變破產(chǎn)下限相依風(fēng)險(xiǎn)比例再保險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)模型

雷 鳴，陳新美

（長(zhǎng)沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙410114）

保險(xiǎn)業(yè)是經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)的特殊金融服務(wù)行業(yè)，同時(shí)自身的經(jīng)營(yíng)又面臨風(fēng)險(xiǎn)。再保險(xiǎn)是一種分散保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)的有效方法，而破產(chǎn)概率又是度量風(fēng)險(xiǎn)的重要指標(biāo)。根據(jù)保險(xiǎn)公司的實(shí)際情況建立有再保險(xiǎn)因素的風(fēng)險(xiǎn)模型，研究再保險(xiǎn)對(duì)破產(chǎn)概率的影響是保險(xiǎn)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的研究課題。文獻(xiàn)[1]對(duì)經(jīng)典模型加以推廣，得到帶稀疏過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型

式中：u——u＞0是初始準(zhǔn)備金；

c0——c0＞0是保單的平均保費(fèi)；

M（t）——是到時(shí)刻t為止保險(xiǎn)公司售出的保單數(shù)，且是參數(shù)為λ的齊次Poisson過(guò)程；

N（t）——是到時(shí)刻t為止保險(xiǎn)公司理賠的保單數(shù)，N（t）是M（t）的p－稀疏過(guò)程（0＜p＜1）。

本文對(duì)模型（1）加以推廣并考慮變破產(chǎn)下限的問(wèn)題。

1 模型描述

給定一完備概率空間（Ω，F(xiàn)，P），所有涉及的隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)變量都定義在此概率空間上，考慮風(fēng)險(xiǎn)模型：

式中：u——初始準(zhǔn)備金；

c0——每張保單的平均保費(fèi)；

M（t）——到時(shí)刻t為止保險(xiǎn)公司售出的保單數(shù)；

N（t）——到時(shí)刻t為止保險(xiǎn)公司理賠的保單數(shù)；

Xi—— 第i次的索賠額，且｛Xi，i＝1，2，…｝是非負(fù)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，設(shè)其分布函數(shù)為F（x）；

f（t）—— 變破產(chǎn)下限，f（t）是非負(fù)的；

β——再保險(xiǎn)比例。

假設(shè)｛M（t），t≥0｝是參數(shù)為λ的齊次Poisson過(guò)程，｛N（t），t≥0｝是｛M（t），t≥0｝的p－稀疏過(guò)程，其中0＜p＜1，不妨記｛N（t），t≥0｝這一過(guò)程為｛M（t，p），t≥0｝，這里為了方便計(jì)算我們假設(shè)f（t）是線性的，記

2 預(yù)備引理

引理1 盈利過(guò)程｛S（t），t≥0｝具有以下性質(zhì)：

（1）｛S（t），t≥0｝具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性；

（2）為了保證保險(xiǎn)公司的穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)，我們假設(shè)E[S（t）]＞0。

引理2為Ft的鞅，其中

3 主要結(jié)果

定義1 破產(chǎn)時(shí)刻；破產(chǎn)概率Ψ（u）＝P｛Tu＜ ∞｝。

定理1 破產(chǎn)概率滿足不等式：Ψ（u）≤e－ruH（r），其 中

證明：設(shè)t0＜∞為一常數(shù)，由于Tu是破產(chǎn)時(shí)刻，則t0∧Tu為有界停時(shí)，根據(jù)引理和停時(shí)定理可得：

從而

而

所以

PF0（Tu≤t0）≤（pm（r）＋1）－1]＋λf（t）｝｝兩邊取期望且令t0→∞得：Ψ（u）≤e－ru·H（r）

由于假設(shè)f（t）為線性，這里討論f（t）的具體形式。

定理2 當(dāng)f（t）＝a＋bt時(shí)，U（t）＝u－a－

（1）破產(chǎn)概率滿足等式：

（2）破產(chǎn)概率滿足不等式：

其中R 為關(guān)于r 的方程λ[e－rc0（1－β）·（pm（r）＋1）－1]＋rb＝0的解。

定理2的證明與文獻(xiàn)[6]定理2證明類似。

[1]陳珊萍，王過(guò)京，王振羽.稀疏過(guò)程在保險(xiǎn)公司破產(chǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理，2001，20（5）：26－30.

[2]陳占斌，劉再明.稀疏過(guò)程在破產(chǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2005，25（1）：35－38.

[3]馬學(xué)思，劉次華.變破產(chǎn)下限風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2007，26（3）：440－443.

[4]王變，張馨方.變破產(chǎn)下限風(fēng)險(xiǎn)再保險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2010，（8）：137.

[5]鄧永錄，梁之舜.隨機(jī)點(diǎn)過(guò)程及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，1998：1－115.

[6]張馨方，成軍祥，王濤.變破產(chǎn)下限雙Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2010，（7）：154.

[7]錢敏平，龔光魯.隨機(jī)過(guò)程論[M].北京：北京大學(xué)出版社，1997：411－415.

[8]張茂軍，南江霞，夏尊銓.隨機(jī)過(guò)程論[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2007，22（4）：411－415.

[9]花俊，陳新美.稀疏過(guò)程在變破產(chǎn)下限風(fēng)險(xiǎn)模型中的應(yīng)用[J].長(zhǎng)春工程學(xué)院院報(bào)：自然科學(xué)版，2011，12（1）：142－144.