇分擔{a1,a2}CM，推出f＇-a1只有單零點，這就是ξin≠ξjn(1≤i≠j≤m)，得到

我們斷言這里存在無窮多個n滿足：

否則，假設對所有的n，存在j∈(1,…,m)滿足：

取一個固定數(shù)l∈(1,…,m)滿足（對無窮多個n）：

因而

這與F＇(ξ0)=a1矛盾，式（3）得證. 因而，F(xiàn)n(ξin)=0(i=1,2,…,m)和ξin≠ξjn(1≤i≠j≤m). 當n→∞，我們有ξ0是F的零點且其零點重數(shù)至少為m. 這就證明了F＇=a1→F=0.

類似地，可以證明F＇=a2→F =0. 從而F=0?F＇=a1或a2得證.

由上述證明可知F＇-a1和F＇-a2只有單零點. 假設deg(F)=n，那么n=2(n-1)，則n=2. 令F=A(ξ-ξ1)(ξ-ξ2)，那么F＇=A(2ξ-ξ1-ξ2). 不失一般性，假設F＇(ξ1)=a1和F＇(ξ2)=a2，我們得到a1+a2=0. 這與條件矛盾. 因而定理2得證.

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The Normal Family and Sharing Set of Holomorphic Functions

XU Jun-feng
(School of Mathematics and Computation Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

In this paper, the idea of the sharing set was used to prove the following theorem: Let F be a family of holomorphic functions in the unit disc, a1and a2be two distinct finite numbers with a1+a2≠0. If α≥1, for any f∈F, Ef(S)=Ef＇(S ), S={a1,a2} in the unit disc, then f is an α-normal function.

holomorphic functions; meromorphic function; normal function; shared sets

O174.52

A

1006-7302（2011）01-0001-05

2010-07-27

國家自然科學基金資助項目（10771121）；廣東省自然科學基金資助項目（9452902001003278）；廣東省高校優(yōu)秀青年創(chuàng)新人才培養(yǎng)項目（LYM08097）

徐俊峰（1979—），男，湖北南漳人，副教授，博士，研究方向為復分析及其應用.