基于定點(diǎn)迭代方法的自適應(yīng)數(shù)字預(yù)失真器

吳長(zhǎng)奇，張曉娟

（燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北秦皇島 066004）

0 引言

高階線性調(diào)制方式具有功率有效和頻帶有效的優(yōu)點(diǎn)，但其包絡(luò)起伏大，通過(guò)非線性的高功率放大器（high power amplifier，HPA）時(shí)會(huì)產(chǎn)生頻譜擴(kuò)展，造成鄰信道干擾。預(yù)失真技術(shù)是克服放大器非線性的有效方法。數(shù)字基帶預(yù)失真算法由于頻帶寬，穩(wěn)健性好，且易于用DSP實(shí)現(xiàn)而應(yīng)用廣泛［1-2］。

基帶預(yù)失真算法包括數(shù)據(jù)預(yù)失真和信號(hào)預(yù)失真兩類(lèi)。數(shù)據(jù)預(yù)失真［3-4］在發(fā)送濾波器前對(duì)信號(hào)的星座圖進(jìn)行預(yù)矯正，因此預(yù)失真效果受信號(hào)星座和發(fā)送濾波器記憶效應(yīng)的影響。信號(hào)預(yù)失真［5-10］則在發(fā)送濾波器后對(duì)信號(hào)幅度進(jìn)行矯正，克服了以上缺點(diǎn)。信號(hào)預(yù)失真中的復(fù)增益結(jié)構(gòu)模型所用查找表（look-up table，LUT）尺寸最小、結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單而為本文采用。

目前的自適應(yīng)預(yù)失真算法主要包括線性法、割線法和離散牛頓法，其中線性法收斂速度最慢，割線法和離散牛頓法收斂速度相當(dāng)。本文提出一種定點(diǎn)迭代預(yù)失真器，即將預(yù)失真過(guò)程看作定點(diǎn)迭代問(wèn)題，通過(guò)逐次逼近的方法獲得查找表的最佳值，利用Steffensen加速方法后，預(yù)失真器至少具有平方斂速。

1 系統(tǒng)模型

高速衛(wèi)星通信系統(tǒng)的等效基帶模型如圖1所示。調(diào)制器產(chǎn)生幅度－相位調(diào)制（amplitude phase shift keying，APSK）信號(hào)，脈沖成形濾波器和匹配濾波器具有奈奎斯特平方根升余弦特性。行波管放大器（travelling wave tube amplifier，TWTA）代表星上處理器，只考慮上行鏈路噪聲。

1.1 TWTA模型

設(shè)TWTA的等效基帶輸入信號(hào)為

圖1 衛(wèi)星通信系統(tǒng)模型Fig.1 Satellite communication system model

（1）式中，r（t）和φ（t）分別表示調(diào)制包絡(luò)和相位。

TWTA的輸出記為

（2）式中，A［r（t）］和φ［r（t）］分別表示TWTA的幅度/幅度（AM/AM）轉(zhuǎn)換特性和幅度/相位（AM/PM）轉(zhuǎn)換特性。采用Saleh［11］提出的TWTA模型，有

（3）－（4）式中:r表示歸一化輸入幅度;TWTA的模型參數(shù)為αA=2，βA=1，αφ=π/3和βφ=1。Cavers［7］提出將高功率放大器的輸入－輸出關(guān)系視為復(fù)增益函數(shù)，即令

圖2是TWTA的輸入－輸出曲線，縱坐標(biāo)為輸出電壓對(duì)最大飽和輸出的歸一化?？梢钥闯觯糯笃鞴ぷ鼽c(diǎn)越接近飽和區(qū)，非線性失真也越嚴(yán)重。采取功率回退的方法可以獲得線性性能，但功率轉(zhuǎn)換效率也會(huì)隨之降低。

圖2 TWTA的AM/AM和AM/PM曲線Fig.2 AM/AM and AM/PM characteristics of TWTA

1.2 預(yù)失真器結(jié)構(gòu)

放大器性能會(huì)隨著信道突變、溫度漂移和供給電壓的變化而變化，因此要求預(yù)失真器（predistorter，PD）能夠跟蹤放大器的性能變化，這就需要自適應(yīng)預(yù)失真器，其結(jié)構(gòu)如圖3所示。矩形框內(nèi)代表PD，Vm為PD的輸入電壓;Vd為PD的輸出電壓;Va為T(mén)WTA的輸出電壓;為求模運(yùn)算。

令F［·］和G［·］分別表示PD和TWTA的復(fù)增益函數(shù)，則TWTA的輸入－輸出關(guān)系為

圖3 自適應(yīng)預(yù)失真器結(jié)構(gòu)Fig.3 Architecture of adaptive predistorter

（6）式中，G［·］由（5）式計(jì)算。PD的輸入－輸出關(guān)系為

對(duì)任意輸入電壓，PD復(fù)增益函數(shù)F最佳值的選取依據(jù)是使預(yù)失真器和行波管放大器的聯(lián)合幅度增益為常數(shù)K。將（7）式代入（6）式，PD和TWTA的聯(lián)合響應(yīng)為

（8）式可以化簡(jiǎn)為

實(shí)際電路中，HPA的輸入電壓不會(huì)超過(guò)飽和電壓，因此預(yù)失真器的輸入范圍為

（10）式中，1是對(duì)飽和輸入電壓的歸一化值。設(shè)LUT的尺寸為N，LUT表的量化間隔為

將量化區(qū)間的中點(diǎn)作為表項(xiàng)索引，則每個(gè)LUT項(xiàng)的索引和表項(xiàng)值分別記為

（13）式中，i=0，1，…，N － 1 。

2 自適應(yīng)預(yù)失真算法

為使預(yù)失真器能夠自適應(yīng)更新，定義代價(jià)函數(shù)為T(mén)WTA的輸出與理想輸出之間的誤差，表示為

（14）式中，K為增益因子。在給定輸入電壓下，F(xiàn)的最優(yōu)解是使（14）式最小的值。該過(guò)程可以通過(guò)非線性方程的求解實(shí)現(xiàn)，而定點(diǎn)迭代算法在非線性系統(tǒng)求解中應(yīng)用廣泛。

2.1 定點(diǎn)迭代算法

定義 設(shè)Ω表示規(guī)范空間X的閉集，φ表示Ω空間上的某種變換。若對(duì)任意x1，x2∈Ω，存在α（0≤α ＜1）使得‖φ（x1）－φ（x2）‖≤α‖x1－x2‖，則φ

根據(jù)壓縮映射定理，將非線性方程f（x）=0，化為x=φ（x）的形式，得到定點(diǎn)迭代算法的迭代格式x（k+1）=φ（x（k））。根據(jù)（14）式，預(yù)失真器復(fù)增益函數(shù)最優(yōu)值的查找需要求解方程E（F）=0，首先化為迭代式

（15）式中，φ為壓縮映射。

將（14）式代入（15）式，不失一般性，假設(shè)增益因子K=1，預(yù)失真器的壓縮映射φ可以記為

查找表的表項(xiàng)的更新可以通過(guò)（17）式獲得。

（17）式中，F(xiàn)i（k）表示查找表第i個(gè)表項(xiàng)的第k次迭代。一旦輸入電壓幅度進(jìn)入某個(gè)量化區(qū)間，相應(yīng)的表項(xiàng)值就被更新。被稱(chēng)為Ω上的壓縮映射［12］。

壓縮映射定理 如果φ是Ω上的壓縮映射，則φ（x）在Ω上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)x*滿(mǎn)足x*=φ（x*）;對(duì)于任意初值x（0）∈Ω，由迭代格式x（k+1）=φ（x（k））產(chǎn)生的迭代序列收斂，即

2.2 Steffensen加速方法

多數(shù)情況下，定點(diǎn)迭代的收斂速度是線性的。為了提高迭代速度，可以采用Steffensen加速法［12］。將Steffensen加速應(yīng)用于預(yù)失真器的迭代，則預(yù)失真器的迭代格式為

Steffensen加速法使迭代過(guò)程至少具有平方斂速，因而能夠提高算法迭代的速度。另外，Steffensen加速技巧還可以使不收斂的過(guò)程收斂，提高了算法的穩(wěn)定性。從（20）式可知，Steffensen算法每次迭代需要4次復(fù)數(shù)加法，1次復(fù)數(shù)乘法，1次實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)乘法，1次復(fù)數(shù)除法;在割線法中，每次迭代需要2次復(fù)數(shù)加法，2次復(fù)數(shù)乘法，1次復(fù)數(shù)除法。2種算法的計(jì)算量非常接近。

3 仿真結(jié)果與分析

針對(duì)16APSK系統(tǒng)對(duì)預(yù)失真算法的收斂速度和預(yù)失真效果進(jìn)行了仿真和分析。仿真模型采用圖1所示模型，調(diào)制器產(chǎn)生4+12-APSK信號(hào)，外圓半徑和內(nèi)圓半徑比為2.732。發(fā)送濾波器和接收濾波器的滾降系數(shù)為0.35，過(guò)采樣因子為8，持續(xù)時(shí)間為7個(gè)符號(hào)長(zhǎng)度。

圖4是不同算法的收斂曲線。圖4a－4b中，TWTA的功率回退（input back off，IBO）分別是3.16 dB和0.49 dB。線性算法的初值和迭代因子分別為Fi（0）=0.5和μ=0.4;割線法的初值為Fi（0）=0.5，F(xiàn)i（1）=1;本文提出的定點(diǎn)迭代算法初值為Fi（0）=0.5。從圖4可見(jiàn)，無(wú)論是在飽和區(qū)還是線性區(qū)，定點(diǎn)算法的收斂速度都是最快的。

圖4 不同算法的收斂速度比較Fig.4 Comparison of convergence rate

表1比較了不同條件下不同算法的迭代次數(shù)，表1中數(shù)據(jù)均在輸出均方誤差（output square error，OSE）達(dá)到－50 dB時(shí)得到。表格的第2，3列分別是TWTA工作在3.16 dB和0.49 dB的迭代次數(shù);第4，5列在表格尺寸為64時(shí)對(duì)迭代的平均次數(shù)和總次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。無(wú)論何種條件下，本文所提算法收斂次數(shù)都是最少的。

表1 不同算法的迭代次數(shù)比較Tab.1 Comparison of iteration times

圖5a－5b是APSK信號(hào)的功率譜密度函數(shù)和星座圖。信號(hào)通過(guò)信道后，高功率放大器的非線性特性使得信號(hào)的幅度和相位均有失真，并且產(chǎn)生了頻譜擴(kuò)展，造成鄰信道干擾。使用預(yù)失真技術(shù)后，帶外衰減達(dá)到－50 dB，比預(yù)失真前提高了25 dB，信號(hào)的幅度失真和相位失真也都得到矯正。

圖5 預(yù)失真前后功率譜密度曲線和信號(hào)星座圖Fig.5 PSD and signal constellation before and after predistorter

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)衛(wèi)星通信系統(tǒng)中高功率放大器引起的非線性失真問(wèn)題，在復(fù)增益結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)基帶預(yù)失真技術(shù)基礎(chǔ)上，提出一種新的迭代方法，利用壓縮映射原理，將預(yù)失真器查找表的更新看作定點(diǎn)迭代過(guò)程，并使用Steffensen加速技巧提高收斂速度。新算法使收斂階數(shù)達(dá)到2以上，比線性法和割線法收斂速度更快;使系統(tǒng)的帶外輻射降低到－50 dB以下，比預(yù)失真前降低了25 dB，同時(shí)克服了信號(hào)的幅度和相位失真;算法復(fù)雜度和廣泛使用的割線法相當(dāng)。

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