拱形減振橡膠墊在荷載作用下的應(yīng)力分析＊

陳玉驥，羅旗幟，2

(1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院土木工程與建筑系，廣東佛山 528000;2.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙 410082)

拱形減振橡膠墊在荷載作用下的應(yīng)力分析＊

陳玉驥1，羅旗幟1，2

(1.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院土木工程與建筑系，廣東佛山 528000;2.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙 410082)

通過實(shí)驗(yàn)確定了橡膠材料的Mooney－Rivlin常數(shù)。以拱形減振橡膠墊為對(duì)象，建立了空間有限元模型?？紤]材料非線性和幾何非線性影響以及半球形空腔內(nèi)的氣體壓力作用，用有限元法分析了這種減振橡膠墊的應(yīng)力狀態(tài)和極限承載力。結(jié)果表明，在正常使用下，減振橡膠墊在含半球區(qū)域的水平正應(yīng)力沿著水平方向基本上呈波浪型的變化，沿豎向基本上呈線性分布;剪應(yīng)力比正應(yīng)力小一個(gè)數(shù)量級(jí);無半球區(qū)域應(yīng)力分布比較均勻，變化很小;拱形減振橡膠墊中的半球形空腔的半徑R、半球間距L和橡膠墊厚度h對(duì)極限承載力均有一定的影響;當(dāng)R=5.5 mm，L=3 mm，h=14 mm時(shí)，拱形橡膠減振墊的極限承載力為375 kN，與正常使用下的荷載之比為3∶ 1;極限狀態(tài)時(shí)拱形橡膠減振墊的厚度約為原始厚度的一半。

減振橡膠墊;超彈性材料;應(yīng)力;頂面位移;極限承載力

鐵道線路上，為使行車平順，在鋼軌和混凝土軌枕之間都設(shè)置了減振墊進(jìn)行隔振或減振。目前應(yīng)用的減振墊一般為板式橡膠墊和圓柱形橡膠減振墊。前者為實(shí)心結(jié)構(gòu)，減振效果欠佳，疲勞性能也不理想;后者存在局部應(yīng)力集中而發(fā)生的撕裂問題。拱形減振橡膠墊是一種新型減振產(chǎn)品(見圖1)，它是以橡膠為主體，在橡膠墊的底部均勻排列若干個(gè)獨(dú)立，大小相同的半球空心氣室，該半球形空腔在工作時(shí)所產(chǎn)生的空氣壓力可以起到氣體彈簧的作用，有助于減少振動(dòng)的傳遞和沖擊。頂部構(gòu)造能均勻分散所承受的壓力，使力沿著半球頂周圍向下傳遞，解決了局部應(yīng)力集中而發(fā)生的撕裂問題，提高了其承載能力和延長其使用壽命?？梢?，拱形減振橡膠墊是一種較好的鐵軌減振裝置，具有良好的應(yīng)用前景。本文根據(jù)有限元理論，采用塊體單元，考慮橡膠墊的材料非線性和大變形特征，分析了拱形減振橡膠墊的應(yīng)力狀態(tài)和極限承載力，討論了半球空腔的半徑、半球間的距離和橡膠墊的厚度對(duì)極限承載力的影響，其結(jié)果可為拱形減振橡膠墊的推廣應(yīng)用提供參考。

1 拱形減振橡膠墊有限元模型的建立

1.1 橡膠材料的超彈性特征

拱形橡膠墊的橡膠材料是主要的受力材料。橡膠不同于一般的彈性材料，它屬于超彈性材料，具有超彈性特征，在較小的外力作用下就能顯示出高度的變形能力。而在外力除去后，又能恢復(fù)原來的形狀，幾乎沒有永久變形。橡膠的彈性與金屬的彈性不同，若將橡膠棒用力拉伸，其最大伸長通常在500%～1000%之間。除在小變形區(qū)域外，橡膠沒有固定的楊氏模量［1］。

圖1 拱形減振橡膠墊的尺寸圖Fig.1 The size of the arch decouple rubber bearing

一般工程材料(如金屬)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可由一條彈塑性響應(yīng)曲線來描述，而對(duì)于像橡膠這樣的超彈性材料，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系則需根據(jù)應(yīng)變能函數(shù)W來描述，該應(yīng)變能函數(shù)W對(duì)應(yīng)變分量的導(dǎo)數(shù)就是相應(yīng)的應(yīng)力分量。關(guān)于橡膠材料的應(yīng)變能函數(shù)，有不同的模型［2－4］。其中，以唯象理論為基礎(chǔ)的理論模型較為合理。這種方法由Mooney于1940年提出，然后Rivlin將其推廣到了一種更通用更合理的形式。此理論的基本思想是直接從橡膠材料的大變形現(xiàn)象出發(fā)，不考慮具體的微觀分子結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)出可以完全或比較近似表達(dá)橡膠材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一種數(shù)學(xué)格式。

Rivlin指出，對(duì)于各向同性材料來說，其材料的對(duì)稱性對(duì)應(yīng)變能函數(shù)的可能形式給予了一定限制;此外，靜水壓力對(duì)橡膠之類的材料基本上是沒有壓縮的。因此Rivlin假設(shè)橡膠材料是不可壓縮的，而且在小應(yīng)變狀態(tài)下是各向同性的，這種各向同性不可壓縮材料的應(yīng)變能函數(shù)W可以用下式表達(dá)

式中:I1和I2為應(yīng)變張量第一和第二不變量;Cij為Mooney－Rivlin常數(shù)。

1.2 Mooney－Rivlin常數(shù)的確定

Mooney－Rivlin常數(shù)是一種適用于不可壓縮橡膠類材料的材料常數(shù)［5］，現(xiàn)行材料手冊(cè)中通常查不到超彈材料的Mooney－Rivlin常數(shù)，但可通過對(duì)材料標(biāo)準(zhǔn)試樣的實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)來確定這些常數(shù)。

本文采用工程軟件ANSYS自帶的超彈性分析程序進(jìn)行材料特性擬合計(jì)算。在ANSYS中提供了用于模擬橡膠的超彈性材料單元，以及與之相對(duì)應(yīng)的Mooney－Rivlin材料屬性。按照式(1)所取的應(yīng)變能函數(shù)的項(xiàng)數(shù)不同，提供了若干Mooney－Rivlin材料模型。本文計(jì)算采用5常數(shù)的Mooney－Rivlin材料計(jì)算模型，這5個(gè)常數(shù)可根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)在ANSYS中計(jì)算生成。為此，作者通過對(duì)拱形減振橡膠墊取樣，并對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)［6］，測得了在壓力作用下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并將所測得的數(shù)據(jù)通過ANSYS計(jì)算得出應(yīng)變能函數(shù)所需要的常數(shù)，從而確定了所用橡膠材料的材料屬性。根據(jù)實(shí)驗(yàn)所得的應(yīng)力及應(yīng)變，通過ANSYS的計(jì)算，得到了本文所研究的橡膠墊材料由Mooney－Rivlin模型所描述的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如圖2所示。

圖2 在ANSYS中定義的應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.2 Stress－ strain curve defined by ANSYS

1.3 減振橡膠墊的有限元計(jì)算模型

由于拱形減振橡膠墊具有對(duì)稱性，包含2個(gè)對(duì)稱軸，故以其1/4進(jìn)行有限元分析。建模時(shí)，采用塊體單元，其網(wǎng)格劃分模型如圖3所示(其中，x為沿短邊方向的坐標(biāo)，y為沿長邊方向的坐標(biāo))。有限元分析中，打開大變形開關(guān)，以反映橡膠的大變形效應(yīng)。非線性剛度方程的求解，采用增量迭代法計(jì)算，其收斂性以位移收斂準(zhǔn)則進(jìn)行控制。

圖3 1/4減震橡膠墊有限元離散模型圖Fig.3 One－quarter FEM model of the decouple rubber

2 荷載的施加形式

作用于減振橡膠墊的荷載有頂面鐵軌所傳遞的列車軸重荷載以及半球形空腔內(nèi)部的氣體壓力荷載。

2.1 正常使用狀態(tài)

在進(jìn)行正常使用狀態(tài)下的應(yīng)力分析時(shí)，軸重荷載采用標(biāo)準(zhǔn)特種荷載，即火車的軸重為250 kN，每個(gè)減振橡膠墊上的荷載為250/2=125 kN。計(jì)算時(shí)，將該荷載均勻分布于減振橡膠墊的頂面，相應(yīng)的荷載集度為125 kN/(183×150)mm2=4.55 N/mm2。半球形空腔內(nèi)部的氣體壓力荷載是由頂面荷載作用使半球形空腔體積發(fā)生變化所引起的，它與半球形空腔體積的變化有關(guān)，故事先無法知道該氣體壓力的值。為了得到半球形空腔內(nèi)氣體的壓力荷載，需進(jìn)行試算。為此，先做如下假設(shè):

(1)在施加荷載的過程中，半球形空腔內(nèi)氣體不會(huì)漏掉;

(2)半球形空腔內(nèi)的氣體變化為等溫變化;

(3)氣體的壓力隨著軸重的增加而線性增加;

(4)半球形空腔內(nèi)氣體的初始?jí)毫闃?biāo)準(zhǔn)大氣壓。

試算時(shí)，首先忽略半球形空腔內(nèi)氣體的存在，對(duì)減振橡膠墊施加頂面的列車軸重荷載。頂面加載采用分級(jí)加載方式，求解過程中考慮橡膠材料的材料非線性和由于大變形引起的幾何非線性。然后根據(jù)減振橡膠墊在頂面荷載125 kN作用下半球形空腔的變形情況，計(jì)算其在變形后的體積，通過與變形前的體積比較，得到此時(shí)半球形空腔內(nèi)氣體的壓力。

計(jì)算表明，整個(gè)減振橡膠墊內(nèi)的所有半球形空腔變化后的形狀都很接近，幾乎都近似于半橢球形，故為了簡化分析，假設(shè)所有半球變化后的尺寸都一樣，并取平均尺寸進(jìn)行計(jì)算。

根據(jù)假設(shè)(2)，有如下關(guān)系:

通過上述公式，得到受壓變形后半球形空腔內(nèi)的氣體壓力p1。在減振橡膠墊未受到頂面荷載時(shí)，整個(gè)減振橡膠墊邊界(包括半球形空腔內(nèi)壁)都受到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓作用，該標(biāo)準(zhǔn)大氣壓為一平衡力系，故這時(shí)的氣壓不計(jì)入荷載，而以后加載時(shí)所有氣體壓力荷載均應(yīng)以標(biāo)準(zhǔn)大氣壓為起點(diǎn)開始計(jì)算。所以在變形后半球形空腔內(nèi)的氣體壓力應(yīng)該用以下氣體壓力作為荷載

由于在第1次試算的各級(jí)加載時(shí)，沒有考慮半球形空腔內(nèi)氣體壓力的存在，而是在加載達(dá)到125 kN后，根據(jù)半球形空腔的體積變化反推氣體壓力。顯然，上述分析與加載過中氣體壓力隨半球形空腔體積的變化而改變的實(shí)際情況有所不同。所以，為模擬實(shí)際情況，應(yīng)該將第1次試算得到的氣體壓力p按假定(3)再施加于半球形空腔內(nèi)表面上，再進(jìn)行加載計(jì)算，即該壓力由零開始隨軸重的增加而線性增加至(4)式所確定的值。當(dāng)加載結(jié)束后，又可求出新的半球形空腔體積和相應(yīng)的氣體壓力。依此循環(huán)計(jì)算，直到相鄰2次計(jì)算結(jié)果相差較小時(shí)即可認(rèn)為這時(shí)的壓力為頂面荷載為125 kN時(shí)相應(yīng)的氣體壓力，經(jīng)過反復(fù)試算，最終得到在頂面荷載為125 kN時(shí)半球形空腔內(nèi)的平均氣體壓力為0.351個(gè)大氣壓。

2.2 承載力極限狀態(tài)

為方便起見，計(jì)算極限承載力時(shí)引入如以下假設(shè):

(1)只考慮到材料的超彈性性質(zhì)，不考慮到其他的因素，如橡膠材料的疲勞，以及其工作環(huán)境對(duì)材料的影響。

(2)氣體壓力在頂面加載過程中逐漸加大(與上面的假設(shè)(3)相同)，到正常使用荷載時(shí)，假設(shè)氣體壓力達(dá)到最大值，然后隨著頂面荷載的增加，認(rèn)為出現(xiàn)了氣體泄漏現(xiàn)象。當(dāng)達(dá)到極限承載力時(shí)，氣體正好全部漏完。頂面荷載和氣體壓力隨時(shí)間的變化示意圖如圖4所示(圖中t1表示達(dá)到正常使用狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，t2表示達(dá)到極限承載力所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻)。

圖4 荷載隨時(shí)間的變化示意圖Fig.4 Sketch map of load － time

3 含半球形空腔的減振橡膠墊的應(yīng)力狀態(tài)分析

采用上述有限元模型，考慮材料非線性以及橡膠材料受力過程中的產(chǎn)生的大變形，對(duì)圖1所示拱形減振橡膠墊進(jìn)行了有限元計(jì)算。

3.1 正常使用狀態(tài)的應(yīng)力分析

為了了解應(yīng)力分布的規(guī)律，利用工程軟件中的有關(guān)路徑的定義的功能，在4個(gè)不同的平面上定義了15條路徑，輸出了這些路徑上的應(yīng)力分布情況。圖5(黑色圓點(diǎn)表示路徑的起始位置)給出了其中的8條路徑。計(jì)算表明，拱形減振橡膠墊沿著y方向上的應(yīng)力分布規(guī)律大致與沿著x方向的相同，但由于拱形減振橡膠墊的沿x和y方向的尺寸不一樣，所以應(yīng)力分量的數(shù)值有所不同。故因篇幅關(guān)系，以下只給出y=0平面上的3個(gè)路徑(路徑①，⑤和⑥)和y=7 mm平面上路徑③的應(yīng)力分布圖(見圖6～9)。

圖5 路徑示意圖Fig.5 The path’s sketch map

圖6 路徑①的正應(yīng)力、剪應(yīng)力分布圖Fig.6 The normal stress and shear stress distribution on path①

圖7 路徑③的正應(yīng)力、剪應(yīng)力分布圖Fig.7 The normal stress and shear stress distribution on path③

圖8 路徑⑤的正應(yīng)力分布圖Fig.8 The normal stress distribution on path ⑤

圖9 路徑⑥的正應(yīng)力分布圖Fig.9 The normal stress distribution on path ⑥

由應(yīng)力分布圖可見，各路徑上剪應(yīng)力數(shù)值都較正應(yīng)力小一個(gè)數(shù)量級(jí)，故下面只分析正應(yīng)力的分布情況。

(1)路徑①是在半球形空腔上方的水平方向路徑。在該路徑上，應(yīng)力σx，σy和σz在有半球空腔區(qū)域，沿著x方向均呈波浪型的分布，其極大值和極小值出現(xiàn)在半球頂面或2個(gè)半球空腔的中心連線的中點(diǎn)附近，σz(沿厚度方向的正應(yīng)力)為壓應(yīng)力，σx為拉應(yīng)力，而σy則拉壓交替。在無半球空腔區(qū)域，σx，σy和σz分布近似呈水平線(σx和σy的值很小)，表明應(yīng)力分布較均勻。由于該條路徑正好在半球形空腔的正上方，所以半球空腔的存在對(duì)于沿軸重方向的應(yīng)力σz的影響比較大。

(2)路徑③是不在半球形空腔上方的水平方向路徑。在該路徑上，沿著x方向σx和σy的分布與路徑①類似，但極大值和極小值位置與路徑①相反。由于該條路徑?jīng)]有在半球形空腔的正上方，所以σz受半球形空腔的影響比路徑①較小，即σz的變化幅度很小。

(3)路徑⑤是從減振橡膠墊的頂面到半球形空腔頂部的路徑。在該路徑上σz呈線性分布，在半球形空腔頂達(dá)到最小值;σx和σy則大致相同，呈雙線性分布，在頂面附近數(shù)值很小且?guī)缀鯙槌?shù)，但到半球形空腔頂部時(shí)急劇增大，在半球形空腔頂部達(dá)到最大值。

(4)路徑⑥是兩半球形空腔之間的豎向路徑，在該路徑上σz呈線性分布，在底面處達(dá)到最大值，σx和σy在拱形減振橡膠墊的頂部附近和在半球形空腔頂附近呈雙線性分布，但數(shù)值的變化較小。

(5)路徑①和路徑③的應(yīng)力分布大致代表了在整個(gè)減振橡膠墊中應(yīng)力分量沿著水平方向的分布規(guī)律。

(6)其他在半球形空腔頂部豎向路徑的應(yīng)力分布同路徑⑤的應(yīng)力分布基本相同，半球形空腔之間的豎向路徑應(yīng)力分布同路徑⑥的應(yīng)力分布基本相同。

(7)邊緣附近為無半球區(qū)，該處應(yīng)力狀態(tài)近似反映實(shí)心減振橡膠墊的受力情況。可見，在半球形空腔區(qū)的平均應(yīng)力(靜水壓應(yīng)力)明顯小于實(shí)心區(qū)。表明半球形空腔中的壓力，有利于減小減振橡膠墊的受力。

3.2 極限承載力分析

減振橡膠墊頂面位移隨荷載的變化曲線如圖10所示。

圖10 頂面位移－荷載關(guān)系曲線Fig.10 The relationship of the surface displacement and load

從計(jì)算結(jié)果可以看出，拱形橡膠減振墊頂面的位移(壓縮量)隨著荷載的增加而增加，在荷載均勻增加的情況下，壓縮量的增加先快后慢，表現(xiàn)出超彈性材料的性質(zhì)。該拱形橡膠減振墊墊的極限承載力為375 kN，相對(duì)應(yīng)的頂面位移大小為6.67 mm。這表明，其極限荷載是正常使用下荷載的3倍;當(dāng)拱形橡膠減振墊的厚度接近其原始厚度的一半時(shí)，達(dá)到極限狀態(tài)。

3.3 不同參數(shù)時(shí)拱形橡膠減振墊的極限承載力

3.3.1 不同R和L時(shí)拱形橡膠減振墊的極限承載力

為了考察拱形橡膠減振墊的中半球空腔的半徑R、半球間的距離L對(duì)拱形橡膠減振墊極限承載力的影響，在不改變拱形橡膠減振墊的外觀輪廓尺寸及半球數(shù)量的前提下，分別選定了9種不同尺寸的R和L(厚度均為h=14 mm)，計(jì)算其極限承載力，其主要結(jié)果表1所示。

表1 不同R和L的拱形橡膠減振墊的極限承載力和頂面位移Table 1 The ultimate load and top surface displacement of arch decouple rubber bearing in different R and L

從以上結(jié)果可以看出:

(1)在半球半徑為5 mm時(shí)，增加半球之間的間距，極限承載力提高;而在半球半徑為6 mm時(shí)，極限承載力隨半球間距的變化規(guī)律則相反。

(2)在半球半徑為5.5 mm時(shí)，半球之間的距離由2.0 mm增加到3.0 mm時(shí)，極限承載力逐漸減小，與在半球半徑為6 mm時(shí)的變化規(guī)律相同;而半球之間的距離由3.0 mm增加到4.0 mm時(shí)，極限承載力則逐漸增大，與在半球半徑為5.0 mm時(shí)的變化規(guī)律相同。筆者認(rèn)為，其原因是:拱形橡膠減振墊可以視為一組彈簧系統(tǒng)，由含空腔部分的彈簧(空氣彈簧與空腔上的橡膠彈簧串聯(lián))與空腔之間部分的橡膠彈簧并聯(lián)組成。在半球半徑為5.5～6.0 mm時(shí)，半球之間的距離由2.0 mm增加到3.0 mm，由于總空腔體積的減少導(dǎo)致含空腔部分的彈簧剛度下降量大于空腔之間部分橡膠由于體積增大導(dǎo)致的彈簧剛度的增大量，故整個(gè)拱形橡膠減振墊的總體剛度是減少的。而在半球半徑為5.0～5.5 mm時(shí)，半球之間的距離由3.0 mm增加到4.0 mm，由于總空腔體積的減少導(dǎo)致含空腔部分的彈簧剛度下降量小于空腔之間部分橡膠由于體積增大導(dǎo)致的彈簧剛度的增大量，故整個(gè)拱形橡膠減振墊的總體剛度是增加的。

3.3.2h改變時(shí)拱形橡膠減振墊的極限承載力

為了考察拱形橡膠減振墊的厚度對(duì)拱形橡膠減振墊的極限承載力的影響，在不改變拱形橡膠減振墊的長寬尺寸及半球數(shù)量和半徑(取R=5.5 mm)的條件下，分別取3種厚度h=10，14，18 mm，計(jì)算其極限承載力，其主要結(jié)果見表2?？梢?，厚度越大，極限承載力越小，相應(yīng)減振墊頂面位移越大;最大頂面位移約為原始厚度的一半。

表2 不同厚度時(shí)的極限承載力和頂面位移Table 2 The ultimate load and top surface displacement in different thickness

4 結(jié)論

(1)減振橡膠墊在含半球區(qū)域的水平正應(yīng)力沿著水平方向基本上呈波浪型的變化，沿豎向基本上呈線性分布;剪應(yīng)力比正應(yīng)力小一個(gè)數(shù)量級(jí)。

(2)無半球區(qū)域應(yīng)力分布比較均勻，變化很小。

(3)拱形減振橡膠墊中的半球形空腔的半徑R、半球間間距L和厚度h對(duì)極限承載力均有一定的影響。

(4)當(dāng)R=5.5 mm，L=3 mm，h=14 mm 時(shí)，拱形橡膠減振墊的極限承載力為375 kN，與正常使用下的荷載之比為3∶1。

(5)極限承載力狀態(tài)時(shí)，最大頂面位移約為原始厚度的一半。

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The stress analysis of the arch rubber bearing in the action of load

CHEN Yu-ji1，LUO Qi-zhi1，2

(1.Department of Civil Engineering and Architecture，F(xiàn)oshan Science and Technology University，F(xiàn)oshan 528000，China;2.School of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China)

Mooney－Rivlin constants of rubber materials were determined by the test.The space finite element model of the arch decouple rubber bearing was established.Taking material nonlinearity and geometry nonlinearity as well as the action of the air pressure in semisphere empty rooms into account，the stress distribution and ultimate load of the arch decouple rubber bearing with semisphere empty rooms were analyzed with the finite element method.It is shown from the calculation result that in the common use state，the normal stresses in the area with semisphere empty rooms change mainly at wavy rule along horizontal direction and linearly along vertical direction;the shear stress is an order of magnitude lower than the normal stress;the distribution of stresses in the area without semisphere empty rooms are much average and the stresses change very little.The semisphere radiusR，spaceLbetween semispheres and thicknesshof the arch decouple rubber bearing have some influence on the ultimate load.WhenR=5.5 mm，L=3 mm，h=14 mm，the ultimate load of each arch rubber bearing is 375 kN，which is three time of the load in the common use state.The thickness of the arch decouple rubber bearing in ultimate state is approximately half of the original thickness.

the decouple rubber bearing;super elastic materials;stress;top surface displacement;ultimate load

O344

A

1672－7029(2011)06－0023－06

2011－05－12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50978058);廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(S2011010005037)

陳玉驥(1962－)，男，海南文昌人，教授，博士，從事土木工程結(jié)構(gòu)分析和彈塑性力學(xué)及其應(yīng)用研究