基于不完全撲滅的應急物資最優(yōu)分配決策模型

龐海云

應急物流是為應對嚴重自然災害、突發(fā)性公共衛(wèi)生事件、公共安全事件及軍事沖突等突發(fā)事件,從而對物資、人員、資金的需求進行緊急保障的一種特殊物流活動。它具有突發(fā)性、不確定性、非常規(guī)性及弱經(jīng)濟性等特點[1]。城市是人口高度集聚地區(qū),一旦發(fā)生突發(fā)性公共事件,各個受災點急需大量的應急物資,如食品、救援設備、藥品等,這時需要通過應急物資分配來完成[2-3],以降低突發(fā)性公共事件帶來的后繼損失,加快重建工作。若應急物資分配不當,則會影響城市機能恢復,勢必造成更加巨大的損失。應急物資分配非常重要,決定了救災減災的效果。

人們針對不同的目標、背景和要求對應急物資分配開展了研究。在建模方面,汪欲等[4]以出救點數(shù)目最少、出救時間最短為目標,Ray[5]、Rathi[6]、Equi[7]在不同的約束條件下以最小化運輸費用為目標,?zdamar[2]以所有應急物資的未滿足需求之和最小為目標,將多商品應急物資分配問題與車輛調(diào)度問題結合起來建立模型。關于求解模型的算法研究,目前為止,應用和發(fā)展了許多優(yōu)化技術和方法。如Sheu[8]針對建立的救災階段應急物資的聯(lián)合分配模型,提出了一種混合模糊聚類優(yōu)化方法來求解;Yi等人[9]用蟻群算法求解車輛路徑選擇和多商品調(diào)度問題的模型;?zdamar[2]和繆成等[10]應用拉格朗日松弛法求解模型。

分析現(xiàn)有國內(nèi)外相關文獻后,筆者認為可以在以下方面進行改進:首先,決策以系統(tǒng)損失最小為目標,更能反映應急物資分配的基本原則,因為災后最重要的事情是以最有效的方式來減少生命和財產(chǎn)損失[11],與節(jié)省時間和成本相比較,減少損失應該是第一位的;其次,在由于供給短缺或運力限制造成災害無法全部撲滅(即不完全撲滅)的情形下,應考慮如何通過全局優(yōu)化保證不同受災點物資分配的相對公平性;研究對象擴展到對多個出救點、多個受災點、多種物資的分配,這是應急物資分配中更真實的情況。

本文將沿著以上思路構建城市應急物流中不完全撲滅的物資分配決策模型,即將完全撲滅供給的研究擴展到不完全撲滅供給情形,將單出救點或單種物資分配模型擴展到多出救點、多種物資分配的模型,并從理論上分析最優(yōu)性條件,利用優(yōu)化技術求解模型的最優(yōu)解。

1 問題的描述及數(shù)學模型

1.1 問題的描述

設有l(wèi)個出救點,存儲m種應急物資,n個受災點,第i(i=1,…,l)個出救點儲存應急物資j(j=1,…,m)的存儲量為aij,受災點k(k=1,…,n)對物資j的需求量為djk,dj為全部受災點對物資j的總需求量,為出救點i到受災點k的運力,現(xiàn)假設不同應急物資能夠混載,各受災點對各種物資的最低保障率為e。要求給出一方案,確定出救點i分配到受災點k的第j種物資的數(shù)量Sijk,同時保證物資分配方案能夠盡量減少各受災點的系統(tǒng)損失,并兼顧受災點的相對公平。

1.2 數(shù)學模型

針對上述問題的背景、目標和要求,建立數(shù)學模型如下。

1.2.1 決策變量

1.2.2 目標函數(shù)

1.2.3 約束條件

其中,式(2)表示從出救點i發(fā)出的應急物資j的總量不大于其儲備量;式(3)表示各個受災點的運力限制,從各出救點分配到各個受災點的物資總量不能超過該受災點的運輸能力;式(4)表示各個受災點的需要量限制,從各出救點分配給每個受災點的每種物資的總量不能超過該受災點對該種物資的實際需求量;式(5)為物資分配的相對公平約束;式(6)為非負約束。

2 模型求解分析

2.1 利用MATLAB優(yōu)化工具箱求解

本模型為目標函數(shù)為非線性的約束優(yōu)化問題。求解此問題本研究選擇MATLAB語言實現(xiàn),是因為MATLAB相對于其他包括FORTRAN和C在內(nèi)的多種高級語言來說,不僅具有語言簡潔緊湊、庫函數(shù)豐富等優(yōu)點,而且具有功能強大的工具箱,特別是優(yōu)化工具箱對于求解非線性規(guī)劃非常方便。優(yōu)化工具箱中fmincon函數(shù)使用較多,用此函數(shù)迭求解約束優(yōu)化問題迭代次數(shù)少,但是如果有多個不同局部最優(yōu)解,不同的初值會收斂到不同的值,所以使用該函數(shù)求解必須證明模型是凸規(guī)劃問題,如果這個結論成立,則可以說明問題的任何局部最優(yōu)解也是其全局最優(yōu)解。

根據(jù)凸規(guī)劃的定義首先證明目標函數(shù)L是凸函數(shù),則需證明其Hessian矩陣是半正定陣,經(jīng)計算Hessian矩陣是由l×l個相同的對角陣組成的一個實對稱陣,而對角陣的對角元素是目標函數(shù)L對決策變量的二階偏導數(shù),即:

由于α≥1,因此二階偏導數(shù)非負,經(jīng)計算Hessian矩陣的左上角各階主子式都大于等于零,則Hessian矩陣是半正定陣,故目標函數(shù)L為凸函數(shù)。又因為所有約束條件都是線性函數(shù),則把約束式(2)、(3)、(4)看成是凸函數(shù),把約束式(5)、(6)看成是凹函數(shù),則可以證明該模型為凸規(guī)劃,所以模型可以用fimincon函數(shù)求解。

使用fmincon函數(shù)時選用中型算法(序列二次規(guī)劃法),在每步迭代中求解二次規(guī)劃問題,并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩陣。具體求解過程分為3步:第一步,建立M 文件定義目標函數(shù);第二步,建立M 文件定義約束條件;第3步,激活優(yōu)化工具箱,選擇選項“fmincon”和“Active set”,把2個 M 文件名及初值輸入,點擊“start”即可獲得最優(yōu)方案。

2.2 模型應用舉例

設某洪澇災區(qū)有4個受災點,由于受災點的建筑結構、人口分布、天氣情況都有差異,所以受災程度不同,對各種物資的需要量也不同。各受災點對藥品、設備、食品、衣物和帳篷5種應急物資的需求情況如表1所示。

設有2個出救點,表2表示各個出救點儲存的幾種應急物資的數(shù)量aij,表3表示各出救點到各受災點的運力cik。

表1 各受災點的應急物資需求情況Table1 Demand for each type of relief commodity in each affected area t

表2 出救點可供應的應急物資情況Table 2 Storage of each relief commodity in depot t

表3 出救點到各受災點的運力情況Table 3 Transport capacity from depot to each affected area t

根據(jù)物資的作用和其對受災人員的重要性,設定物資系數(shù)ω′j。根據(jù)各個受災點的屬性(如在地震中受災點房屋損壞程度、次生災害發(fā)生情況、天氣情況等)和受災人員的屬性(如受災人員的受傷程度、年齡、性別、饑餓時間等)設定受災點系數(shù) ω′jk。根據(jù)公式 ωjk=ω′j×ω′jk,求出差異系數(shù) ωjk如表4所示。

根據(jù)各種應急物資的儲備情況和出救點到各受災點的運力情況設定公平度系數(shù)e。各種物資儲備量與其需求量的最小比值為0.790,出救點到各受災點的運力與各受災點物資需求量的最小比值為0.782,則公平度系數(shù)e必須小于這兩個比值的最小值,即小于0.782。則設公平度系數(shù)e為0.70。

當災害指數(shù)α=2時,使用MATLAB7.9的fmincon函數(shù),得到最優(yōu)目標函數(shù)值為0.125 5,最優(yōu)解及各受災點各種物資的滿足率如表5所示。

表 4 差異系數(shù) ωjkTable 4 Difference indexωjk

表5 α=2時的最優(yōu)解Table 5 Optimal solution whenα=2

從總體來看,各受災點獲得藥品的滿足度是最高的,其次是救援設備,說明在運力有限的情況下,比較重要的物資優(yōu)先得到分配;而對于同一應急物資,受災點對其需求的緊迫性越大,其滿足率也相對較高,如受災點3相對其他受災點對設備的需求比較緊迫,所以滿足率也是最高的(84%),說明物資優(yōu)先分配到對物資需求比較緊迫的受災點。

如果去掉式(5)的公平約束,重新求解,得到最優(yōu)目標函數(shù)值為0.082 5,最優(yōu)解及各受災點物資的滿足率如表6所示。

表6 α=2時的最優(yōu)解無公平約束Table6 Optimal solution whenα=2(without equity constraints)

觀察表6的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),在無公平約束情況下,各受災點的物資滿足率分布很不均勻,最高的藥品的分配幾乎達到100%,而最低的衣物滿足率只有24.8%,遠遠低于設定的公平度系數(shù)0.7,未達到這個指標的共有6個,其中有6個是對受災點4的分配,如此分配方案對其來說是非常不公平的。由此驗證了沒有公平約束,很難保證最優(yōu)分配方案的公平性。

對比具有公平約束和不具有公平約束情況下的目標函數(shù)值可以發(fā)現(xiàn),具有公平約束條件下的系統(tǒng)損失更大,也就是說相對公平的物資分配方案的實現(xiàn)是以增加系統(tǒng)損失為代價的。如果系統(tǒng)增加的損失在可以接受的范圍內(nèi),那么公平約束還是有很大意義的。

如果把災情指數(shù)α取不同的值,損失函數(shù)的最優(yōu)取值如表7所示?？梢钥吹疆敠帘容^小時,損失函數(shù)相對比較大,而隨著α值的增大,損失函數(shù)減少,而且有無公平約束對函數(shù)值的影響也同時減少,這就是說,當災情比較嚴重時,應用此模型可以在系統(tǒng)效率提高的同時兼顧公平,即達到效率與公平的統(tǒng)一。

表7 不同α值時的損失函數(shù)比較Table7 Comparison of loss functions with differentα

3 結 語

在分析城市應急物資分配研究現(xiàn)狀的基礎上,本研究在構建多出救點、受災點、多種應急物資分配決策模型時,以受災點系統(tǒng)損失最小為目標,考慮了公平約束。本研究構造的系統(tǒng)損失函數(shù)考慮了各種應急物資的重要性和各受災點對物資的需求緊迫性,以及受災程度。在理論上證明了該模型是凸規(guī)劃后,提出用MATLAB優(yōu)化工具箱的fmincon函數(shù)求解具有速度快且沒有初解依賴性,能夠得到全局最優(yōu)解,最后用一個算例證明模型的有效性。但是本研究所構建的模型為靜態(tài)的,而實際情況具有動態(tài)性,如需求量、供應量、運力條件及差異系數(shù)是隨著時間變化的,因此需研究各種參數(shù)的動態(tài)演化規(guī)律,這些有待作進一步的研究。

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