基于小波分形分析和脊波網(wǎng)絡(luò)的模擬電路故障診斷方法

肖迎群 何怡剛

（湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院 長(zhǎng)沙 410082）

1 引言

模擬電路故障診斷自20世紀(jì)60年代以來(lái)構(gòu)成了現(xiàn)代電路理論的熱點(diǎn)研究領(lǐng)域和前沿研究領(lǐng)域，現(xiàn)已經(jīng)發(fā)展成了網(wǎng)絡(luò)理論中公認(rèn)的第三大分支[1]。由此，業(yè)內(nèi)的許多專家與學(xué)者已經(jīng)提出了各種應(yīng)用于模擬電路故障診斷的方法[1-8]。然而，由于模擬電路中元器件參數(shù)的分布性、廣泛的非線性以及故障特征的復(fù)雜性，使得模擬電路故障診斷系統(tǒng)在其所構(gòu)建系統(tǒng)的復(fù)雜性和故障診斷的正確性等方面還存在很多亟需解決的問(wèn)題。為此，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波分析等方法應(yīng)用于模擬故障診斷系統(tǒng)，以期有效地提高模擬電路故障診斷的效率和正確性。在文獻(xiàn)[2]中，作者將被測(cè)電路的脈沖響應(yīng)信號(hào)不加任何預(yù)處理就作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，從而對(duì)于一個(gè)很小的被測(cè)電路就導(dǎo)致一個(gè)很大的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。所以，文獻(xiàn)[3-4]中，作者將被測(cè)電路的脈沖響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行了小波分析、主元分析（PCA）和數(shù)據(jù)歸一化的預(yù)處理，獲得了最優(yōu)特征模式作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，這在一定程度上減少了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入端子數(shù)，且其故障診斷的正確率僅97%左右。而在文獻(xiàn)[5]中，作者在基于文獻(xiàn)[3-4]中提出的預(yù)處理方法的基礎(chǔ)上，利用張量小波構(gòu)成的小波網(wǎng)絡(luò)對(duì)模擬電路進(jìn)行診斷，使得故障診斷正確率有了更進(jìn)一步的提高，達(dá)到99%左右，但是這卻帶來(lái)了小波網(wǎng)絡(luò)的隱層小波元構(gòu)造的復(fù)雜性。另外，文獻(xiàn)[7]提出的基于遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的故障診斷系統(tǒng)需要同時(shí)采集多個(gè)測(cè)試點(diǎn)的數(shù)據(jù)而使得樣本數(shù)據(jù)的獲取非常的困難。在文獻(xiàn)[8]中，作者是在頻域內(nèi)對(duì)故障響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分析處理以實(shí)現(xiàn)故障診斷，由于需要對(duì)響應(yīng)信號(hào)實(shí)施頻域變換，也導(dǎo)致了樣本數(shù)據(jù)獲取的困難和處理步驟的增多。

因此，本文針對(duì)上述文獻(xiàn)中出現(xiàn)的問(wèn)題和不足，構(gòu)造了一種新型的基于脊波的脊波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)即脊波網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于模擬電路的故障診斷。脊波[9-10]是一種新的逼近多變量函數(shù)的有效工具，它相對(duì)于傅里葉變換和小波變換來(lái)說(shuō)具有更好的逼近速率。從一定意義上說(shuō)，脊波是一種帶有方向信息的小波函數(shù)，具有更多的維數(shù)信息，能處理更高維的數(shù)據(jù)，對(duì)直線性和曲線性狀的奇異性具有很好的逼近效果，從而廣泛地應(yīng)用于多變量函數(shù)逼近和圖像處理領(lǐng)域當(dāng)中[11-14]。所以，利用脊波構(gòu)成的脊波網(wǎng)絡(luò)不僅克服了小波網(wǎng)絡(luò)應(yīng)對(duì)高維輸入樣本時(shí)需要大量的增加小波元節(jié)點(diǎn)的構(gòu)成數(shù)目，增加網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度的不足，而且充分利用脊波函數(shù)的時(shí)頻局部化特性以及利用方向信息處理線性和超平面奇異性現(xiàn)象的優(yōu)勢(shì)特點(diǎn)，以緊湊的結(jié)構(gòu)和良好的泛化性能對(duì)模擬電路的故障模式實(shí)施有效而精確地診斷。同時(shí)，本文采用一種新型的小波分形分析方法對(duì)故障響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，這種方法相對(duì)于通常采用小波能量計(jì)算法取得的故障特征模式來(lái)說(shuō)，具有更好的精確性和更強(qiáng)的理論性，它是對(duì)故障響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行小波分析的基礎(chǔ)上獲取其小波系數(shù)的分形維特征信息用作診斷網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)的。由于分形維特征對(duì)信號(hào)具有良好的表達(dá)特性，將其由PCA和數(shù)據(jù)歸一化方法實(shí)施維數(shù)和特征提取后所獲得的最優(yōu)特征模式，不但具有最少維數(shù)的模式特征矢量，而且，當(dāng)用作脊波網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)時(shí)能更精確地完成模擬電路的故障診斷。

2 小波分形分析

2.1 小波變換

小波作為一種新型的信號(hào)分析方法應(yīng)用于信號(hào)與圖像處理的廣泛領(lǐng)域之中[15]。小波是將信號(hào)分解為能反映其本質(zhì)信息的逼近部分和細(xì)節(jié)部分以便于進(jìn)行進(jìn)一步的分析和處理。小波變換是通過(guò)對(duì)一個(gè)母小波ψ(x)的伸縮和平移所構(gòu)成的小波族實(shí)施相應(yīng)的變換處理而實(shí)現(xiàn)的。小波族定義為

式中a，b—母小波的伸縮和平移參數(shù)。

給定一個(gè)信號(hào)f(x)和母小波ψ(x)，則信號(hào)f(x)的小波變換為

式中c(a,b)—信號(hào)f(x)的小波系數(shù)。

實(shí)際中，通?？紤]信號(hào)f(x)的多分辨率分析。設(shè){Vj}j∈Z是正交的多分辨率分析，{Wj}j∈Z是相應(yīng)分解的小波空間，則f(x)在Vj上的正交投影表示為，即

式中—f(x)在2j+1分辨率下的尺度系數(shù)；

—f(x)在2j+1分辨率下的小波系數(shù)。

由此可知，cj+1和dj+1分別為f(x)在2j+1分辨率下的逼近部分和細(xì)節(jié)部分即信號(hào)f(x)的低頻分量和高頻分量。相應(yīng)地，{Vj}j∈Z可做出如下的空間分解

2.2 分形維

分形維數(shù)指一個(gè)幾何物體的非整數(shù)維或分?jǐn)?shù)維，是對(duì)自相似性圖形的復(fù)雜性程度的一種度量[16-17]。在信號(hào)分析領(lǐng)域，信號(hào)波形或波形曲線可以看成是一種幾何圖形，所以分形維能對(duì)信號(hào)的復(fù)雜性進(jìn)行有效的度量和實(shí)現(xiàn)相應(yīng)特征的刻畫，從而分形分析在生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理領(lǐng)域得到廣泛地應(yīng)用[18-19]。本文使用Katz提出的信號(hào)波形的分形維數(shù)計(jì)算方法[17]來(lái)進(jìn)行故障響應(yīng)波形的計(jì)算以獲取相應(yīng)的故障特征模式。

Katz分形維數(shù)計(jì)算方法是在時(shí)域內(nèi)直接對(duì)時(shí)變信號(hào)即波形曲線進(jìn)行分形維數(shù)的估計(jì)計(jì)算。這種方法免去了Higuchi算法[18-19]中需構(gòu)建二進(jìn)制序列的預(yù)處理過(guò)程，從而具有簡(jiǎn)單直接、快速計(jì)算和節(jié)省存儲(chǔ)空間的特點(diǎn)。

式中L—信號(hào)波形曲線的總長(zhǎng)度即相繼兩點(diǎn)間距離的和；

d—序列的第一個(gè)點(diǎn)與序列中其他某個(gè)點(diǎn)的距離，而這個(gè)點(diǎn)就是相對(duì)于第一個(gè)點(diǎn)來(lái)說(shuō)提供的距離為最大的那個(gè)，即d的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

n—信號(hào)波形步長(zhǎng)的數(shù)目，n=L/a；

a—相繼兩個(gè)點(diǎn)之間的平均距離。

根據(jù)2.1節(jié)所述的信號(hào)f(x)的小波分解方式，將信號(hào)f(x)在Vj空間的投影看作原始模式，在各子空間Vj+1,Vj+2,…,Wj+1,Wj+2,…上的投影看成小波分解的子模式，因此，本文就是對(duì)這些原始模式和小波子模式進(jìn)行分形維數(shù)的計(jì)算從而獲得相應(yīng)的故障特征模式。

3 PCA和數(shù)據(jù)歸一化

PCA[20]作為預(yù)處理的一種方式是對(duì)經(jīng)過(guò)小波分形分析之后的故障數(shù)據(jù)實(shí)施進(jìn)一步的維數(shù)降低和特征提取以獲得最優(yōu)的特征模式。具體來(lái)說(shuō)，PCA就是將d維輸入空間xd變換到另一個(gè)m維矢量空間zm，這里m＜d。因此，當(dāng)對(duì)d維輸入空間xd進(jìn)行PCA處理時(shí)，首先將x寫成d個(gè)正交歸一化矢量ui的線性組合的形式

ui的子集和相應(yīng)zi的值，從而得到x的逼近形式x?為

式中，剩余的i＞m+1個(gè)系數(shù)zi由bi取代。最后，定義一個(gè)對(duì)于N個(gè)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集具有平方和形式的Em為

對(duì)Em進(jìn)行最小化，從而得到元素為zi，i=1,…,m的矢量z即是在m維向量空間對(duì)原輸入矢量x的逼近，即是相對(duì)于原輸入矢量空間中x被提取的主元。

4 診斷電路及其特征提取

4.1 診斷電路與故障

本文考慮兩個(gè)典型診斷電路的兩類故障情形即Sallen-Key低通濾波器和四運(yùn)放雙二階高通濾波器的單故障和雙故障情形。使用小波分形分析和PCA來(lái)對(duì)這兩個(gè)診斷電路進(jìn)行信號(hào)預(yù)處理，從而獲得電路故障響應(yīng)的最優(yōu)特征模式。為了比較方便，本文采用文獻(xiàn)[3-4]中所給出的激勵(lì)源，分別給兩個(gè)濾波器施加幅值為5V，持續(xù)時(shí)間為10μs的脈沖波形，并在相應(yīng)的電路輸出端進(jìn)行采樣從而獲得各自的故障時(shí)域響應(yīng)信號(hào)。

4.1.1 診斷電路1—Sallen-Key低通濾波器

圖1所示的即為中心頻率為25kHz的Sallen-Key低通濾波器[3]，在濾波器電路中，電阻和電容的容差分別為5%和10%。給電路施加脈沖激勵(lì)進(jìn)行仿真時(shí)，如果電阻和電容在各自的容差范圍內(nèi)變化，則認(rèn)為電路為無(wú)故障狀態(tài)。

圖1 Sallen-Key低通濾波器Fig.1 Sallen-Key low pass filter

單故障情形：當(dāng)電路中的任何一個(gè)元件高于或低于它的正常值的50%而其他三個(gè)元件在它們的容差范圍內(nèi)進(jìn)行變化時(shí)，對(duì)電路實(shí)行仿真從而獲得所需要的故障沖激響應(yīng)，然后再對(duì)這些故障響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行相應(yīng)地預(yù)處理最后得到9個(gè)故障類別即C1↑，C1↓，C2↑，C2↓，R2↑，R2↓，R3↑，R3↓故障和無(wú)故障類別（NF），這里↑和↓分別表示故障值高于和低于各自正常值的50%時(shí)所對(duì)應(yīng)的故障狀態(tài)。表1給出了Sallen-Key低通濾波器元件的正常值和故障值以及對(duì)應(yīng)的故障類別。

表1 Sallen-Key低通濾波器的元件正常值和故障值以及對(duì)應(yīng)的單故障類別Tab.1 Single fault classes and the nominal and faulty component values used for Sallen-Key low pass filter

雙故障情形：假設(shè)四個(gè)電路元件中的兩個(gè)元件值同時(shí)高于或低于它們對(duì)應(yīng)的正常值，而其他兩個(gè)元件值卻只在其容差范圍內(nèi)變化，從而得到相應(yīng)的故障響應(yīng)信號(hào)。這樣，雙故障類別的組合數(shù)即為=28，為了圖形表示的方便性，這里只取其中一部分故障類別來(lái)加以說(shuō)明，表2給出了這其中的7個(gè)故障類別。

表2 Sallen-Key低通濾波器的雙故障類別Tab.2 Double fault classes used for Sallen-Key bandpass filter

4.1.2 診斷電路2—四運(yùn)放雙二階高通濾波器

圖2所示的即為截止頻率為10kHz的四運(yùn)放雙二階高通濾波器[4]，其電路元件容差的設(shè)定同圖1。

圖2 四運(yùn)放雙二階高通濾波器Fig.2 Four opamp biquad highpass filter

單故障情形：表3給出了電路的單故障類別以及電路元件的正常值和故障值設(shè)定情形。所以，得到13個(gè)故障類別包括C1↑，C1↓，C2↑，C2↓，R1↑，R1↓，R2↑，R2↓，R3↑，R3↓，R4↑，R4↓，和無(wú)故障狀態(tài)（NF），其中↑和↓的表示情形同表1。

表3 四運(yùn)放雙二階高通濾波器的元件正常值和故障值以及對(duì)應(yīng)的單故障類別Tab.3 Single fault classes and the nominal and faulty component values used for four opamp biquad highpass filter

雙故障情形：這里，假設(shè)6個(gè)電路元件中的2個(gè)元件值同時(shí)增加或減小，而其他4個(gè)電路元件值卻只在它們的容差范圍內(nèi)變化，從而形成的故障類別數(shù)為=66，同樣為了圖形說(shuō)明的方便性，只采用了其中一部分故障類別。表4給出了12個(gè)元件組合方式中的16個(gè)故障類別。

4.2 特征提取

這里，給兩個(gè)濾波器電路分別施加幅值為5V，持續(xù)時(shí)間為10μs的脈沖波形，并采用以上所述的單故障和雙故障情形時(shí)的元件故障設(shè)定值進(jìn)行Spice的蒙特卡羅和參數(shù)分析，并在相應(yīng)的診斷電路輸出端獲得對(duì)應(yīng)于每個(gè)故障類別的60個(gè)故障響應(yīng)信號(hào)。接著，再對(duì)這些故障響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行3層Haar小波分解以獲得相應(yīng)的小波系數(shù)，同時(shí)對(duì)這些小波系數(shù)進(jìn)行第2節(jié)所述的小波分形維數(shù)的計(jì)算從而得到每個(gè)故障響應(yīng)信號(hào)的7個(gè)候選特征值。最后，對(duì)這些候選特征模式再進(jìn)行PCA和歸一化處理所得到的最優(yōu)特征模式就作為脊波網(wǎng)絡(luò)的樣本數(shù)據(jù)以實(shí)行訓(xùn)練和測(cè)試。

圖3給出了Sallen-Key低通濾波器中的元件C1發(fā)生C1↑故障時(shí)，對(duì)其中的一個(gè)故障響應(yīng)信號(hào)f(x)進(jìn)行3層Haar小波分形分析而產(chǎn)生的示意圖。圖3中，7個(gè)子圖由上而下，從左至右分別對(duì)應(yīng)于原模式信號(hào)f(x)和它的各層小波分解的子模式即第一層逼近系數(shù)cA1，第一層細(xì)節(jié)系數(shù)cD1，第二層逼近系數(shù)cA2，第二層細(xì)節(jié)系數(shù)cD2和第三層逼近系數(shù)cA3，第三層細(xì)節(jié)系數(shù)cD3。同時(shí)對(duì)這些模式信號(hào)進(jìn)行分形維數(shù)的計(jì)算分別得到各自的分形維數(shù)為1.0041，1.1064，1.1394，1.0014，1.3792，1.0246和1.0178，再把這7個(gè)分形維數(shù)組合在一起就構(gòu)成了所需要的一個(gè)候選特征矢量。最后，再對(duì)所有的故障響應(yīng)信號(hào)經(jīng)小波分形分析產(chǎn)生的候選特征矢量進(jìn)行PCA和歸一化處理就得到用于脊波網(wǎng)絡(luò)實(shí)行訓(xùn)練和測(cè)試的樣本數(shù)據(jù)集。在本文中，根據(jù)輸入樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)矩陣R的特征值的特性來(lái)進(jìn)行主元的選取，這些被選擇出來(lái)的主元就是最終所需要的最優(yōu)特征模式。因此，表5給出了輸入樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)矩陣R的7個(gè)降序排列的歸一化特征值，其中表中頂行的數(shù)字表示歸一化特征值的個(gè)數(shù)，而SS，SD，F(xiàn)S和FD分別表示Sallen-Key低通濾波器的單故障情形，Sallen-Key低通濾波器的雙故障情形，四運(yùn)放雙二階高通濾波器的單故障情形和四運(yùn)放雙二階高通濾波器的雙故障情形。在這里，對(duì)小于等于0.001的歸一化特征值進(jìn)行截?cái)嗵幚恚瑥亩玫搅擞么煮w和邊框表示的被選中的主元特征值，它們均能說(shuō)明各自占全體特征值99.99%的變化率。因此，根據(jù)表5中給出的結(jié)果，對(duì)SS，SD，F(xiàn)S和FD來(lái)說(shuō)，確定它們各自被提取的主元個(gè)數(shù)為：2，2，3，3。同時(shí)，依據(jù)表5給出的被提取的主元個(gè)數(shù)，圖4給出了兩個(gè)濾波器電路在兩種不同故障情形時(shí)的用各自主元數(shù)據(jù)即最優(yōu)特征矢量表示的故障類別示意圖。

表4 四運(yùn)放雙二階高通濾波器的雙故障類別Tab.4 Double fault classes used for four opamp biquad highpass filter

表5 兩個(gè)濾波器在兩種故障情形時(shí)對(duì)應(yīng)于由PCA產(chǎn)生的輸入數(shù)據(jù)的相關(guān)矩陣的降序排列的歸一化特征值Tab.5 The normalized eigenvalues of correlation matrices of input data produced by PCA arranged in descending order in the two fault cases of two filters

圖3 三層Haar小波分形分析示意圖Fig.3 Illustration of three-layer Harr wavelet-based fractal analysis

圖4 兩個(gè)濾波器在兩種故障情形時(shí)用各自主元表示的故障類別Fig.4 The fault classes characterized by principal components in the two fault cases of two filters

5 脊波網(wǎng)絡(luò)

5.1 脊波變換

則稱ψ為容許函數(shù)，而由ψ產(chǎn)生的脊函數(shù)ψγ就是脊波即ψγ=ψ((u·x-b)/a)，其中，參數(shù)γ=(a,u,b)中的三個(gè)變量：a表示脊波的尺度，u表示脊波的方向，b表示脊波的位置，它屬于參數(shù)空間Γ，即Γ={γ=(a,u,b),a,b∈R,a＞0,u∈Sd-1,||u||=1}。參數(shù)空間Γ中的度量μ(dγ)定義為：μ(dγ)=σd/ad+1dadudb，其中σd是d維空間中的單位球Sd-1的表面積，du為球Sd-1上的一致概率度量。

所以，式（12）可表示為：以脊波作為激活函數(shù)的多輸入單輸出單隱層前向脊波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這里wi為網(wǎng)絡(luò)的輸出層權(quán)值，它的值可通過(guò)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整來(lái)確定。

5.2 脊波網(wǎng)絡(luò)體系結(jié)構(gòu)

脊波網(wǎng)絡(luò)的體系結(jié)構(gòu)形式如圖5所示。這是一個(gè)具有單隱層的三層（包括輸入層，隱層和輸出層）前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它是將脊波函數(shù)應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱層神經(jīng)元作為激活函數(shù)構(gòu)成脊波元而形成的脊波網(wǎng)絡(luò)，圖5中ψ(·)為脊波函數(shù)，φ(·)則根據(jù)具體應(yīng)用的需要可選為Sigmoid類函數(shù)或線性函數(shù)。

將圖5所示的脊波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式為

式中uj—第j個(gè)脊波元的方向矢量，

uj=(uj1,uj2,…,ujm) 且||uj||=1。

圖5 脊波網(wǎng)絡(luò)的體系結(jié)構(gòu)Fig.5 The structure of ridgelet network

5.3 脊波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

當(dāng)前，研究人員已經(jīng)提出了許多方法來(lái)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)，例如交叉驗(yàn)證法[20]、信息準(zhǔn)則法[21-22]以及最小描述長(zhǎng)度法[23]等等。但是這些方法一般都需要對(duì)估計(jì)函數(shù)的分布情形做出比較強(qiáng)的假設(shè)，或者需要進(jìn)行多次試錯(cuò)嘗試才能獲得一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性的結(jié)果，這在一定程度上限制了這些方法的實(shí)際應(yīng)用。

本文采用文獻(xiàn)[24]提出的一種新型PCA方法來(lái)確定脊波網(wǎng)絡(luò)的體系結(jié)構(gòu)。它不需要對(duì)一些假定函數(shù)關(guān)系的參數(shù)實(shí)行估計(jì)而只需要簡(jiǎn)單的矩陣運(yùn)算就能給出一個(gè)合理的結(jié)果，也即只需對(duì)將提取的主元進(jìn)行一定準(zhǔn)則的評(píng)估就能很容易確定脊波網(wǎng)絡(luò)的體系結(jié)構(gòu)。對(duì)一個(gè)特定的應(yīng)用來(lái)說(shuō)，脊波網(wǎng)絡(luò)的輸入節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)可根據(jù)輸入和輸出矢量的維數(shù)事先確定，所以這里主要就是使用PCA方法來(lái)選擇脊波網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點(diǎn)即脊波元的個(gè)數(shù)。其程序如下：

（4）最后對(duì)這組特征值進(jìn)行一定準(zhǔn)則的評(píng)估，從而取在全部特征值中占優(yōu)勢(shì)比重的特征值個(gè)數(shù)即為所需的隱層脊波元的個(gè)數(shù)q*。

因此，根據(jù)PCA方法確定脊波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的程序，得到了由隱層脊波元的輸出端數(shù)據(jù)構(gòu)成的相關(guān)矩陣R的歸一化特征值如圖6所示。對(duì)Sallen-Key低通濾波器的單故障情形來(lái)說(shuō)，依據(jù)圖6得到其相關(guān)矩陣R的以降序形式排列的歸一化特征值為：0.7460，0.4673，0.3487，0.2290，0.1552，0.1353，0.0868，0.0334，0.0067，0.0036，0.0019，0.0010，0.0005，0.0002，0.0002，0.0001，0.0001，0.0000，0.0000，…，0.0000。這里，統(tǒng)一確定將小于等于0.01的很小的歸一化特征值進(jìn)行截?cái)嗵幚?，得到了占整個(gè)特征值的99.9%以上的變化率的前8個(gè)主元特征值就作為脊波網(wǎng)絡(luò)對(duì)這種情形進(jìn)行故障診斷時(shí)所使用的隱層脊波元的個(gè)數(shù)。依此類推，各獲到了對(duì)應(yīng)于Sallen-Key低通濾波器的單故障情形，Sallen-Key低通濾波器的雙故障情形，四運(yùn)放雙二階高通濾波器的單故障情形和四運(yùn)放雙二階高通濾波器的雙故障情形的脊波網(wǎng)絡(luò)隱層脊波元個(gè)數(shù)分別為：8，7，16和16。

圖6 兩個(gè)濾波器在兩種故障情形時(shí)對(duì)應(yīng)于由PCA產(chǎn)生的隱脊波元輸出數(shù)據(jù)的相關(guān)矩陣的歸一化特征值Fig.6 The normalized eigenvalues of correlation matrices of the outputs of the hidden ridgelet units produced by PCA in the two fault cases of two filters

根據(jù)本節(jié)的分析，將采用一個(gè)三層的脊波網(wǎng)絡(luò)的輸出來(lái)估計(jì)每個(gè)輸入數(shù)據(jù)屬于不同故障類別的概率。脊波網(wǎng)絡(luò)的輸出值采用1對(duì)多即S選1的編碼方法，這里假設(shè)脊波網(wǎng)絡(luò)有S個(gè)輸出神經(jīng)元，如果某一輸入數(shù)據(jù)屬于某一故障類別p，則脊波網(wǎng)絡(luò)的輸出矢量t即為t(1)=0，…，t(p)=1，…，t(S)=0，這里S也表示待分類的故障類別的數(shù)目。因此，輸入數(shù)據(jù)總是被分給由脊波網(wǎng)絡(luò)的輸出給出的具有最高概率的故障類。在本文中，脊波網(wǎng)絡(luò)的隱層和輸出層激活函數(shù)分別采用脊波函數(shù)和LOGSIG函數(shù)，訓(xùn)練方法采用文獻(xiàn)[6]中所提出的最速梯度下降法和動(dòng)量法相結(jié)合的方法來(lái)實(shí)施，這里統(tǒng)一選定學(xué)習(xí)速率為0.1，動(dòng)量常數(shù)為0.2。注意，本文采用的脊波母函數(shù)是morlet小波函數(shù)[15]經(jīng)適當(dāng)?shù)淖儞Q而得到的，它具有如下的形式

式中u—脊波的方向矢量；

“·”—內(nèi)積。

6 仿真結(jié)果及其分析

根據(jù)以上各節(jié)提出的設(shè)計(jì)方法，對(duì)圖1和圖2所示的兩個(gè)濾波器電路進(jìn)行脊波網(wǎng)絡(luò)的故障診斷，對(duì)應(yīng)的訓(xùn)練集和測(cè)試集的大小則依據(jù)文獻(xiàn)[4]的設(shè)置方法分別設(shè)定為每個(gè)故障類別20個(gè)和40個(gè)，即使用OrCAD10.5模擬仿真，首先生成每個(gè)故障元件即故障類別為60個(gè)的故障響應(yīng)數(shù)據(jù)，然后將其導(dǎo)入Matlab，再在其中隨機(jī)選取20個(gè)故障數(shù)據(jù)作為脊波網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)以實(shí)施對(duì)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，另外40個(gè)故障數(shù)據(jù)則作為它的測(cè)試數(shù)據(jù)以考察訓(xùn)練好的診斷網(wǎng)絡(luò)的泛化性能及其故障元件診斷的正確性，接下來(lái)將通過(guò)具體例子進(jìn)行詳細(xì)闡述。

從圖4中給出的故障類別分布圖可以看出，Sallen-Key低通濾波器的單故障情形，Sallen-Key低通濾波器的雙故障情形和四運(yùn)放雙二階高通濾波器的單故障情形的故障類別之間都得到了很明顯的區(qū)分即各種不同情形的故障類別都獲得了很好的聚類結(jié)果，從而它們的故障辨識(shí)率都達(dá)到100%。同時(shí)根據(jù)上節(jié)給出的脊波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)確定結(jié)果，它們對(duì)應(yīng)的脊波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)即輸入節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，隱層脊波元個(gè)數(shù)和輸出層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為：Sallen-Key低通濾波器的單故障情形取為2，8和9，Sallen-Key低通濾波器的雙故障情形取為2，7和7，四運(yùn)放雙極高通濾波器的單故障情形取為3，16和13。它們對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分類所獲得的故障診斷正確率均為100%。而對(duì)四運(yùn)放雙二階高通濾波器的雙故障情形的故障類別來(lái)說(shuō)，發(fā)現(xiàn)DF1和DF5之間存在著少數(shù)幾個(gè)故障類別的相互重疊，因此，與這種情形相對(duì)應(yīng)的具有3個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)，16個(gè)隱層脊波元節(jié)點(diǎn)和13個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)的脊波網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行故障診斷時(shí)，只存在著幾個(gè)測(cè)試樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)了錯(cuò)誤的分類，診斷正確率達(dá)到99.9%左右。

表6給出了四運(yùn)放雙二階高通濾波器對(duì)應(yīng)于表4的16個(gè)雙故障類別的診斷結(jié)果。表6中的每行對(duì)應(yīng)于具有40個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)的一個(gè)故障類別，列則指對(duì)應(yīng)于不同故障類別的40個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)被診斷的次數(shù)。例如，第二行表示屬于DF0故障類別的40個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)全部被正確分類，而第三行則表示屬于DF1故障類別的38個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)被正確分類，另有2個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)被錯(cuò)誤分到了DF5故障類別中去了。從表6中可以看出，第7行中，存在著屬于DF5故障類別的6個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)被錯(cuò)誤分到DF1當(dāng)中去了，它的34個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)得到了正確分類。因此，整個(gè)表中只有DF1和DF5類別之間存在著測(cè)試數(shù)據(jù)被錯(cuò)分情況，其他的故障類別都得到完全正確的分類，總的正確分類率達(dá)99.9%以上。這與圖4給出的故障類別圖形表示情形是一致的。

表6 四運(yùn)放雙二階高通濾波器對(duì)應(yīng)于表4的16個(gè)雙故障類別的診斷結(jié)果Tab.6 Diagnostic result of the four opamp biquad highpass filter in diagnosing the 16 double fault classes corresponding to Table 4

將本文的脊波網(wǎng)絡(luò)與文獻(xiàn)[4]，文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[8]中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行結(jié)構(gòu)和性能的比較。

在文獻(xiàn)[4]中，對(duì)Sallen-Key低通濾波器來(lái)說(shuō)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)即輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)、隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)和輸出節(jié)點(diǎn)數(shù)依次為4，6和9，故障診斷正確率為97%，而本文的脊波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為2，8和9，故障診斷正確率能達(dá)100%。對(duì)四運(yùn)放雙二階高通濾波器來(lái)說(shuō)，文獻(xiàn)[4]的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為5，16和 13，故障診斷正確率為95%，而本文的脊波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為3，16和13，故障診斷正確率達(dá)100%。由此可見(jiàn)，本文提出的脊波網(wǎng)絡(luò)在性能和結(jié)構(gòu)上好于文獻(xiàn)[4]中提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)診斷系統(tǒng)。

另外，在文獻(xiàn)[5]中，小波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為5，38和13，故障診斷正確率為99.95%。而本文的脊波網(wǎng)絡(luò)則只需要16個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)，并獲得了相近的故障診斷正確率。

最后，在文獻(xiàn)[8]中，對(duì)Sallen-Key低通濾波器能達(dá)到100%診斷率，對(duì)四運(yùn)放雙二階高通濾波器卻只實(shí)現(xiàn)99%的診斷正確率，而本文提出的脊波網(wǎng)絡(luò)對(duì)兩個(gè)濾波器電路均能實(shí)現(xiàn)100%的正確分類率。在結(jié)構(gòu)方面，由于脊波理論的特定分析性質(zhì)，本文的脊波網(wǎng)絡(luò)在隱層節(jié)點(diǎn)的數(shù)量上稍多于文獻(xiàn)[8]中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。另外，文獻(xiàn)[8]中提出的數(shù)據(jù)預(yù)處理方法是在頻域內(nèi)實(shí)現(xiàn)的，這增加了時(shí)域和頻域數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換的處理步驟，而本文的數(shù)據(jù)預(yù)處理方法是在時(shí)域內(nèi)直接實(shí)現(xiàn)的，且能夠根據(jù)故障類別之間的重疊程度靈活地選取主元的多少即最優(yōu)特征向量的構(gòu)成形式以實(shí)現(xiàn)最好的診斷。同時(shí)，本文提出的脊波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)選擇設(shè)計(jì)方法同文獻(xiàn)[8]中的根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)設(shè)計(jì)相比，是更具有理論依據(jù)性和靈活性，它能依據(jù)待分類數(shù)據(jù)的復(fù)雜特性靈活地選擇隱層脊波元的數(shù)目，從而確定一個(gè)合理的脊波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

7 結(jié)論

本文研究結(jié)果表明，本文提出的脊波網(wǎng)絡(luò)故障診斷系統(tǒng)能有效地實(shí)施模擬電路的故障診斷，對(duì)兩種濾波器電路均實(shí)現(xiàn)幾乎100%故障診斷正確率，并與以前的一些文獻(xiàn)中提出的研究方法做了比較分析，突出了本文所采取方法的優(yōu)越性，得出了令人滿意的結(jié)果。同時(shí)，采用PCA方法來(lái)進(jìn)行脊波網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，使得隱層脊波元數(shù)目的確定更具有理論性、簡(jiǎn)單性、靈活性和可靠性。最后，脊波網(wǎng)絡(luò)故障診斷系統(tǒng)不但能有效地診斷線性電路和非線性電路，而且能夠診斷電路中的單故障和雙故障甚至多故障現(xiàn)象。

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