基于泛函的制冷壓縮機通用渦旋型線幾何理論研究

張賢明 陳國強 王立存，2 牟 瑛 陳 彬

1．重慶工商大學廢油資源化技術(shù)與裝備教育部工程研究中心，重慶，400067 2．西安交通大學流體機械及壓縮機國家工程研究中心，西安，710049

0 引言

渦旋壓縮機是基于容積變化來實現(xiàn)對氣體壓縮的流體機械，它具有結(jié)構(gòu)簡單緊湊、高效節(jié)能、微震低噪聲以及可靠性高等一系列的優(yōu)點，使得渦旋壓縮機在制冷和空調(diào)領(lǐng)域的應用有著飛速的發(fā)展，并且有在更大范圍應用的趨勢。渦旋壓縮機的核心技術(shù)是動靜渦旋盤的渦旋型線形狀設計［1］。目前渦旋壓縮機型線一般是利用圓的漸開線以及其修正曲線。它們的幾何性質(zhì)較簡單，在加工工藝過程上較為方便。然而，包括圓的漸開線在內(nèi)的傳統(tǒng)單一型線，其幾何特性和數(shù)學模型存在一定局限性?；谝陨暇壒?，本文提出基于泛函的通用渦旋型線理論，即根據(jù)平面曲線弧微分固有方程理論［2－3］和 Tayl or級數(shù)思想，任意函數(shù)曲線的數(shù)學表達式都可以將其展開為切向角參數(shù)φ的級數(shù)的弧函數(shù)形式。它包含了所有單一型線的優(yōu)點，可在不同場合運用優(yōu)化的思想得到綜合各目標函數(shù)最佳的型線方程，本文就通用渦旋型線幾何理論進行了研究推導。

1 渦旋型線向量形式分析

1．1 節(jié)線方程

文獻［4-6］已經(jīng)證明控制方程Rg＝d Rs／dφ是對于任意曲線耦合的控制方程。它是渦旋型線耦合的必要條件，而非充分條件。如圖1所示P向量的位置方程為

其中，Rs與Rg垂直且Rg＝d Rs／dφ。由此得到其節(jié)線方程亦即得到任意一條型線方程：

圖1 曲線方程沿其切向和法向的分解

由節(jié)線方程得到有厚度的內(nèi)外渦旋型線：

式中，t為渦旋型線的厚度。

動渦盤型線P′是通過靜渦盤型線P沿旋轉(zhuǎn)180°角，再在θ方向平移Ror得到。

1．2 曲率及曲率半徑

根據(jù)節(jié)線方程可得曲率以及曲率半徑［7］：

同理有

同理有Po、Pi的曲率半徑為

當曲率半徑的倒數(shù)大于零，即ρ′＞0，則可形成渦旋型線。

1．3 直角坐標下的坐標表示

直角坐標下的坐標表示如下：

式中，t為厚度，它是關(guān)于φ的函數(shù)；θ為公轉(zhuǎn)角度；Ror為動靜渦盤的公轉(zhuǎn)半徑。

1．4 型線線長

型線線長為

2 渦旋型線泛函表征分析

2．1 基于泛函理論的渦旋型線

渦旋型線是由幾何共扼型線構(gòu)成的，根據(jù)平面曲線弧微分固有方程理論［4-5］和Taylor級數(shù)思想，任意函數(shù)曲線的數(shù)學表達式都可以將其展開為切向角參數(shù)φ的級數(shù)的弧函數(shù)形式；反之，只要曲率半徑ρ（φ）是關(guān)于切向角參數(shù)φ的遞增函數(shù)，均可通過切向角參數(shù)φ的級數(shù)的弧函數(shù)形式來表征任意共扼函數(shù)曲線。同時，三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等均可用冪級數(shù)函數(shù)來表達［8-9］。根據(jù)現(xiàn)有渦旋型線的級數(shù)表達形式的共有特性構(gòu)成的共扼曲線可表達為函數(shù)類的級數(shù)形式［10］：

式中，c0，c1，…，cn均為渦旋型線的系數(shù)；s（φ）渦旋型線方程的弧度函數(shù)。

與上述渦旋型線的向量表示類似，基于渦旋型線的幾何性質(zhì)，其曲率半徑、線長分別為

結(jié)合向量形式的渦旋型線可得

2．2 t與R or之間的關(guān)系

當任意一對共軛點接觸時，兩渦盤的中心距離為一常量，圓周公轉(zhuǎn)平動半徑為Ror，如圖2所示，即將兩個渦旋盤中心重合放置在一起，任意一對共軛點在垂直于相應表面的方向上相距為Ror。此時，t與Ror之間的關(guān)系為

圖2 t與R or之間關(guān)系圖

2．3 行程容積A p

對通用渦旋型線集成型線渦旋壓縮機而言，其壓縮比和體積利用系數(shù)是非常重要的性能指標，它們對提高壓縮性能和對整個空壓系統(tǒng)工作性能的影響關(guān)系較大。所以行程容積的計算是至關(guān)重要的。在實際中，動靜渦盤是有厚度的，我們設厚度為t。通過節(jié)線方程平移的原則沿節(jié)線法向平移t／2距離得到型線動靜渦盤型線方程。于是可求出動靜渦盤內(nèi)外型線圍成的區(qū)域面積（圖3）［10-12］。

圖3 動靜渦盤形成動態(tài)壓縮腔

月牙形動態(tài)壓縮腔面積（圖4）為

圖4 靜渦盤與動渦盤所圍面積域

由此可得

3 通用渦旋型線舉例

當k＝3，公轉(zhuǎn)半徑Ror＝2 mm，大盤半徑R＝40 mm的情況下研究其渦旋型線的幾何特性。

3．1 型線方程及線長

型線線長為

3．2 直角坐標系下表征

由幾何特性知：

則有其渦旋型線直角坐標表征為

渦旋型線形狀如圖5所示。

圖5 渦旋型線形狀

3．3 行程容積與壓縮比及渦旋盤的利用率

通過MATLAB編程計算可得此渦旋型線行程容積與壓縮比。

4 結(jié)論

（1）針對單一渦旋型線受其固定數(shù)學模型固有特性的限制，提出基于泛函的通用渦旋型線形式設計思路?；诜汉耐ㄓ脺u旋型線是所有渦旋型線類型的集合，是渦旋型線設計的新思路。

（2）本文就基于泛函的通用型線形式，從控制方程入手，結(jié)合泰勒級數(shù)思想，在笛卡爾直角坐標系下，討論研究了其曲率半徑、行程容積、型線線長的特性；渦旋型線厚度t變化，公轉(zhuǎn)半徑Ror與型線方程之間的關(guān)系，以及在直角坐標系下渦旋型線的表示。

（3）舉例說明了基于泛函理論的通用渦旋型線幾何特性?；诜汉耐ㄓ脺u旋型線的研究為渦旋壓縮機型線設計拓寬了思路。

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