基于阿基米德螺線的稀布面陣綜合方法

王廣鵬

(電子科技大學(xué) 成都 611731)

1 引言

近年來，由于在雷達(dá)、聲納、醫(yī)學(xué)交流和圖像處理等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，平面陣列成為陣列設(shè)計(jì)研究的熱點(diǎn)。當(dāng)平面陣列孔徑較大時(shí)，陣元間距為半波長(zhǎng)的均勻平面陣列需要相當(dāng)多的陣元，這使得天線系統(tǒng)的成本較高。為保證陣列具有高的空間分辨率，低的副瓣特性等性能，同時(shí)又盡量降低天線系統(tǒng)的成本，采用稀布天線陣元位置的方法來設(shè)計(jì)平面天線陣列是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。

平面陣列稀布綜合設(shè)計(jì)是一個(gè)非常復(fù)雜的非線性問題。在陣元最小距離約束為某一特定值時(shí)，稀布線陣綜合設(shè)計(jì)中陣元位置的選擇只受到直線上與之相鄰的已經(jīng)選定位置的那個(gè)陣元的約束，而在平面陣列中，選擇陣元位置時(shí)需要在二維平面內(nèi)考慮是否與相鄰陣元滿足距離約束條件，這時(shí)，對(duì)陣元位置選擇構(gòu)成約束的相鄰陣元數(shù)不止一個(gè)。當(dāng)平面陣列上陣元個(gè)數(shù)較多時(shí)，問題將會(huì)變得非常復(fù)雜。文獻(xiàn)[1]中提出一種陣元距離約束滿足切比雪夫距離的矩形邊界稀布平面陣列綜合方法;文獻(xiàn)[2]中提出了對(duì)半徑間隔半波長(zhǎng)的均勻同心圓環(huán)平面陣稀布綜合的方法。上述方法均有效降低了稀布面陣優(yōu)化問題的復(fù)雜程度，同時(shí)保證了非常良好的陣列性能。然而，在目前已有的有關(guān)稀布面陣綜合設(shè)計(jì)的文獻(xiàn)中，尚未有將平面陣列稀布綜合設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為稀布線性陣列的優(yōu)化問題來處理的文獻(xiàn)。本文提出一種陣元距離，陣列孔徑以及陣元數(shù)目約束下的沿阿基米德螺線軌跡的平面陣列布陣方式，通過合理設(shè)置螺線參數(shù)，將平面陣列的稀布問題轉(zhuǎn)化成稀布線性陣列優(yōu)化問題，大大降低了稀布面陣綜合問題的復(fù)雜程度，在得到良好的旁瓣性能的同時(shí)，提高了程序的運(yùn)行速度，是一種高效、穩(wěn)定的稀布面陣綜合方法。

由于遺傳算法適用于解決非線性問題，近年來已經(jīng)有很多文獻(xiàn)將遺傳算法應(yīng)用于稀布陣列綜合設(shè)計(jì)中，并且取得很好的效果，本文將繼續(xù)拓展遺傳算法在稀布陣列綜合中的應(yīng)用。

2 遺傳算法用于阿基米德螺線陣列優(yōu)化

2.1 阿基米德螺線陣列優(yōu)化模型

阿基米德螺線，亦稱“等速螺線”。當(dāng)一點(diǎn)P沿動(dòng)射線OP以等速率運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，該射線又以等角速度繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的軌跡稱為“阿基米德螺線”，它的極坐標(biāo)表達(dá)式為:其中，a為螺線參數(shù)，θ為螺線相對(duì)原點(diǎn)的方位角偏移量。這種螺線的每條臂的距離為2πa。

根據(jù)弧長(zhǎng)公式，可以得到阿基米德螺線的弧長(zhǎng)表達(dá)式:

圖1 阿基米德螺線陣列示意圖

圖1中，r表示阿基米德螺線陣列的陣列孔徑，最外面的圓環(huán)為陣列的孔徑圓。對(duì)于任意陣列，考慮陣元為全向陣元，陣列的電場(chǎng)分布:

N=陣元數(shù);k=2π/λ;λ為入射信號(hào)的波長(zhǎng);In為陣元激勵(lì)的幅值;ψn為陣元激勵(lì)的初始相位;rn=陣元與原點(diǎn)位置陣元的距離;φn=沿螺線從原點(diǎn)位置陣元到達(dá)該陣元時(shí)轉(zhuǎn)過的角度;u=sinθcosφ，v=sinθsinφ，0 ＜ θ＜ 2π，0 ＜ φ ＜ 2π。

為了描述問題的方便，我們?cè)O(shè)In=1;ψn=0。所以，阿基米德螺線陣列的電場(chǎng)分布可以寫為:

定義適應(yīng)度函數(shù)為整個(gè)φ平面的旁瓣電平的最大值，則:

FFmax是主瓣的峰值，φ、θ對(duì)應(yīng)的范圍為除主瓣外的所有旁瓣區(qū)域。

目標(biāo)函數(shù)定義為:

d1，d2，…，dN表示陣元的位置。

為了描述應(yīng)用遺傳算法對(duì)阿基米德螺線陣列優(yōu)化布陣的問題，我們做以下定義:

r:阿基米德螺線陣列的孔徑;

L:將阿基米德螺線展開為直線后的陣列孔徑;

R=aθ:阿基米德螺線方程，其中a為大于0的任意常數(shù)，θ表示從螺線原點(diǎn)轉(zhuǎn)到與原點(diǎn)的徑向距離為R的點(diǎn)時(shí)，螺線轉(zhuǎn)過的角度。

此時(shí)，阿基米德螺線陣列的優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性陣列的優(yōu)化模型:

上式中的d1，d2…dN表示陣元在展開后的阿基米德螺線上的位置。

2.2 創(chuàng)建初始種群

上面，我們通過合理設(shè)置阿基米德螺線的參數(shù)，將以阿基米德螺線為軌跡進(jìn)行平面布陣的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非對(duì)稱線性陣列的稀布問題，這就大大簡(jiǎn)化布陣的難度。

建立初始種群:設(shè)陣元數(shù)目為N，阿基米德螺線陣列的孔徑為r，則:

陣元的距離約束不變。這樣，在以最小陣元間距布陣時(shí)，孔徑上剩余的區(qū)間為:

運(yùn)用隨機(jī)數(shù)生成器在[0，sp]上生成N－2個(gè)隨機(jī)數(shù)并按從小到大排列，得到:X= [x2，x3，…，xN－1]T，則在孔徑內(nèi)N－2個(gè)位置上的陣元位置矢量為:

經(jīng)轉(zhuǎn)換后，得到整個(gè)個(gè)體的位置矢量:S=[0，d2，…，dN－1，L]。

不難證明上述方法生成的個(gè)體滿足了陣元個(gè)數(shù)N，孔徑r和陣元最小距離約束dc。要生成種群數(shù)為M的初始群體，只需用隨機(jī)數(shù)生成器獨(dú)立地生成M個(gè)向量X，然后經(jīng)變換得到形如S的個(gè)體。

2.3 陣元位置轉(zhuǎn)換

每得到一代群體之后，需要根據(jù)陣元位置矢量求解每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度。但是，前面對(duì)陣元位置矢量的一系列操作是在直線陣列中進(jìn)行的，若求解阿基米德螺線平面陣列的方向圖，需要找到直線上的陣元在阿基米德螺線上對(duì)應(yīng)的位置。為了能夠快速的完成陣元位置的轉(zhuǎn)換，本文采用了查表法，創(chuàng)建查找表的步驟如下:

a.對(duì)展開后的阿基米德螺線進(jìn)行等間隔采樣，采樣精度為 0.02dc，采樣范圍為[0，400dc]，得到直線上的陣元位置表L1;

b.根據(jù)公式(2)求解表L1中的每一個(gè)采樣值對(duì)應(yīng)的阿基米德螺線上的位置，得到螺線上的陣元位置表L2，表L1和表L2為一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系。

經(jīng)遺傳操作得到種群中個(gè)體以后，需要對(duì)個(gè)體中每個(gè)元素值以0.02dc的精度近似，然后將近似后的值映射到表L2中，完成陣元位置的轉(zhuǎn)換。這種方法可以提高陣元位置轉(zhuǎn)換的速度，從而更加迅速的得到個(gè)體的適應(yīng)度，縮短了陣列優(yōu)化的時(shí)間。

2.4 遺傳操作預(yù)處理和后處理

在得到個(gè)體的適應(yīng)度之后，首先判斷該個(gè)體的適應(yīng)度是否滿足優(yōu)化準(zhǔn)則，若未滿足，則需要將優(yōu)勢(shì)個(gè)體保留到下一代種群之中。下一代種群是通過交叉變異產(chǎn)生的。然而，由于稀布陣列的陣元間距約束，通過通用的遺傳算法交叉變異得到子代群體很有可能不再滿足陣元間的距離約束。為了避免該問題的出現(xiàn)，需要對(duì)父代群體進(jìn)行遺傳操作預(yù)處理提取基因信息，然后對(duì)基因信息進(jìn)行廣義交叉和廣義變異兩種遺傳操作，最后對(duì)新的基因信息矩陣進(jìn)行遺傳操作后處理，得到子代群體。由于文獻(xiàn)[3]已經(jīng)對(duì)上述操作的具體步驟進(jìn)行了詳細(xì)的描述，本文在此就不再贅述。

3 算法流程

在本文中應(yīng)用的遺傳算法在傳統(tǒng)的遺傳算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一些改進(jìn)，具體步驟如下:

a.創(chuàng)建查找表;

b.初始群體建立;

c.陣元位置轉(zhuǎn)換;

d.計(jì)算群體中個(gè)體的適應(yīng)度;

e.判斷優(yōu)化準(zhǔn)則是否滿足，若已滿足則轉(zhuǎn)(j)，否則繼續(xù);

f.選擇優(yōu)勢(shì)個(gè)體;

g.遺傳操作預(yù)處理;

h.廣義交叉操作;

i.廣義變異操作;

j.遺傳操作后處理，轉(zhuǎn)(b);

k.輸出最佳個(gè)體，結(jié)束。

4 仿真結(jié)果

設(shè)陣元數(shù)為167，陣列孔徑為4.5λ，最小陣元間距約束dc為0.5λ。優(yōu)化目標(biāo)為陣列方向圖的PSLL盡量低。GA的基本參數(shù)為:種群數(shù)為100，交叉率為0.5，變異率為0.01，終止代數(shù)為200，初始群體生成和種群變異時(shí)采用均勻分布隨機(jī)數(shù)生成器，采用了最佳保留機(jī)制來保證算法的收斂。共進(jìn)行了十次獨(dú)立的仿真實(shí)驗(yàn)，每次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)耗時(shí)大約6.5h.十次實(shí)驗(yàn)中最優(yōu)PSLL為－20.4113dB，最差PSLL為－19.9455dB.上述仿真得到的PSLL在一個(gè)很小的范圍內(nèi)變動(dòng)，證明了該方法的穩(wěn)定性。利用最優(yōu)結(jié)果的數(shù)據(jù)作圖，可以得到優(yōu)化后的螺線陣列陣元位置圖，三維方向圖和切面方向圖。

圖5 優(yōu)化后的陣列u軸切面方向圖

5 結(jié)語

文中提出了一種綜合陣元數(shù)、孔徑和最小陣元間距約束的稀布面陣的新方法，陣元沿阿基米德螺線的軌跡放置，通過合理設(shè)置螺線參數(shù)，將一個(gè)面陣的稀布問題轉(zhuǎn)化為稀布線陣的綜合問題。這種方法降低了面陣稀布問題的復(fù)雜度，得到了良好的旁瓣性能，降低了陣列的成本。同時(shí)，該方法可以根據(jù)實(shí)際需要調(diào)整陣元的最小距離約束，以降低陣元間的互藕現(xiàn)象，因此更符合實(shí)際工程的需要。

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