卜長(zhǎng)江，劉廣峰，白淑艷

(哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

矩陣的Drazin逆表示不僅在矩陣代數(shù)中有重要意義，而且在奇異差分方程、廣義系統(tǒng)、馬爾科夫鏈和迭代法等領(lǐng)域中都有十分重要的應(yīng)用［1-5］.尤其在奇異線性微分方程的解表示中［6］，矩陣的Drazin逆理論更是不可或缺的工具.1979年，以二階奇異系統(tǒng)為背景，Campbell等［1］提出一個(gè)2×2分塊矩陣Drazin逆表達(dá)式的open問(wèn)題.1983年，Campbell［2］再次提出類似的open問(wèn)題，引起學(xué)者們極大的關(guān)注，但這些問(wèn)題至今未能完全解決.近年來(lái)一些學(xué)者在分塊矩陣的子塊滿足一定條件下給出其Drazin逆表達(dá)式［7-14］.在分塊矩陣的廣義Schur補(bǔ)為零或者可逆的條件下給出其Drazin逆表達(dá)式的問(wèn)題是近幾年的熱點(diǎn)問(wèn)題［7-10］.本文在分塊矩陣的廣義Schur補(bǔ)為零且子塊滿足相應(yīng)條件下給出了其Drazin表達(dá)式，推廣了 Hartwing［9］及 Martinez-Serrano［10］給出的若干結(jié)果.

1 引理

為了得到本文的主要結(jié)果首先給出如下引理.引理 1［10］設(shè) P，Q∈Cn×n，若 P2Q=O，Q2=O且PQ是k次冪零矩陣，則

其中:k=ind(PQ)，t=ind(P2).

引理 2［10］P，Q∈Cn×n，若 P2Q=O，Q2=O，QPQ=O且(PQ)2=O，則(P+Q)D=PD+Q(PD)2+PQ(PD)3.

2 主要結(jié)果

該文主要是得到下面形式的2×2分塊矩陣Drazin逆表達(dá)式

式中:A和D是方陣，設(shè)M的廣義Schur補(bǔ)S=DCADB等于零.

證明:由于M=PNP-1，令N=P1+P2，

所以，由引理1得

因?yàn)镸D=PNDP-1，

下面給出定理1的推論，此推論恰好是文獻(xiàn)［10］的結(jié)果.

推論 設(shè)分塊矩陣M如同式(1).若BCAπ是r次冪零矩陣，ABCAπ=O，則

其中:

文獻(xiàn)［9］在 CAπB=O，AAπB=O 條件下給出分塊矩陣M的Drazin逆表達(dá)式.本文的定理2在CAπBC=O且AAπBC=O的條件下給出M 的的Drazin逆表達(dá)式.顯然，CAπBC=O和AAπBC=O是CAπB=O和AAπB=O成立的必要條件.

定理2 設(shè)分塊矩陣M的形式如同式(1).若CAπBC=O，AAπBC=O，則

其中:B11、B12、Z 如定理中所示.

通過(guò)與定理1和定理2類似的證明方法分別給出定理3和定理4.

證明:證明過(guò)程與定理2類似，略.

定理4 設(shè)分塊矩陣M的形式如同式(1).若AπBC 是 p次冪零矩陣，(A+ADBC)AπBC=O，則

其中:

證明:證明過(guò)程與定理1類似，略.

3 數(shù)值例子

針對(duì)上述定理的應(yīng)用分別給出其數(shù)值例子.

例1

因?yàn)?A+BCAD)BCAπ=O，(BCAπ)2=O，

所以滿足定理1的條件，

從而，由定理1得:

因?yàn)锳AπBC=O且CAπBC=O.

所以滿足定理2的條件，從而，由定理2得

因?yàn)?CAπBCAπ=O(A+BCAD)BCAπ=O，所以滿足定理3的條件，從而，由定理3得:

因?yàn)?A+ADBC)AπBC=O 且(AπBC)3=O，所以滿足定理4的條件.從而，由定理4得

4 結(jié)束語(yǔ)

［1］CAMPBELL S L，MEYER C D.Generalized inverse of linear transformations［M］.New York:Dover Publications，1991:36-87.

［2］CAMPBELL S L.The Drazin inverse and systems of second order linear differential equations［J］.Linear and Multilinear Algebra，1983，14:195-198.

［3］MEYER C D，SHOAF J M.Updating finite Markov chains by using techniques of group inversion［J］.Statist Comput Simulation，1980，11(11):163-181.

［4］KIRKLAND S J，NEUMANN M，XU J.Convexity and elasticity of the growth rate in size-classified population model［J］.SIAM Matrix Anal Appl，2004，26(1):170-185.

［5］CLIMENT J J，NEUMANN M.A semi-iterative method for real spectrum singular linear systems with an arbitrary index［J］.Compute Appl Math，1997，87(1):21-38.

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［13］BU Changjiang，LI Min，ZHANG Kuize，et al.Group inverse for the block matrices with an invertible subblock［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，215(1):132-139.

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