微積分基本公式的簡明證法及其應(yīng)用

嚴(yán)永仙

微積分基本公式是一元函數(shù)積分學(xué)非常重要的一個(gè)公式,在理論上,它將兩個(gè)完全不同的概念(原函數(shù)與定積分)緊密聯(lián)系在一起;在實(shí)踐中,它為定積分的計(jì)算提供了非常簡便而有效的方法。在通用教材[1-5]中,該公式的證明都是以積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)為基礎(chǔ)的。然而,從筆者長期的教學(xué)實(shí)踐來看,由于此函數(shù)表達(dá)式不具體,只是一個(gè)抽象的符號(hào)∫xaf(t)d t,學(xué)生對(duì)積分上限函數(shù)概念的理解存在著很大的困惑,而對(duì)這一新型函數(shù)的求導(dǎo)法則更是難以理解和掌握。這一點(diǎn)可從課堂教學(xué)的現(xiàn)場(chǎng)反應(yīng)及學(xué)生的作業(yè)和卷面情況得到反饋,可以說是錯(cuò)誤百出,問題非常嚴(yán)重,這對(duì)積分學(xué)這塊內(nèi)容的學(xué)習(xí)和掌握非常不利。這一現(xiàn)象也一直促使筆者思考著一個(gè)問題:能否找到一條有效途徑,讓學(xué)生能真正理解積分上限函數(shù)的概念并掌握其求導(dǎo)法則,從而可以駕馭這類函數(shù)參與普通函數(shù)所討論過的相關(guān)問題,如求極限、導(dǎo)數(shù)、極值、最值、討論單調(diào)性、不等式的證明等。通過筆者長期的教學(xué)實(shí)踐與摸索,找到了該問題解決的辦法,筆者對(duì)教材中這節(jié)內(nèi)容進(jìn)行了較大的處理,打破常規(guī)思路,不完全按照教材中的順序講解,在引例“求變速直線運(yùn)動(dòng)的距離”之后,直接證明得到的結(jié)論具有一般性,即給出微積分基本公式的證明,然后引出積分上限函數(shù)的定義,再給出其求導(dǎo)法則及相應(yīng)的證明。筆者在所教的平行班中,采用新舊兩種教法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),結(jié)果發(fā)現(xiàn)采用新方法教學(xué)效果理想,學(xué)生普遍感到好理解,易接受。事實(shí)上,采用新方法講解,思路更連貫,思維不會(huì)有很大的跳躍。

1 微積分基本公式的一個(gè)簡明證法

微積分基本公式的證明,無論是高等數(shù)學(xué)教材,還是數(shù)學(xué)分析教材,無一例外都是建立在積上限函數(shù)的概念及其導(dǎo)數(shù)的知識(shí)上加以證明的。下面直接利用定積分的定義結(jié)合微分中值定理給出簡明證法。

定理1.1 如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù) f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù),則

上式稱為微積分基本公式。

分析:由定積分的定義,它是特殊和式的極限,把和式中的 f用 F′)代替,看結(jié)構(gòu)聯(lián)想微分中值定理,最后輕松得到證明思路。

證明 在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b,得

因?yàn)镕(x)在[a,b]上可導(dǎo),所以F(x)在每一小區(qū)間[xi-1,xi](i=1,2,…,n)上也可導(dǎo),且F′(x)=f(x),由微分中值定理,得

即

從以上證明過程來看,本定理的條件可減弱,于是得下面的定理:

定理1.2[6-7]函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,F(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)除有限個(gè)點(diǎn)外處處可導(dǎo),且 F′(x)=f(x),則

說明:在定理1.1的證明過程的開始部分:在[a,b]中任意插入分點(diǎn)時(shí),只需將F(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)一并加入作為分點(diǎn),后面的過程保持不變,就可得到本定理的證明(證明過程略)。

本證法沒有難點(diǎn),只要思路分析到位,學(xué)生容易接受。

有了微積分基本公式,就可以計(jì)算定積分,同時(shí)可用來證明積分中值定理,下面給出微積分基本公式的新用途。

2 微積分基本公式的新用途

2.1 解釋定積分的值與積分變量的選取無關(guān)

定理2.1 設(shè) f(x)在[a,b]上可積,且滿足定理1.1或定理1.2中的條件,則

證明 設(shè)F′(x)=f(x),由微積分基本公式,得

所以

即定積分的值與積分變量的選取無關(guān)。

進(jìn)一步可得

2.2 有助于理解積分上限函數(shù)的概念

定義2.1 設(shè)函數(shù) f(x)在[a,b]上連續(xù),記

稱函數(shù)Φ(x)為積分上限的函數(shù)。

由微積分基本公式,得

說明:盡管在上式中,F(x)-F(a)仍然是一個(gè)抽象函數(shù),但由它來理解Φ(x)為積分上限x的函數(shù),要比由f(t)d t來理解Φ(x),難度大大降低,學(xué)生易理解、能接受,進(jìn)一步可解開學(xué)生的疑惑:為什么在函數(shù)(x)d x表達(dá)式中,積分上限中的x與被積表達(dá)式中的x是完全不同的含義。

2.3 給出積分上限函數(shù)求導(dǎo)法則的新證法

定理2.2 設(shè)函數(shù) f(x)在[a,b]上連續(xù),則 Φ(x)=∫xaf(t)d t(a≤x≤b)在[a,b]上可導(dǎo),且

證明 設(shè)F′(x)=f(x),x∈[a,b],由微積分基本公式,得

于是有

注:1)教材中采用導(dǎo)數(shù)的定義式證明Φ(x)可導(dǎo),學(xué)生普遍感到抽象難懂,很難接受。而在文獻(xiàn)[8]中,利用函數(shù)連續(xù)的定義和定積分的保序性給出了此定理的另一種證法。相比較,本文給出的證法更簡單,學(xué)生更易理解和接受。2)需向?qū)W生強(qiáng)調(diào)積分上限函數(shù)的求導(dǎo)是不需要積分的,直接按定理2.2進(jìn)行求導(dǎo)即可。雖然先積分再求導(dǎo)在理論上可行(學(xué)生習(xí)慣用這種方法求導(dǎo)),但很多情況下行不通,如對(duì)下列函數(shù):等。

定理2.3 設(shè)函數(shù) f(x)在[a,b]上連續(xù),φ1(x),φ2(x)在[a,b]上可導(dǎo),則

證明 設(shè)F′(x)=f(x),x∈[a,b],

由微積分基本公式,得

于是由函數(shù)和的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,得

定理2.3的特殊情形如下:

推論2.1 設(shè)函數(shù) f(x)在[a,b]上連續(xù),φ(x)在[a,b]上可導(dǎo),則

將推論2.1中的1)與普通函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則作對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)它們的相似之處。

3 結(jié) 語

本文給出的微積分基本公式的簡明證法,思路清晰,方法簡單。同時(shí)利用它來證明積分上限函數(shù)的求導(dǎo)法則非常方便,學(xué)生容易理解和掌握。學(xué)生看到這種形式的函數(shù)參與求極限、導(dǎo)數(shù),討論單調(diào)性、積分不等式的證明等,心理上就不會(huì)感到恐懼和焦慮,而是有足夠的信心去面對(duì)和解決了。

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué):上冊(cè)[M].6版.北京:高等教育出版社,2007:139-140.

[2] 吳贛昌.高等數(shù)學(xué):上冊(cè)[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2009:228-231.

[3] 歐陽光中,朱學(xué)炎,金福臨,等.數(shù)學(xué)分析:上冊(cè)[M].3版.北京:高等教育出版社,2007:305-307.

[4] 劉玉璉,傅沛仁,林玎,等.數(shù)學(xué)分析講義:上冊(cè)[M].5版.北京:高等教育出版社,2008:413-416.

[5] 陳繼修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析:上冊(cè)[M].2版.北京:高等教育出版社,2004:294-297.

[6] 華羅庚.高等數(shù)學(xué)引論:上冊(cè)[M].北京:科學(xué)出版社,1997:302.

[7] 王艮遠(yuǎn).關(guān)于微積分基本定理的幾點(diǎn)注記[J].武漢工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2004,23(4):112-113.

[8] 楊翰深,熊大生.微積分基本定理的一個(gè)證明和理解[J].工科數(shù)學(xué),2001(2):98-100.