數(shù)字寬帶波束形成的仿真與驗(yàn)證

劉子龍，丁淑娟，孫廣俊，張曙光

(中國電波傳播研究所，山東 青島 266107)

0 引言

隨著寬帶波束形成技術(shù)在聲納、雷達(dá)、通信、醫(yī)療、麥克風(fēng)陣列等科研領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，對應(yīng)的理論研究和實(shí)現(xiàn)方法也是層出不窮:既有近場的，也有遠(yuǎn)場的;既有固定波束的，也有自適應(yīng)處理的;既有時域?qū)崿F(xiàn)的，也有頻域合成的等。但在眾多的研究內(nèi)容和實(shí)現(xiàn)方法中，很少有對波束形成的整個流程做出仿真和論證的，為此，本文就固定波束寬帶恒定束寬響應(yīng)波束形成器［1～5］的整個實(shí)現(xiàn)過程進(jìn)行了研究與論證，并通過理論分析與仿真證實(shí)了本文所述方法的正確性。

1 預(yù)延時

預(yù)延時是數(shù)字寬帶波束形成器的重要組成部分，它的主要作用是調(diào)節(jié)波束指向。早期的寬帶陣列產(chǎn)品是通過機(jī)械掃描(旋轉(zhuǎn)天線)來實(shí)現(xiàn)方向掃描的，由于其缺乏靈活性，逐漸被其他延時技術(shù)所代替。

數(shù)字延時線是廣泛使用的延時技術(shù)之一，文獻(xiàn)［5］等給出了用數(shù)字延時線來調(diào)節(jié)波束指向的實(shí)現(xiàn)方法，以一維沿x軸排列的均勻線陣為例，如圖1所示，各天線陣元編號分別為1，2，…M，縱坐標(biāo)代表陣列法向。當(dāng)來波方向(DOA，direction of arrival)偏離陣列法向夾角θ時，把各天線接收信號的延時可分解為整數(shù)倍采樣間隔(Ts)的時間延時和小數(shù)倍采樣間隔的時間延時Δtm的和(參考圖1)，即

前者用數(shù)字延時線來代替，而后者忽略不計，這樣，在采樣頻率較高時，可以近似認(rèn)為各天線同步采集到了來波方向信號的同一波前，即波束指向來波方向。但這種結(jié)果只是一種近似，當(dāng)信號采樣頻率相對較低或某些場合下對信號失真度要求較高時，這種波束形成的結(jié)果可能不滿足要求，因此，需要有專門針對小數(shù)倍采樣間隔延時的補(bǔ)償方法。

Farrow濾波器是近些年來被廣泛研究的濾波器結(jié)構(gòu)［6～8］，它本質(zhì)上是對采樣信號的一種插值運(yùn)算，可作為分?jǐn)?shù)延時濾波器使用。Farrow分?jǐn)?shù)延時濾波器的數(shù)學(xué)模型可表達(dá)為

［7］，這樣，通過用插值多項(xiàng)式(z)dm來近似表達(dá)數(shù)字濾波器的沖擊響應(yīng)h(n，d)，便可以用一些固定系數(shù)的FIR濾波器并行實(shí)現(xiàn)總的群時延響應(yīng)，并通過控制參數(shù)d來產(chǎn)生需要的小數(shù)延時。式(2)的原理框圖如圖2所示，其中 x［n］代表輸入信號，y［n］代表延時輸出。

典型的Farrow濾波器的“幅頻響應(yīng)”曲線如圖3所示，“相頻響應(yīng)”曲線如圖4所示，其中橫坐標(biāo)為歸一化頻率(1對應(yīng)采樣頻率的一半，即數(shù)字頻率π)，圖3中的縱坐標(biāo)為幅度大小，圖4中的縱坐標(biāo)為采樣時間間隔的倍數(shù)，兩幅圖中多條曲線對應(yīng)的歸一化分?jǐn)?shù)倍延時分別為［0:0.1:0.9］，仿真中采用的插值多項(xiàng)式是Lagrange線性內(nèi)插多項(xiàng)式。更多的關(guān)于Farrow濾波器的設(shè)計方法可參見文獻(xiàn)［9，10］等。

由于Farrow濾波器設(shè)計靈活，控制方便，便于在FPGA等硬件數(shù)字電路中實(shí)現(xiàn)［11］，因此得到了越來越廣泛的應(yīng)用。把數(shù)字延時線技術(shù)［5］和Farrow分?jǐn)?shù)延時濾波器共同引入到寬帶信號的預(yù)延時部件中，可以在各天線通道準(zhǔn)確恢復(fù)出波束指向來波信號的同一波前。

2 波束形成器權(quán)系數(shù)求解

在完成對各天線陣元接收信號的預(yù)延時之后，接下來需要做的就是對各陣元信號進(jìn)行加權(quán)處理。由于寬帶信號的波束圖會隨著信號帶寬的擴(kuò)展而展寬，表現(xiàn)為對主瓣內(nèi)非波束指向來波信號的低通濾波特性，以陣元數(shù)為16的均勻線陣為例，設(shè)歸一化頻率為［0.31］，1對應(yīng)信號最高頻率分量，陣元間距為最高頻率分量對應(yīng)的半波長，陣元加權(quán)為－30 dB切比雪夫窗，波束指向陣列法向，此時形成的陣列方向圖如圖5和圖6所示。顯然，當(dāng)來波信號恰好來自陣列法向時，各頻率成分信號衰減相同，如圖中的實(shí)線箭頭所示，此時不會產(chǎn)生波束形成信號的失真;然而當(dāng)來波信號方向偏離陣列法向時，各頻率成分信號衰減不同，高頻成分衰減更大，如圖中的虛線箭頭所示，這必然導(dǎo)致接收信號的失真，因此需要設(shè)計寬帶恒定束寬響應(yīng)寬帶波束形成器，即在感興趣的信號帶寬內(nèi)，使主瓣范圍內(nèi)的波束響應(yīng)不隨頻率變化。

設(shè)期望波束響應(yīng)為P(f0，θ)，則希望在各離散頻點(diǎn)及感興趣的來波方向上獲得的波束響應(yīng)與參考波束響應(yīng)一致，即求解波束形成器權(quán)系數(shù)的問題可以表示為

式中，w(m，i)為第m陣元第i個頻點(diǎn)對應(yīng)的權(quán)系數(shù);P(fi，θj)是頻率為 fi，興趣角度為 θj時的波束響應(yīng);P(f0，θj)為 θj方向上的參考波束響應(yīng);P(fi，θs)為其他方向上的響應(yīng);δ為一約束值，m，i，j，s均為整數(shù)。

對式(3)不同的約束及求解方法衍生出眾多不同的波束形成器權(quán)系數(shù)算法，較常見的求解方法有空間重采樣法［12］、Bessel函數(shù)分解法［12］、聚焦矩陣法［13］、二階錐規(guī)劃法［5］等。其中空間重采樣法適用于均勻線陣;Bessel函數(shù)分解法適用于任意陣列;聚焦矩陣法需要先對信號進(jìn)行頻率分解，然后通過聚焦矩陣對各頻率分量進(jìn)行聚焦處理;二階錐規(guī)劃法可以在主瓣寬度、旁瓣級、主瓣一致性和波束穩(wěn)健性等多個指標(biāo)間進(jìn)行折中處理，較其他方法更為優(yōu)秀，相應(yīng)的，設(shè)計過程稍復(fù)雜。為簡便起見，這里采用適應(yīng)于均勻線陣的空間重采樣法，并按照下面公式(12)計算各頻點(diǎn)對應(yīng)的加權(quán)系數(shù)

式中，wm(k)為陣元m第k個頻率所對應(yīng)的加權(quán)系數(shù);d0、dk分別為實(shí)際陣元間距和第k個頻率所對應(yīng)的半波長;wi(0)為第i個陣元對應(yīng)的參考加權(quán)系數(shù)。仍以16陣元均勻線陣為例，設(shè)歸一化頻率為［0.5，1］，陣元間距為最高頻率分量對應(yīng)的半波長，參考頻率選為0.5，參考權(quán)值為－40 dB切比雪夫窗，波束指向陣列法向，按式(4)計算該倍頻程內(nèi)20個頻點(diǎn)的加權(quán)系數(shù)，并繪出各個頻點(diǎn)形成的方向圖，如圖7、圖8所示。從圖中可見，該組加權(quán)系數(shù)形成的方向圖的主瓣響應(yīng)基本一致，可確保主瓣內(nèi)來波信號的無失真接收。

圖7 空間重采樣法形成的恒定束寬響應(yīng)陣列方向圖

圖8 圖5波束響應(yīng)對應(yīng)的三維圖

3 波束形成處理

有了各個頻點(diǎn)對應(yīng)的加權(quán)系數(shù)，便可以對來波信號進(jìn)行波束形成處理。波束形成處理既可以在頻域?qū)崿F(xiàn)，也可以在時域?qū)崿F(xiàn):頻域?qū)崿F(xiàn)是一種塊處理方式，它先對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT變換到頻域，再在頻域上完成數(shù)據(jù)加權(quán)及波束形成，最后再通過逆FFT把頻域數(shù)據(jù)變回到時域;時域處理需要根據(jù)各頻點(diǎn)的加權(quán)系數(shù)對各陣元構(gòu)造時域FIR濾波器［5］，再用該濾波器對陣元數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波。本文仿真采用時域處理的方法。

設(shè)時域第m個天線陣元連接的FIR濾波器的階數(shù)為N，對應(yīng)的沖擊響應(yīng)為hm(n)，則根據(jù)式(4)

可以用Matlab或其他數(shù)字濾波器設(shè)計工具獲得第m陣元對應(yīng)的具有線性相位的FIR濾波器的系數(shù)，這樣就可以用該濾波器對m陣元接收數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，最后，把各個陣元輸出相加，便實(shí)現(xiàn)了寬帶波束形成后的數(shù)據(jù)。

4 仿真

為了驗(yàn)證本文所提方法的正確性，在Matlab中建立如下仿真條件:陣列結(jié)構(gòu)為32陣元均勻線陣，信號形式為線性調(diào)頻信號，歸一化頻率為［0.3，1］，陣元間距為最高頻率對應(yīng)的半波長，采樣頻率為2倍最高信號頻率，來波信號方向偏離陣列法向30°，信號幅度歸一化，信噪比為0 dB，波束指向偏離陣列法向25°，對［0.3，1］歸一化頻率范圍內(nèi)的 138個等間隔頻點(diǎn)按空間重采樣法計算陣列加權(quán)系數(shù)，并以此來構(gòu)造連接于每個天線陣元的階數(shù)為256的FIR濾波器。

經(jīng)計算，得到的仿真結(jié)果如圖9～圖12所示，其中，圖9為理想的波束輸出，其最大輸出幅度約為21.3，該值小于32是由于陣元加權(quán)了－30 dB切比雪夫窗;圖10是利用窄帶波束形成方法得到的常規(guī)波束形成輸出，陣元加權(quán)值依然為－30 dB切比雪夫窗，從該圖中可以清楚地看到，線性調(diào)頻信號隨著頻率的升高衰減不斷加劇，這與圖5的分析結(jié)果完全吻合;圖11是本文方法得到的波束形成結(jié)果，該結(jié)果基本恢復(fù)了掩埋在噪聲中的線性調(diào)頻信號，值得一提的是該輸出結(jié)果比圖9的結(jié)果偏小約2 dB，這是由于波束指向偏離來波方向造成的，這可從分析圖7的主瓣響應(yīng)中得到答案，只不過這里的陣元數(shù)是32。

為了說明farrow分?jǐn)?shù)延時濾波器在波束形成中的作用，展示了無分?jǐn)?shù)延時濾波器時的波束輸出，如圖12所示，對比圖11可以發(fā)現(xiàn)，圖12結(jié)果在頻率較高時明顯變差，這是由于忽略了分?jǐn)?shù)倍延時對信號包絡(luò)的影響造成的，該影響隨信號頻率的升高逐漸增強(qiáng);相反，經(jīng)過分?jǐn)?shù)延時濾波器的波束形成結(jié)果在整個信號帶寬內(nèi)對原始信號的恢復(fù)均較為理想。

圖12 分?jǐn)?shù)延時濾波器對波束形成的影響

7 結(jié)語

本文首先把數(shù)字延時線和Farrow結(jié)構(gòu)分?jǐn)?shù)延時濾波器相結(jié)合作為寬帶陣列的預(yù)延時電路，以此來獲得波束指向來波信號的同一波前，然后通過空間重采樣法獲得不同陣元不同信號頻率分量對應(yīng)的加權(quán)系數(shù)，并用一組線性相位FIR濾波器的頻率響應(yīng)來逼近這些加權(quán)值。仿真結(jié)果表明，本文提出的整套寬帶恒定束寬響應(yīng)波束形成方法正確，且具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

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