四肢綴條軸壓鋼管混凝土格構(gòu)柱承載能力分段合成法

周旺保，蔣麗忠

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙，410075)

鋼管混凝土構(gòu)件具有承載能力強、塑性和韌性好、施工方便快捷、耐火性好以及造價經(jīng)濟(jì)合理等優(yōu)點，近年來在房屋和橋梁結(jié)構(gòu)中得到廣泛的應(yīng)用。而鋼管混凝土格構(gòu)式柱能以較小直徑的柱肢取得較大的截面抗彎剛度，且柱肢以受軸壓力為主，充分發(fā)揮了鋼管混凝土柱受壓強度大的特性和優(yōu)勢，因此，被大量應(yīng)用于荷載偏心率較大或長細(xì)比較大的結(jié)構(gòu)中，如單層工業(yè)廠房的柱子、設(shè)備構(gòu)架柱、地鐵站臺柱、送變電桿塔、鋼管混凝土拱橋、高層和超高層建筑結(jié)構(gòu)等。目前國內(nèi)外對單肢鋼管混凝土柱的研究非常深入[1-11]，并形成了相應(yīng)的設(shè)計規(guī)程[4-6]，而對于鋼管混凝土格構(gòu)柱的研究并不多，目前在格構(gòu)柱設(shè)計上參照《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范GB 50017—2003》[12]。該規(guī)范將鋼管混凝土格構(gòu)柱比擬成鋼格構(gòu)柱的計算方法，沒有考慮剪切變形的影響，也沒有反映鋼管混凝土柱肢的抗壓強度和抗拉強度有重大差異這一特點。陳寶春等[13-17]對格構(gòu)柱極限承載力進(jìn)行了系列試驗研究并提出了近似計算公式，試驗結(jié)果表明：比擬計算方法精確度較低，計算值與試驗值存在著較大誤差。同時，在軸心壓力作用下，不存在理想的軸壓構(gòu)件，在實際工程中構(gòu)件常常帶有微小的初始缺陷，對格構(gòu)柱力學(xué)性能有影響，因此，對軸壓鋼管混凝土格構(gòu)柱進(jìn)行深入的理論分析，提出較為精確的數(shù)值計算方法非常必要。本文作者在考慮構(gòu)件剪切變形和初始缺陷影響基礎(chǔ)上，提出了四肢綴條鋼管混凝土格構(gòu)柱長柱和短柱軸壓極限承載力分段合成數(shù)值計算方法，同時編制了相應(yīng)的計算程序，并將計算結(jié)果與現(xiàn)有規(guī)程計算方法以及現(xiàn)有的試驗結(jié)果進(jìn)行了比較，從而驗證了本文數(shù)值計算方法的正確性，最后在分析大量數(shù)值計算結(jié)果的基礎(chǔ)上提出了較為精確的鋼管混凝土格構(gòu)柱軸壓極限承載力的計算公式。

1 基本假設(shè)

為簡化分析，可對四肢綴條鋼管混凝土格構(gòu)柱進(jìn)行如下假設(shè)：

(1) 格構(gòu)柱達(dá)到極限承載力前柱肢不發(fā)生局部失穩(wěn)，鋼管和混凝土黏結(jié)良好，兩者之間無相對滑移現(xiàn)象。

(2) 可假設(shè)在加載過程中，鋼管混凝土截面和柱肢截面始終保持平面，鋼管形狀和面積始終保持不變[14]。

(3) 外層鋼管和核心混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為分段多項式。

(4) 綴條與柱肢組成桁架體系，即綴條與柱肢鉸接。

(5) 假設(shè)格構(gòu)柱達(dá)到極限荷載前綴條仍處于彈性階段，即綴條在橫向剪力作用下處于彈性階段[14]。

(6) 柱子破壞時仍然為小撓度，既采用小撓度計算理論。

(7) 假設(shè)初彎曲曲線為撓度為0δ的半波正弦曲線，即

式中：v0為桿件的變形撓度；0δ為桿件中截面初始撓度；l為桿件長度；z為桿件坐標(biāo)。

2 鋼管及核心混凝土的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系

2.1 鋼管的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系

鋼管應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系[1]的表達(dá)式如下。

彈性段：

屈服段：

強化段：

二次塑流段：

式中：σ為鋼管應(yīng)力；ε為應(yīng)變；Ey為鋼材彈性階段的彈性模量；εe1為彈性極限應(yīng)變；fy和fu分別為鋼材的屈服強度和極限強度；取屈服極限應(yīng)變 εe2=10εe1；強化極限應(yīng)變εe3=100εe1；鋼材極限強度fu=1.6fy。

2.2 核心混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

核心混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系參考文獻(xiàn)[3]，其具體的表達(dá)式如下。

受壓區(qū)：

式中：套箍系數(shù)ξ=fyAs/(fckAc)；A = 2 . 0 -k ；B=1.0 - k ； k=0.1ξ0.745；q =k/(0.2+0.1ξ)； β=；A和A分別為sc鋼管和混凝土的截面積；fy為鋼材的屈服強度；fck為混凝土的抗壓強度；εc為普通混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線峰值點對應(yīng)的應(yīng)變；εt和 σt分別為核心混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線第 1段與第 2段交接點的應(yīng)變和應(yīng)力。

受拉區(qū)：

式中：pσ為混凝土峰值拉應(yīng)力；pε為混凝土峰值拉應(yīng)變；cf′為混凝土圓柱體抗壓強度；ε為混凝土應(yīng)變。

3 考慮壓桿初彎曲和剪切變形的截面平衡方程

3.1 附加彎矩引起的壓桿曲率公式推導(dǎo)

以斜綴條同向布置的四肢鋼管混凝土格構(gòu)柱的一半即雙肢格構(gòu)柱為例進(jìn)行分析，四肢格構(gòu)柱的承載力為則雙肢格構(gòu)柱承載力的2倍。受力分析如圖1所示。

結(jié)合假設(shè)(6)及文獻(xiàn)[15]可知：壓桿剪力為Q=P s in θ ≈Pθ ≈Pdv / dz。剪力Q使壓桿產(chǎn)生剪切撓曲v1；附加彎矩使壓桿產(chǎn)生彎曲撓曲 v2。因此，壓桿的變形撓曲為 v1+v2[18]；由假設(shè)(7)可知壓桿初始撓曲為v1，因此，壓桿的總撓曲為v=v0+v1+v2[15](如圖1所示)。由圖1所示的受力分析可知壓桿剪切應(yīng)變?yōu)椋?/p>

圖1 受力分析圖示Fig.1 Analysis of force

式中：γ為壓桿剪切應(yīng)變；P為壓力；θ為截面轉(zhuǎn)角；G為壓桿等效剪切模量；K為考慮剪應(yīng)力沿壓桿橫截面分布不均勻的系數(shù)，對于圓形截面K=1.11，對于矩形截面K=1.12，對于工字形截面K=2；F為壓桿柱肢等效橫截面面積。

壓桿截面彎矩平衡微分方程為：

式中：Ee為考慮緊箍效應(yīng)的鋼管混凝土等效割線模量；I為壓桿的等效慣性矩。

將式(2)和(3)相加得：

比較式(3)和(5)可得附加彎矩引起的壓桿曲率公式為：

式中：α為壓桿斜綴條與平綴條的夾角；E為壓桿斜綴條彈模；Fd為壓桿斜綴條橫截面積。

3.2 壓桿截面平衡方程的推導(dǎo)

同樣以斜綴條同向布置的四肢鋼管混凝土格構(gòu)柱的一半即雙肢格構(gòu)柱為例來進(jìn)行分析，四肢格構(gòu)柱的承載力為雙肢格構(gòu)柱承載力的2倍。對壓桿各柱肢截面進(jìn)行單元劃分后(見圖2)可得：

壓力較大側(cè)柱肢的抗力為：

σi1由εi1確定，εi1由下式確定：

由式(6)得：

式中：mφ為壓桿總曲率；meφ為壓桿附加彎矩產(chǎn)生的彎曲曲率；d為壓桿兩柱肢重心間距離；0δ為壓桿中截面初始撓度；Ai1為壓力較大側(cè)柱肢截面劃分單元面積；yi1為壓力較大側(cè)柱肢截面劃分單元中心到壓桿截面中心的距離；ε0為壓桿截面中心應(yīng)變；εi1為壓力較大側(cè)柱肢截面劃分單元的應(yīng)變；應(yīng)力 σi1由 εi1及第 2節(jié)所介紹的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系確定。

圖2 截面單元劃分及條帶應(yīng)變計算Fig.2 Element and strain calculation of cross-section

對于斜綴條同向布置的壓桿，由式(8)可知：

壓力較小側(cè)柱肢的抗力為：

式中：Ai2為壓力較小側(cè)柱肢截面劃分單元面積；yi2為壓力較小側(cè)柱肢截面劃分單元中心到壓桿截面中心的距離；εi2為壓力較小側(cè)柱肢截面劃分單元的應(yīng)變；應(yīng)力σi2由εi2及第2節(jié)所介紹的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系確定。

由壓桿截面內(nèi)外力平衡得：

σi2由 εi2確定，εi2由下式確定：

壓桿截面抵抗彎矩為：

由壓桿截面內(nèi)外彎矩平衡得：

其他計算過程與斜綴條平行布置的計算過程一樣。對于其他綴條布置形式亦進(jìn)行相似的處理。

4 數(shù)值計算的實現(xiàn)

4.1 數(shù)學(xué)迭代公式

構(gòu)件長度單元劃分如圖 3所示。取迭代公式如下[15]：

式中：vi表示第i微段右端點總撓度；Δx表示微段長度；vi+m在計算過程中以第i+1段的中點總撓度代替。

圖3 構(gòu)件長度單元劃分Fig.3 Length units’division of components

4.2 單肢短柱極限承載力

若有格構(gòu)柱單肢短柱極限承載力試驗值，則以試驗值為準(zhǔn)；若無試驗值，則格構(gòu)柱單肢短柱極限承載力按以下公式[2]進(jìn)行計算：

式中：N0為單肢鋼管混凝土短柱極限承載力；Ac為單肢鋼管混凝土核心混凝土面積；fc為單肢鋼管混凝土核心混凝土強度；ξ為單肢鋼管混凝土套箍系數(shù)。

4.3 有初彎曲的軸壓桿件極限荷載數(shù)值算法的實現(xiàn)

(1) 將壓桿分為若干段(如圖3)所示，各段長度可以不同，并確定各段兩端和中點的坐標(biāo)。

(2) 將各柱肢截面劃分為若干個面積單元(如圖 2所示)，確定各劃分單元的面積Ai和中點坐標(biāo)yi。

(3) 給定軸壓力P。

(4) 假定由P力產(chǎn)生的桿端A點的轉(zhuǎn)角θA即0v′，從桿端A開始向桿端B依次逐段計算。

(5) 假定第1段中點曲率mφ和截面形心處的平均應(yīng)變 ε0。

(6) 按式(10)和(13)計算每段中截面上的柱肢各劃分單元應(yīng)變。

(7) 按式(9)和(12)計算壓桿柱肢每段中截面的合抵抗力。

(8) 校合壓桿每段中截面內(nèi)外軸力平衡條件，即是否滿足式(14)，若不滿足規(guī)定的精度要求，則調(diào)整ε0，重復(fù)步驟(6)～(8)的計算直到滿足要求為止。

(9) 按式(19)計算壓桿每段中點位移。

(10) 按式(16)檢算壓桿每段中截面內(nèi)外力矩平衡條件，若不滿足規(guī)定的精度要求，則調(diào)整mφ，重復(fù)步驟(6)～(10)的計算直到滿足為止。

(11) 按式(17)和(18)計算壓桿每段終點的位移和斜率。

(12) 進(jìn)入下一段的計算，可以用前一段已計算得到的曲率mφ和平均應(yīng)變ε0作為假定值，重復(fù)步驟(6)～(12)的計算，直到最后一段。

(13) 校核桿端B點的邊界條件是否滿足，即v=vB，若不滿足規(guī)定的精度要求，則調(diào)整 θA，重復(fù)步驟(3)～(13)的計算，直到滿足精度要求為止。

(14) 按式(20)判斷單肢是否達(dá)到極限承載能力，如有單肢短柱試驗值，則以試驗值為準(zhǔn)。若單肢達(dá)到極限承載能力則退出循環(huán)，若未達(dá)到則增加荷載 P，重復(fù)步驟(4)～(13)步的計算，便可逐步確定荷載-位移曲線。若步驟(13)不能完成，即出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，說明壓彎桿件已達(dá)到或接近極限承載能力，開始進(jìn)入不穩(wěn)定狀況。由文獻(xiàn)[15]知：剛出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象時的荷載則為極限荷載的近似值。當(dāng)需要計算荷載—位移曲線的下降段時，可在求出極限荷載后，減小荷載 P，調(diào)整θA和mφ，重復(fù)步驟(6)～(13)的計算來取得。

5 長細(xì)比折減系數(shù)計算公式的推導(dǎo)

四肢綴條鋼管混凝土格構(gòu)柱換算長細(xì)比*λ公式可參考文獻(xiàn)[2]，并作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整后，如下式所示：

式中：λ為四肢綴條鋼管混凝土格構(gòu)柱長細(xì)比；A0為格構(gòu)柱各柱肢橫截面換算面積之和；A1為格構(gòu)柱橫截面所截平面內(nèi)各斜綴條毛截面積之和。

將文獻(xiàn)[16]中鋼結(jié)構(gòu)相對長細(xì)比計算公式進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整后，可得到考慮剪切變形及緊箍效應(yīng)的四肢綴條鋼管混凝土格構(gòu)相對長細(xì)比計算公式如下：

考慮鋼材強度及混凝土強度對四肢綴條鋼管混凝土格構(gòu)柱相對長細(xì)比折減系數(shù)的影響，將四肢綴條鋼管混凝土格構(gòu)柱相對長細(xì)比作適當(dāng)調(diào)整后，如下式所示：

[16]中鋼結(jié)構(gòu)相對長細(xì)比折減系數(shù)公式，并將鋼結(jié)構(gòu)的長細(xì)比換成考慮剪切變形及緊箍效應(yīng)的四肢綴條鋼管混凝土格構(gòu)柱相對長細(xì)比后，可得四肢綴條鋼管混凝土格構(gòu)柱相對長細(xì)比折減系數(shù)公式如下：

式中：λ為格構(gòu)柱相對長細(xì)比；α1，α2和α3為待定系數(shù)； φl*為長細(xì)比折減系數(shù)。

將四肢綴條鋼管混凝土格構(gòu)柱壓桿中截面初始撓度考慮成壓桿長度的1/1 000，利用本文數(shù)值計算方法對不同形式軸壓桿件進(jìn)行了大量數(shù)值計算。同時以式(24)作為相對長細(xì)比折減系數(shù)計算公式原型，利用數(shù)值計算結(jié)果對其系數(shù)進(jìn)行擬合后，得出相對長細(xì)比折減系數(shù)半經(jīng)驗半理論公式如下：

將上式化簡后得：

利用式(25)可得軸壓四肢綴條鋼管混凝土格構(gòu)柱的極限承載力為：

6 計算方法及計算公式的驗證

利用上述數(shù)值計算方法對文獻(xiàn)[14]中的 6個綴條同向布置的軸壓四肢鋼管混凝土格構(gòu)柱試件和本文所做的5個綴條反向布置的軸壓四肢綴條鋼管混凝土格構(gòu)柱試件在取壓桿中截面初始撓度為壓桿長度的1/1 000時的極限承載力進(jìn)行計算，并與常用規(guī)程[4]的計算結(jié)果進(jìn)行比較。其中本文所做試件的參數(shù)與構(gòu)造見表1和圖4；數(shù)值計算結(jié)果、規(guī)范計算結(jié)果、公式(26)計算結(jié)果及試驗結(jié)果的比較見表2。

從表 2可以看出：常用規(guī)程[4]的計算結(jié)果與本文數(shù)值計算結(jié)果及試驗結(jié)果均有一定偏差；本文數(shù)值計算結(jié)果與試驗結(jié)果較吻合，偏差平均值為 0.999，方差為0.000 1，驗證了本文數(shù)值計算方法的正確性及穩(wěn)定性；本文中(26)計算結(jié)果與數(shù)值計算結(jié)果及試驗結(jié)果較吻合，其與試驗結(jié)果偏差平均值為0.983，方差為0.000 4，從而驗證了本文計算式(26)的正確性及穩(wěn)定性。

表1 試件參數(shù)Table 1 Parameters of specimens

表2 計算結(jié)果比較Table 2 Comparisons of results

圖4 試件構(gòu)造圖(單位：mm)Fig.4 Configuration of specimens

7 結(jié)論

(1) 當(dāng)取半正弦波初彎曲撓度為構(gòu)件長度的1/1 000時，數(shù)值計算結(jié)果與試驗結(jié)果吻合良好, 偏差平均值為0.999，方差為0.000 1，驗證了本文數(shù)值計算方法的正確性，同時也說明取初始撓度為構(gòu)件長度1/1 000的半正弦波模擬構(gòu)件初始缺陷是合理的。

(2) 本文計算公式與試驗結(jié)果較吻合，偏差平均值為0.983，方差為0.000 4，可用于規(guī)程的修訂參考。

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