改進的多目標(biāo)粒子群算法優(yōu)化設(shè)計及應(yīng)用

張?zhí)m勇 劉 勝 于大泳

(哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

1.引 言

在電磁兼容測試中，電磁吸收體的廣泛應(yīng)用促使工程師去開發(fā)有效的優(yōu)化設(shè)計算法。理想情況下，一個最薄最輕帶寬最寬的吸收體是最好的。但是這些特征是互相矛盾的。比如，設(shè)計最高反射衰減的吸收體是可實現(xiàn)的，但是同時具有高厚度或重量。另一方面，薄的和輕的吸收體可能只有較低的反射衰減。

因此，在電波暗室中鋪設(shè)吸收體時，工程師經(jīng)常會遇到很多強迫他們尋找在兩個矛盾目標(biāo)函數(shù)中最合適的折衷解的問題。所以，如果存在一系列的最優(yōu)解而不是一種解，設(shè)計師可以在每種情況下選擇最適合的折衷解。這些優(yōu)化解的集合在最優(yōu)化理論中被稱為帕累托(Pareto)前沿最優(yōu)解[1]。

目前，一些Pareto優(yōu)化方法用來尋找吸收體的Pareto前沿，這些方法通常以遺傳算法為基礎(chǔ)[2]。此外，多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法(MOPSO)也在這個問題中得到應(yīng)用。但是，一些MOPSO算法卻得不到比非支配尋優(yōu)遺傳算法更好地結(jié)果[3]。

應(yīng)用改進的MOPSO算法計算多層電磁吸收體的反射系數(shù)與厚度的關(guān)系，仿真測試結(jié)果證明該方法具有更好地優(yōu)化效果。

2.改進的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法(PSO)是一種模仿鳥群社會行為的智能優(yōu)化算法，已成功地應(yīng)用于許多工程優(yōu)化問題中。PSO可以用于解決非線性、不可微和多峰值的復(fù)雜問題，從而該算法被應(yīng)用到許多領(lǐng)域[4-5]。

PSO算法首先初始化為一組隨機解(隨機粒子)，通過迭代搜尋最優(yōu)解，PSO算法沒有像遺傳算法中用交叉及變異操作，而是通過粒子在解空間追隨最優(yōu)粒子的行為進行搜索。在實際操作過程中，通過目標(biāo)函數(shù)為每個粒子確定一個適應(yīng)值(FitnessValue)，來評價粒子的優(yōu)劣程度。由一個向量來決定粒子的飛行方向和位置。在粒子的飛行過程中，通過粒子本身目前所找到的最優(yōu)解(個體極值)和整個種群目前所找到的最優(yōu)解(全局極值)這兩個極值來不斷的更新自己[6]。

假設(shè)搜索空間為D維空間，并且粒子群的第i個粒子可以由D維空間向量Xi=(xi1，xi2，…，xiD)T表示。粒子的速度由向量Vi=(vi1，vi2，…，viD)T表示。第i個粒子的最佳位置記為Pi=(pi1，pi2，…，piD)T。g為粒子群中最佳粒子的標(biāo)號，即第g個粒子為最佳位置的粒子，并且上標(biāo)表示重復(fù)次數(shù)。在整個域中，粒子群通過式(1)和(2)計算[7]。

(1)

(2)

上述方程代表單目標(biāo)PSO的基本形式。但是在大多數(shù)情況下，可能需要同時優(yōu)化多個函數(shù)，各個目標(biāo)函數(shù)間可能是沖突的，這就產(chǎn)生了多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法。

通常多目標(biāo)優(yōu)化問題不存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時最優(yōu)的惟一的全局最優(yōu)解。但是存在這樣的解：對一個或幾個目標(biāo)函數(shù)不可能進一步優(yōu)化，而對其他目標(biāo)函數(shù)不至于劣化，這樣的解稱為非劣最優(yōu)解或Pareto最優(yōu)解。每個多目標(biāo)優(yōu)化算法的主要目的是找到Pareto最優(yōu)集合。這些最優(yōu)集合將會平衡相互矛盾的目標(biāo)。陳民鈾等提出了一種自適應(yīng)進化粒子群優(yōu)化算法以求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，采用非支配排序策略和動態(tài)加權(quán)法選擇最優(yōu)粒子，但該算法未能解決種群多樣性問題[7]。李娟等利用改進的粒子群算法應(yīng)用于Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)移動的計算中，有效地改進了移動模型，但只是針對單目標(biāo)函數(shù)進行的優(yōu)化[8]。趙志剛等提出了一種基于雙向搜索的多目標(biāo)優(yōu)化粒子群算法，改進了粒子群的狀態(tài)更新機制，但增加了計算時間[9]。

Pareto最優(yōu)的概念是由意大利經(jīng)濟學(xué)家Vilfredo Pareto在他1906年的著作(Manual of Political Economy)中給出[10]。為了理解Pareto最優(yōu)的概念，給出如下定義：

支配：一個位置向量x1支配一個位置向量x2(x1x2)，當(dāng)且僅當(dāng)

(3)

Pareto最優(yōu)：如果不存在一個向量x≠x*∈F支配x*，一個位置向量x*∈F就是Pareto最優(yōu)。

Pareto最優(yōu)集合：所有Pareto最優(yōu)位置向量的集合組成Pareto最優(yōu)集合。

Pareto前沿：與Pareto最優(yōu)集合中位置向量相對應(yīng)的所有的目標(biāo)向量[10-11]。

在所有多目標(biāo)最優(yōu)算法中第一步都是使解與Pareto前沿的距離最小化[11]。所以首先應(yīng)定義這個目標(biāo)適當(dāng)函數(shù)。傳統(tǒng)的定義適當(dāng)函數(shù)的方式是基于聚合方法，即適應(yīng)度函數(shù)是目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)和[12]。然而，這種經(jīng)典的方法對于目標(biāo)的精確聚合非常敏感，并且趨向效率很低[12-16]。在Pareto支配的基礎(chǔ)上提出一種適應(yīng)度分配的新方法，該方法中適應(yīng)度與解的支配秩成比例關(guān)系。該算法流程圖如圖1所示。

圖1 多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法流程圖

算法利用式(4)計算每個粒子的速度，即

(4)

每個立方體內(nèi)的粒子個數(shù)除以任何一個大于1的數(shù)x(通常取10)，所得的值賦予這個超立方體，目的是降低包含更多超立方體的適應(yīng)度，并且可以看作適應(yīng)度共享的一種形式。然后，基于隨機選擇的方法利用這些適當(dāng)值選擇超立方體，從而可以得到相應(yīng)的粒子。一旦超立方體被選定，就可以隨機選定立方體中的一個粒子。

為了進行更好的區(qū)域搜索以及避免收斂于錯誤的Pareto解，提出了一種變異算子。它的作用是降低迭代次數(shù)。它由變異率μ控制。

變異算子為一個隨機算子，滿足局部最優(yōu)解的變異率μ計算公式為

(5)

pg=pg·(1+η)

(6)

由于加入了變異算子，就可以改變粒子的前進方向，從而讓粒子進入搜索空間的其他區(qū)域進行搜索，在其后的搜索過程中，算法就有可能發(fā)現(xiàn)新的個體極值以及全局極值。如此反復(fù)迭代，算法就有可能找到全局最優(yōu)解。

在子群的歷史最優(yōu)粒子位置Pi連續(xù)無變化或變化極小時，若粒子群出現(xiàn)較嚴(yán)重聚集情況，則保留歷史最優(yōu)粒子位置Pi，將粒子中少部分維重新隨機初始化，以此來增強全局搜索能力，克服收斂到局部最優(yōu)點的缺點，同時又不降低收斂速度和搜索精度。在更新數(shù)據(jù)時，μ必須保證自由支配，對相鄰子群內(nèi)所有粒子的所有維，按幾率μ進行重新隨機初始化位置和速度。并且在每個粒子的更新記憶中，如果當(dāng)前位置是統(tǒng)治最佳位置，則取代過往最佳位置(Pbest)，其算法如下：

If LogjamStep>=MaxStep

If SwarmDist

對相鄰子群內(nèi)所有的粒子的所有維，按幾率μ進行重新隨機初始化位置和速度

LogjamStep=0；

Else

按式(1)和式(2)更新粒子位置和速度

End

Else

按式(1)和式(2)更新粒子位置和速度

End

其中，LogjamStep為子群歷史最優(yōu)粒子位置Pi連續(xù)不變化或變化極小的迭代次數(shù)，MaxStep為連續(xù)不變化次數(shù)的閾值；SwarmDist為群內(nèi)所有粒子到歷史最佳位置Pi(t)的歐幾里得空間距離，SwarmDist可采用為平均聚集距離MeanDist或最大聚集距離MaxDist，定義如下：

(7)

(8)

m為相鄰子群離子束，BorderDist為判斷群內(nèi)粒子聚集程度的距離閾值。變異率μ、MaxStep和BorderStep的選擇將對算法的性能產(chǎn)生很大的影響，過大的μ和MaxStep以及過小的MaxStep都會影響算法的收斂速度和搜索精度。

這種算法描述了Pareto前沿的多樣性。但是Pareto前沿邊緣的一些點經(jīng)常找不到。實際工程中可能對這些點更感興趣。比如，在一些應(yīng)用中，只要求高的吸收率，盡管厚度也會增加。為了得到這些Pareto前沿的邊緣點，應(yīng)用算法的改進形式：

在一些迭代中(比如30次迭代之后)，僅僅在重要的目標(biāo)函數(shù)(反射系數(shù))上運行算法優(yōu)化。為了減少計算時間，在這些迭代中應(yīng)用快速單目標(biāo)PSO.

3.電磁吸收體建模

以良導(dǎo)體為底層的多層吸收體如圖2所示。第0層為入射介質(zhì)，第M層為良導(dǎo)體[9]。

層數(shù)在設(shè)計中已經(jīng)確定為5層。材料根據(jù)電磁特性需要從不同頻率的材料庫中選取。材料的介電常數(shù)與磁導(dǎo)率如表1所示[16]。對于每一層，厚度和材料類型必須詳細(xì)給出。因此，對于M層的吸收體，這里有2M維位置向量。

考慮有M層不同材料組成的平面吸收體固定在良導(dǎo)體上，設(shè)計目的是選擇不同材料抑制頻帶寬度B內(nèi)的入射波的反射，并且材料厚度盡量薄。不同層的材料是預(yù)先確定的，在表1中選擇。吸收材料的構(gòu)成參數(shù)隨頻率變化[20]。

圖2 多層吸收體結(jié)構(gòu)

無損絕緣材料(μr=1+j0)#εr010150

有損磁導(dǎo)材料(εr=15+j0)μi(f)=μi(1GHz)fβ;μr(f)=μr(1GHz)fα,μ=μr-jμi#μr(1GHz),αμi(1GHz),β25,0.97410,0.96133,1.00015,0.95747,1.00012,1.000有損絕緣材料(μr=1+j0)εi(f)=εi(1GHz)fβ,εr(f)=εr(1GHz)fα,ε=εr-jεi#εr(1GHz),αεi(1GHz),β55,0.8618,0.56968,0.77810,0.682710,0.7786,0.861松弛型磁性材料μ=μr-jμi,μr=μrmf2mf2+f2m,εr=15+j0#μmfm8350.89350.51030111180.512201.513302.51430215253.5

平面波入射到由M層吸收材料組成的導(dǎo)體板上，在頻率f下都可以求解吸收體的反射系數(shù)R(f)。其中第i層厚度為ti，介電常數(shù)為εi(f)，磁導(dǎo)率為μi(f)(i∈{1，2，…，NL})，在表1中均給出計算公式，則每層的反射系數(shù)為

(9)

式中：

(10)

由于

可得

R(f)=RM(f)

(11)

該計算過程可以通過重復(fù)代入頻帶B內(nèi)的典型頻率得到吸收體的頻率響應(yīng)。

吸收體總厚度為

(12)

設(shè)計的目的是同時使頻帶內(nèi)最高反射系數(shù)R=20log10{max[R(f)]，f∈B}與總厚度t最小。

每層的厚度在0～2 mm區(qū)間內(nèi)，兩個目標(biāo)函數(shù)為

(13)

式中：B為需要的頻帶寬度；R為多層結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)；ti為每層的厚度。由于目標(biāo)函數(shù)中只需知道整個頻段內(nèi)最大的反射系數(shù)，因此，最終的反射系數(shù)與頻率無關(guān)。

設(shè)計目標(biāo)是在整個頻帶中使反射系數(shù)的最大值和吸收層的厚度同時最小。因為兩個目標(biāo)是矛盾的，所以必須尋找這個問題的Pareto最優(yōu)前沿，從而找到兩個目標(biāo)之間的最佳折衷。

4.試驗結(jié)果分析

本節(jié)利用上面提出的算法來設(shè)計不同頻帶范圍的吸收體。

1) 低頻吸收體：0.2 GHz

2) 高頻吸收體：2 GHz

Pareto前沿計算結(jié)果如圖3和圖5所示。假定c1和c2為[1.49，2]內(nèi)的任意數(shù)，ω為[0，1]內(nèi)的任意數(shù)。系數(shù)μ=0.5，檔案數(shù)量=100，群大小=1000。迭代次數(shù)最大為3000。根據(jù)第三節(jié)的分析，每進行30次迭代，在群大小為100和最大迭代次數(shù)為100時運行PSO函數(shù)計算f1函數(shù)(反射系數(shù))。

圖3 利用IMOPSO獲得的0.2～2 GHz帶寬的Pareto前沿

圖5 利用IMOPSO獲得的2～8 GHz帶寬的Pareto前沿

圖3為利用改進多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法計算的Pareto前沿，圖4(看824頁)為進化非支配排序遺傳算法(NSGAII)、非支配排序遺傳算法(NSGA)以及多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法(MOPSO)進行優(yōu)化的Pareto前沿。兩圖對比可以證明提出的方法在Pareto前沿從上到下取得更好的多樣性，即后者的設(shè)計結(jié)果為前者Pareto前沿的子集。

表2 各種算法性能比較

表2給出了通過計算機仿真IMOPSO算法的性能并結(jié)合文獻[7]-[11]的數(shù)據(jù)進行比較。從表中可以看出，IMOPSO所得的非劣解最多，并且收斂速度較快，多樣性性能最高。結(jié)合圖3與圖4可以得出結(jié)論：IMOPSO算法所得的非劣解在近似Pareto最優(yōu)解集中所占的比重最大，并且算法的平均線密度最小，非劣解前端均勻性最好。

5. 結(jié) 論

文章對多層吸收體的兩個矛盾目標(biāo)進行優(yōu)化：厚度和反射系數(shù)。對于多目標(biāo)優(yōu)化問題通常有NSGA，NSGAII，MOPSO等算法來解決這類問題。為了取得更好的解，提出了變異算子以及適應(yīng)度共享對MOPSO進行了改進。數(shù)值計算結(jié)果顯示該算法優(yōu)于其他優(yōu)化策略，并且NSGA，NSGAII和MPSO尋優(yōu)的 Pareto前沿是文章提出的改進MOPSO得到的Pareto最優(yōu)解的子集。這個范圍更寬的Pareto前沿可以幫助工程師選擇更好的最優(yōu)解進行設(shè)計，具有重要的工程應(yīng)用價值。

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