基于經(jīng)驗加權(quán)方法的無回答問題研究

王克林 ，劉建平

（1.廣東商學院 經(jīng)濟貿(mào)易與統(tǒng)計學院，廣州 510320；2.暨南大學 經(jīng)濟學院，廣州 510632）

0 引言

無回答誤差是非抽樣誤差的一個重要來源。它普遍存在于各種類型的統(tǒng)計調(diào)查中，且能對調(diào)查結(jié)果產(chǎn)生嚴重影響。當無回答誤差比較嚴重時，也就是當某次統(tǒng)計調(diào)查中落入到某一區(qū)域的樣本量很小甚至為零時，對該區(qū)域的估計問題稱為小域估計。小域問題在國內(nèi)外的大型抽樣調(diào)查中都是存在的，是一個世界性的難題。無回答會使總體目標估計量產(chǎn)生偏倚，方差增大。因此，無回答也是國內(nèi)外非抽樣誤差研究中一個長盛不衰的課題。在我國，政府統(tǒng)計往往都采用多階段抽樣調(diào)查的方式。這種抽樣調(diào)查方式中所產(chǎn)生的非抽樣誤差是非常值得關(guān)注和研究的[1]。其中一個方面，這種抽樣調(diào)查在抽樣方案設計時考慮的多數(shù)都是總體或子總體估計的需要，因而統(tǒng)計調(diào)查所獲得的數(shù)據(jù)往往只能滿足較大區(qū)域估計的需要。有時即使某區(qū)域樣本量不小但無回答誤差嚴重時，該區(qū)域的樣本量往往很難保證利用傳統(tǒng)的推斷估計方法達到所要求的可靠性。因而，探索有效解決分層抽樣中由于無回答等原因?qū)е履承訕颖玖科《鵁o法估計的問題是滿足我國政府統(tǒng)計多層次推斷的迫切需要。

對小域估計問題，趙雪慧在其博士論文（2005）[2]中已經(jīng)對國內(nèi)外關(guān)于小域估計的理論進展和實際應用做了全面研究；對于無回答的影響、調(diào)整和降低措施，在一般的抽樣調(diào)查著作中都有介紹。馮士雍等（1997）[3]的研究都比較全面。本文對此不再做詳細介紹和綜述，本文嘗試將多階模型中的空模型和經(jīng)驗加權(quán)方法應用于研究無回答問題。

1 多階模型中的空模型

多階模型分析通常是從空模型，又稱截距模型，或無條件均值模型開始的。 根據(jù) Goldstein（1996），[5]王濟川等（2008）[4]的研究，空模型的基本格式可表示如下：

將式（1）、式（2）和式（3）所示空模型記為模型 1。 式（1）表示微觀層面的變量關(guān)系。其中，yij表示第j組第i個個體的取值水平；β0j和eij分別代表第j組因變量均值和圍繞該均值的個體隨機差異。式（2）表示宏觀層面的變量關(guān)系，總截距γ00代表的是yij的總（平）均值；u0j代表第j組的因變量均值（β0j）與總均值（γ00）之間的差異。 式（3）是式（1）和式（2）的組合，包括了固定效應（γ00）和隨機效應（u0j和 eij）兩部分。該模型的微觀層（水平1）和宏觀層（水平2）公式中均沒有解釋變量。若在式（1）中納入水平1解釋變量并將其系數(shù)設為隨機的，則模型就變?yōu)殡S機系數(shù)回歸模型；若在式（2）中納入水平2解釋變量（即場景變量），模型就變?yōu)橛袟l件約束的回歸。Goldstein(1988)介紹了多階模型的一般形式。由式（2）可見，分層抽樣中第j層研究變量Yij的均值估計值可以表示為：

采用Goldstein（1996）介紹的多階模型估計方法很容易得到式（4）中各層均值的估計值估計多階模型采用的方法是（有約束的）極大似然估計。因此，根據(jù)式（4）得到的各層均值的估計不僅具有小樣本估計的優(yōu)良性質(zhì)，還具有大樣本性質(zhì)，如一致性、漸近正態(tài)性等。

2 經(jīng)驗加權(quán)方法

經(jīng)驗加權(quán)方法是多階模型估計方法的一種。按照經(jīng)驗加權(quán)方法，分層抽樣中第j層均值的參數(shù)估計是利用第j層子樣本和整體樣本數(shù)據(jù)估計出來的最佳加權(quán)平均參數(shù)估計值。有很多學者， 如 Lindley&Smith （1972）[6]、Raudenbush&Bryk（2002）[7]、王濟川等（2008）[4]、趙雪慧（2005）[2]也將其稱為經(jīng)驗貝耶斯方法。本文依其原意，稱其為經(jīng)驗加權(quán)估計方法，且不詳細討論其估計原理，僅就其在無回答估計中的應用進行研究。

在式（1）～（3）所表示的多階模型中，β0j的經(jīng)驗加權(quán)估計值可以表達為和的加權(quán)線性組合：

由式（5）可見，在經(jīng)驗加權(quán)中，起關(guān)鍵作用的是權(quán)重系數(shù)ρj。經(jīng)典文獻中將ρj稱為可靠性，它度量了參數(shù)估計值的可靠性。根據(jù)王濟川等（2008）的研究，在不存在測量誤差的假設下，空模型中β0j估計值的可靠性可以表示為：

其中，nj表示第j層樣本量。式（6）揭示了可靠性ρj是nj的函數(shù)。顯然，ρj的取值范圍在區(qū)間[0，1]之內(nèi)。第j層的權(quán)重ρj越大，說明 β0,j的估計值的可靠性越大，則在的經(jīng)驗加權(quán)估計值中所占比重就越大；否則總均值所占比重就會較大。從式（6）還可以看出，ρj的大小與第j層的樣本容量nj成正比。當?shù)趈層存在無回答時，或者其樣本量nj較小時，由式（6）可見，權(quán)重系數(shù) ρj就比較小，對的估計就會收縮，多階模型的參數(shù)估計值就會被“拉”向用整個樣本計算出的參數(shù)估計值。因此，該方法也被稱為“收縮估計法”。

3 實證研究

上文介紹了兩種解決統(tǒng)計調(diào)查中某些層（組）樣本數(shù)據(jù)稀少的情況：直接利用多階模型中的空模型進行估計的式（4），我們將其稱為多階模型方法（MLM）；利用經(jīng)驗加權(quán)法估計參數(shù)的式（5），將其記為經(jīng)驗加權(quán)方法（EW）。下面運用2007年廣東城鎮(zhèn)住戶調(diào)查資料對這兩種方法進行比較驗證。數(shù)據(jù)來源可參閱王克林等和劉建平（2010）的研究。

由表1可見，不同估計方法的估計結(jié)果差異很大。首先，從整體上看，所有的可靠性估計值（ρj）均高于0.90，說明樣本均值對總體均值的估計是可靠的。其次，從估計效果來看，經(jīng)驗加權(quán)方法（EW）的估計效果要優(yōu)于多階模型（MLM）的估計效果。EW方法估計誤差率的均值為0.16%，遠低于MLM估計的2.00%。MLM估計結(jié)果中誤差率超過5.0%的地區(qū)有五個；而EW估計結(jié)果中誤差率除了14號地區(qū)為1.64%外，其余地區(qū)誤差率均低于1%。另外，EW估計誤差率的方差為0.5443，遠低于MLM估計的3.7978。由此可見，EW估計誤差率不僅低，而且穩(wěn)定。

最后，再從小樣本的估計結(jié)果看，EW對小樣本的估計效果要遠遠優(yōu)于MLM估計。EW估計中，樣本量為50的地區(qū)估計誤差合計為1.51%，遠低于MLM估計的24.46%。MLM估計中誤差率超過5%的五個樣本單元中，有四個來自小樣本；而EW估計中誤差率超過1%的樣本單元僅有一個，也來自小樣本。這說明EM估計方法更適合存在無回答時小樣本層的估計。這里，不妨稍微討論一下為什么EW估計的效果會是最好的。從式（6）可見，對應于的權(quán)數(shù)ρj實際上是與的可靠性成比例的。如果β0j的估計值方差較小，說明β0j圍繞總體均值估計值的波動程度較小，此時β0j的估計就會更多地被“拉向”總均值的估計，即這就是EW方法也被稱為條件收縮估計的原因。因為可靠性ρj的估計值與層樣本量nj呈正相關(guān)。因此，當樣本量較小時，利用整個樣本進行的參數(shù)估計值（總均值的估計）在EW估計中就占有較大比重。也就是說，EW估計在層樣本數(shù)稀少時“借助”了全部樣本的信息而MLM估計僅依靠層內(nèi)稀有數(shù)據(jù)的信息。這就是為什么EM估計方法相對于MLM方法更適合存在無回答時小樣本層的估計的原因。

表1 多階模型（MLM）估計結(jié)果與經(jīng)驗加權(quán)法(EW)估計結(jié)果的比較

[1]王克林,劉建平.調(diào)查員誤差的計量模型與測度方法[J].統(tǒng)計與決策，2009,(10).

[2]趙雪慧.域估計與方法研究[D].北京：中國人民大學,2005.

[3]馮士雍，倪加勛，鄒國華.抽樣調(diào)查理論與方法[M].北京：中國統(tǒng)計出版社,1997.

[4]王濟川等.多層統(tǒng)計分析模型——方法與應用[M].北京：高等教育出版社,2008.

[5]Goldstein.Multilevel Statistics Models[EB/OL].1996.http://www.soziologie.uni-halle.de/langer/multilevel/books/goldstein.pdf.

[6]Lindley,D.V.,Smith,A.EM.Bayes Estimates for the Linear Model[J].Journal of the Royal Statistical Society,Series B,1972，34.

[7]Raudenbush,S.W.，Bryk,A.S.Hierarchical Linear Models:Applications and Data Analysis Methods （2ndEdition）[M].Newbury Park,CA:Sage，2002.