隨機(jī)利率下的n年家庭收入保險(xiǎn)

蔡井偉

（江蘇農(nóng)林職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇鎮(zhèn)江 212400）

常規(guī)的年金都是以人的生存為給付條件，按預(yù)先約定金額進(jìn)行一系列給付的壽險(xiǎn)保障問題所采用的利率是確定的利率由于現(xiàn)實(shí)的利率和人的生命都是隨機(jī)的（雙隨機(jī)），所以有必要在隨機(jī)的利率、隨機(jī)的死亡率假設(shè)下來研究年金問題，隨機(jī)利率下年金的研究已經(jīng)越來越成為精算領(lǐng)域的重要課題［1－4］，這些成果都以離散型為研究對(duì)象謝杰華研究了隨機(jī)利率下的連續(xù)型生存年金［5］，但這種年金是以人的生存為給付條件的此處突破以人的生存為給付條件的限制，在雙隨機(jī)模型下研究了n年家庭收入保險(xiǎn)，給出了n年家庭收入保險(xiǎn)現(xiàn)值的期望值，并且在3種特殊的死亡假設(shè)下給出了現(xiàn)值期望值的具體表達(dá)式。

1 隨機(jī)利率下n年家庭收入保險(xiǎn)的現(xiàn)值

n年家庭收入保險(xiǎn)是指當(dāng)被保險(xiǎn)人在n年內(nèi)死亡時(shí)開始提供年金給付，直至第n年的一種特殊年金假設(shè)連續(xù)給付年支付額為1，則n年家庭收入保險(xiǎn)的現(xiàn)值Y為:

2 n年家庭收入保險(xiǎn)現(xiàn)值的期望值

對(duì)利息力累積函數(shù)采用wiener過程建模，即假設(shè):

其中δ是常數(shù)利息力，σ是常數(shù)，σ≥0，Wt是標(biāo)準(zhǔn)的wiener過程，WtN（0，t）

研究n年家庭收入保險(xiǎn)，得到了連續(xù)支付給付額為1的n年家庭收入保險(xiǎn)現(xiàn)值的期望值。

定理1 利息力累積函數(shù)采用wiener過程建模，即設(shè)y（t）=δt+σWt，其中δ為常數(shù)利息力，σ是常數(shù)，σ≥0，那么對(duì)于連續(xù)支付給付額為1的n年家庭收入保險(xiǎn)的現(xiàn)值Y的期望值有表達(dá)式:

證明 由于y（t）獨(dú)立于T（x），因此，有條件概率:

3 特殊死亡假設(shè)下現(xiàn)值期望值的表達(dá)式

在精算學(xué)3種常見的死亡精算假設(shè)下，給出上述定理的具體表達(dá)式:

（2）假設(shè)死亡滿足指數(shù)分布假設(shè)，假定fT（t）=λe－λt，其中t∈［0，∞），λ ＞0，有:

4 結(jié)語

在壽險(xiǎn)業(yè)實(shí)際使用的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)上建立模型，對(duì)其進(jìn)行研究具有很現(xiàn)實(shí)的意義?？蔀閴垭U(xiǎn)精算師對(duì)該業(yè)務(wù)的定價(jià)、責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算等提供理論、技術(shù)上的支持。有了現(xiàn)代計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的計(jì)算功能，計(jì)算特殊死亡假設(shè)下這類年金的現(xiàn)值不成問題。

［1］ BEEKMAN J A，F(xiàn)UELLING C P.Interest and mortality randomness in some annuities［J］.Insurance:Mathematics and Economics，1990（9）:185-196

［2］HE W J，ZHANG Y.Dual random model of increasing annuity［J］.Appl Math J Chinese Univ Ser B，2001，16（4）:430-438

［3］高建偉，邱菀華.隨機(jī)利率下的生存年金模型［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2002（6）:97-100

［4］李長林，陳敏，顧勇.隨機(jī)利率下的生存年金組合精算模型［J］.系統(tǒng)工程，2007（7）:116-118

［5］謝杰華，鄒娓.隨機(jī)利率下的連續(xù)型生存年金［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2007（9）:229-233

［6］東明.隨機(jī)利率下的聯(lián)合壽險(xiǎn)精算模型［J］.系統(tǒng)工程，2006（4）:68-72

［7］李秀芳.壽險(xiǎn)精算實(shí)務(wù)［M］.北京:中國財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社，2006