一種基于衰減系數(shù)的混沌時間序列預(yù)測法

錢 鋒，王可人，焦傳海

（電子工程學(xué)院，安徽合肥 230037）

0 引言

20世紀(jì)80年代以來，混沌理論在天氣預(yù)報、電力負(fù)荷預(yù)測調(diào)度、信號處理、自動控制、信息安全等領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用［1-6］，其中，混沌時間序列預(yù)測在許多領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景，已經(jīng)成為一個非常重要的研究方向。用相空間重構(gòu)［7-9］來預(yù)測時間序列有多種方法，根據(jù)擬合相空間中吸引子的方式可分為全域法和局域法兩種。現(xiàn)有的混沌時間序列預(yù)測方法中，局域線性預(yù)測方法計算量小，簡單易行，在實際中應(yīng)用比較廣泛。

呂金虎等［10］提出了用于混沌時間序列預(yù)測的加權(quán)一階局域法，并將其應(yīng)用于電力系統(tǒng)歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)序列進行預(yù)測。由于引進了權(quán)值，加權(quán)一階局域法有較好的自適應(yīng)能力和較高的預(yù)測精度，在交通流量預(yù)測［11］、諧波電流預(yù)測［12］、低壓電力線信道噪聲預(yù)測［13］等方面也得到了成功運用。

文獻(xiàn)［14］對文獻(xiàn)［10］的局域線性擬合提出改進，僅用鄰近相點中與預(yù)測值相關(guān)性最大的分量進行一階擬合，去除其他干擾分量，減少計算量的同時提高了預(yù)測精度。文獻(xiàn)［13］從鄰近點選取的角度提出改進，基于鄰近點的各分量對預(yù)測的影響依其時間延遲呈Lyapunov指數(shù)衰減的思想，對歐氏距離公式進行修改，提出分維指數(shù)加權(quán)一階局域法。修正后的距離公式體現(xiàn)了各相點與中心點的相關(guān)性，其方法相對于文獻(xiàn)［10］在預(yù)測精度上也有明顯提高。如果把上述兩種改進結(jié)合在一起，必然會使加權(quán)一階局域模型取得更好的預(yù)測效果。然而，最大Lyapunov指數(shù)表示的是系統(tǒng)全體軌道在無窮多步演化條件下的平均發(fā)散程度。那么，最大Lyapunov指數(shù)直接使用在文獻(xiàn)［10］衡量鄰近點和中心點的相關(guān)性的向量距離公式中是否合適，另外，難以避免的最大 Lyapunov 指數(shù)計算誤差［4，15］對預(yù)測效果會形成怎樣的影響。我們認(rèn)為，消除最大Lyapunov指數(shù)本身所固有的全局性特征和基于無窮多步演化的平均性特征，并尋求新的相點相關(guān)性評價函數(shù)來取代文獻(xiàn)［13］中的向量距離公式很有必要。

因此，本文中我們采用文獻(xiàn)［13］的改進方式對文獻(xiàn)［14］作進一步改進，并且用衰減β系數(shù)替換文獻(xiàn)［13］中向量距離公式中的最大Lyapunov指數(shù)，對指數(shù)形式的衰減因子進行修正。修正后的向量距離公式能夠更好地體現(xiàn)相點的不同分量對預(yù)測的影響程度，通過調(diào)節(jié)衰減系數(shù)的大小，可以調(diào)節(jié)各鄰近相點與中心點的相關(guān)性，進一步優(yōu)化鄰近點的選取，使得每個鄰近點對應(yīng)的權(quán)值能更好地體現(xiàn)鄰近點對預(yù)測的貢獻(xiàn)，為提高預(yù)測性能打下堅實的基礎(chǔ)。

1 算法描述

加權(quán)一階局域法，將相空間軌跡的最后一點作為中心點，把離中心點最近的若干軌跡點作為相關(guān)點，找出并根據(jù)“歷史上情況最相似的情況”估計軌跡下一點的走向，最后從預(yù)測出的軌跡點的坐標(biāo)中分離出所需要的預(yù)測值。加權(quán)一階局域法一般包括4個步驟:重構(gòu)相空間，選取鄰近點，確定模型參數(shù)，預(yù)測計算。

1.1 重構(gòu)相空間

在重構(gòu)相空間時，應(yīng)選取合適的時間延遲τ和嵌入維數(shù) m。若已知時間序列 xi，i=1，2，…，N，那么相空間中的延遲向量可以表示為

（1）式中，M=N －（m －1）τ。

1.2 選取鄰近點

設(shè)中心點Xl的k個最鄰近點為Xli，i=1，2，…，k，并且到 Xl的距離為 di，設(shè) dm是 di中最小值，定義點Xli的權(quán)值為

（2）式中，c為參數(shù)，一般取c=1。

預(yù)測精度的高低很大程度上取決于歐氏距離公式所確定的最鄰近相點的性態(tài)，如果最鄰近相點與原相點相關(guān)程度大，則預(yù)測精度較高，反之則較低。當(dāng)嵌入維數(shù)m較小時，歐氏距離公式所確定的最鄰近相點基本上能反映與原相點的相關(guān)程度，但當(dāng)嵌入維數(shù)m逐漸增大時，這種效果會逐漸降低，因為距離最近并不一定關(guān)聯(lián)度越大。文獻(xiàn)［13］用表征混沌系統(tǒng)軌道發(fā)散快慢的最大Lyapunov指數(shù)和鄰近點的各維所對應(yīng)的時間延遲的乘積作為冪，構(gòu)造一個指數(shù)形式的衰減因子對歐氏距離公式進行修改。如此直接使用最大Lyapunov指數(shù)構(gòu)造衰減因子具有一定的主觀性，因此，本文中我們引入衰減β系數(shù)替換原向量距離公式中的最大Lyapunov指數(shù)λ1，向量距離公式修改為

（3）式中:xl+（j－1）τ為中心點 Xl的第 j個分量;xli+（j－1）τ為第 i個鄰近點 Xli的第 j個分量。

距離公式（3）中的衰減系數(shù)β，和文獻(xiàn)［13］中修正的向量距離公式中的最大Lyapunov指數(shù)相比，不再是一個固定的參數(shù)，它的引入使得各相點與中心點的距離相關(guān)性可以調(diào)節(jié)，同時，也調(diào)節(jié)了同一鄰近點的各個分量和中心點的第m維分量的關(guān)聯(lián)程度，進而影響鄰近點的選取，使得每個鄰近點對應(yīng)的權(quán)值能更好地體現(xiàn)鄰近點對預(yù)測的貢獻(xiàn)。

1.3 確定模型參數(shù)

加權(quán)一階局域模型同時使用鄰近點Xli及其一步演化相點Xli+1的所有延遲分量進行線性擬合，但是，未來值與中心點的第m維分量相關(guān)性最強，與其他分量的相關(guān)性較弱，擬合時使用其他分量將降低預(yù)測性能。因此，文獻(xiàn)［14］去除其他干擾分量，只用鄰近點的第m維分量進行線性擬合

（4）式中:a和 b分別為擬合所需的實系數(shù);xli+1+（m－1）τ和 xli+（m－1）τ分別為 Xli+1和 Xli的第 m 維分量。應(yīng)用加權(quán)最小二乘法有

將（5）式看作是關(guān)于未知數(shù)a和b的二元函數(shù)，兩邊求偏導(dǎo)并令偏導(dǎo)數(shù)為零，得到（6）式

解（6）式確定a和b的值。

1.4 預(yù)測計算

把和的值代入公式（4）得到預(yù)測模型為

（7）式中，中心點Xl的一步預(yù)測向量Xl+1的第m維分量xl+1+（m－1）τ即為時間序列下一時刻的預(yù)測值。

2 仿真結(jié)果及討論

為了檢驗算法的效果，用Henon映射的分量生成混沌時間序列，如（8）式所示

（8）式中，迭代初始值為 x0=0，y0=0，生成數(shù)據(jù)13 000個點，前8 000個點舍棄，中間4 000個點構(gòu)成訓(xùn)練集，從中選取鄰近點，最后1 000個點用來預(yù)測，即校驗集。然后按照（9）式對時間序列進行歸一化處理

（9）式中，{y（i）}為原始混沌時間序列，{x（i）}為歸一化混沌時間序列。

相空間重構(gòu)有2個關(guān)鍵參數(shù):嵌入維數(shù)m和時間延遲τ。用C-C方法［16］計算上述數(shù)據(jù)的時間延遲τ為2，用 Cao方法［17］確定最小嵌入維數(shù) m的E1，E2曲線如圖1所示，其定義詳見文獻(xiàn)［17］?？梢钥闯?，上述Henon時間序列的最小嵌入維數(shù)m為3。

圖1 Henon映射時間序列的E1和E2曲線Fig.1 Values E1 and E2 for time series data from the Henon attractor

根據(jù)向量距離公式（3）從相空間中選取距中心點最近的m+1個最鄰近點，并計算其對應(yīng)的權(quán)值，進行局域線性擬合，獲取系數(shù)a和b，并代入預(yù)測模型公式（7）即可預(yù)測未來值。

模型預(yù)測性能評價標(biāo)準(zhǔn)采用相對誤差er，其定義為

（10）式中:x（i）為預(yù)測值;x（i）為真實值;N為預(yù)測點個數(shù)。

為了便于分析衰減系數(shù)β和嵌入維數(shù)m對預(yù)測性能的影響效果，重構(gòu)相空間時取時間延遲τ為2，在不同的衰減系數(shù)β和嵌入維數(shù)m取值情況下，計算Henon映射時間序列的預(yù)測相對誤差，得到了如圖2所示的曲面圖。

圖2 相對誤差隨衰減系數(shù)和嵌入維數(shù)的變化關(guān)系Fig.2 Relative error changes with the attenuation coefficient and embedding dimension

在圖2中，對應(yīng)不同的嵌入維數(shù)m，相對誤差曲線存在最低點，此時的衰減系數(shù)即最佳值βopt，結(jié)果如表1所示?？梢钥闯?，通過適當(dāng)選擇衰減系數(shù)β的取值，可以選取與中心點相關(guān)性大的鄰近點，進一步突出預(yù)測貢獻(xiàn)大的分量所占的比重，從而提高預(yù)測精度。同時可以看出，衰減系數(shù)β→+∞時，相對誤差曲線會逐步收斂，此時公式（3）體現(xiàn)的距離相關(guān)性幾乎只與相點的第m維分量有關(guān)，其他延遲分量對權(quán)值Pi的影響全部被忽略，即舍棄了可供利用的大量有用信息，將不可避免地使得相對誤差趨向一個極限值。

表1 不同嵌入維數(shù)對應(yīng)的衰減系數(shù)最佳值Tab.1 Best attenuation coefficient for different embedding dimension

衰減系數(shù)β=0時，本文方法等效為文獻(xiàn)［14］方法。當(dāng)衰減系數(shù)取 βopt時，用本文方法和文獻(xiàn)［14］方法對上述數(shù)據(jù)進行預(yù)測，相對誤差曲線如圖3所示。從圖3中可以看出，本文方法的預(yù)測效果更好。隨著嵌入維數(shù)增加，文獻(xiàn)［14］方法的預(yù)測相對誤差迅速上升，而本文方法的預(yù)測誤差相對保持穩(wěn)定，上升幅度較小。這是由于嵌入維數(shù)增大時，相空間延遲向量利用的維分量數(shù)增多，預(yù)測利用的歷史信息增多，引入了大量的延遲時間過長的分量，貢獻(xiàn)度小的分量抑制了貢獻(xiàn)度大的分量的參考作用，導(dǎo)致預(yù)測相對誤差隨嵌入維數(shù)增加而迅速升高［13］。而本文引入的衰減系數(shù)β，加大了時間靠前的分量的參考作用，所以嵌入維數(shù)增加時，預(yù)測精度保持相對穩(wěn)定，上升幅度不大。

圖3 預(yù)測誤差對比Fig.3 Prediction error comparison between the improved method and the original one

3 結(jié)論

對混沌時間序列重構(gòu)相空間后，預(yù)測值為預(yù)測向量的第m維分量，它與鄰近點的第m維分量的相關(guān)性最大，與其他延遲分量的相關(guān)性隨各分量對應(yīng)的時間延遲而衰減。本文中我們在文獻(xiàn)［13］和文獻(xiàn)［14］的基礎(chǔ)上，引入衰減系數(shù)β，修改了文獻(xiàn)［13］的向量距離公式，調(diào)節(jié)各鄰近相點與中心點的距離相關(guān)性，也調(diào)節(jié)了同一鄰近點的各個分量和中心點的第m維分量的關(guān)聯(lián)程度。另外，本文的預(yù)測模型不需要計算最大Lyapunov指數(shù)，不僅節(jié)省了大量的計算時間，而且大大地減少了計算時所需的存儲空間。數(shù)值研究表明，該模型可以更精確地預(yù)測混沌時間序列。

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