線性代數(shù)教學(xué)中類比啟發(fā)法的研究

李上釗，廖小蓮

（1.常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500；2.湖南人文科技學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖南 婁底 417000）

哲學(xué)是普遍的世界觀和方法論，對認(rèn)識(shí)世界改造世界具有重要的指導(dǎo)意義。哲學(xué)的方法論可以幫助我們研究數(shù)學(xué)，同時(shí)又可以幫助我們發(fā)現(xiàn)學(xué)數(shù)學(xué)、教數(shù)學(xué)的教育觀念和教學(xué)方式。馬克思主義哲學(xué)認(rèn)為，事物是普遍聯(lián)系的，任何事物既有個(gè)性也有共性，個(gè)性在共性中得到統(tǒng)一[1]。這告訴我們，數(shù)學(xué)知識(shí)是相互聯(lián)系的，不同知識(shí)之間有共性，在共性中得到統(tǒng)一。

類比是根據(jù)兩個(gè)或兩類事物的一些相似屬性推測另一些屬性也相同或相似的思維方法。早在兩千多年前，偉大的思想家和教育家孔子主張?jiān)诮虒W(xué)過程中用類比推理方式去把握對象及其聯(lián)系，“能近取譬，可謂仁之方[2]。”即強(qiáng)調(diào)通過以己及人的方法去理解仁.這種類比推理有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極思維，幫助學(xué)生打開想象的翅膀，由此及彼，觸類旁通，去認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)新事物.

在線性代數(shù)的教學(xué)過程中，利用類比法組織教學(xué)，向?qū)W生滲透類比思想，有利于學(xué)生理解知識(shí)產(chǎn)生的過程，提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，深化對概念及規(guī)律的理解，激發(fā)創(chuàng)新思維，勾起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使課堂教學(xué)在師生的和諧互動(dòng)中取得雙方滿意的效果。

一、新舊知識(shí)、相似知識(shí)的類比

采用類比啟發(fā)教學(xué)法，把新舊知識(shí)、相似知識(shí)放在一起或先后講述，讓學(xué)生通過對照比較，覺察其中的聯(lián)系而進(jìn)行類推，得出結(jié)論，這樣可以使學(xué)生舉一反三、觸類旁通，使陌生的知識(shí)變得熟悉，使復(fù)雜理論變得簡單明了。

在講授逆矩陣時(shí)，很多學(xué)生對為什么學(xué)習(xí)逆矩陣不太理解，由于對逆矩陣的意義不明確，影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力.在教學(xué)過程中，利用數(shù)字運(yùn)算類比，數(shù)字有加減乘除四種運(yùn)算，學(xué)生已經(jīng)熟悉了矩陣加、減、乘積的運(yùn)算，但如何來處理矩陣“除”的運(yùn)算？在數(shù)字運(yùn)算中，數(shù)“1”是一個(gè)重要的數(shù)字，具有如下運(yùn)算：.在矩陣的運(yùn)算中啟發(fā)學(xué)生類比聯(lián)想到單位矩陣“E”具有運(yùn)算AE=EA=A，那么矩陣運(yùn)算是否有類似于數(shù)字運(yùn)算中的倒數(shù)呢？如果有這樣的矩陣B，即AB=BA=E，因?yàn)榫仃嚥皇且粋€(gè)數(shù)，故給矩陣B定義一個(gè)特殊的名字——逆矩陣。通過這樣的類比，學(xué)生理解了學(xué)習(xí)逆矩陣的原因，理解了逆矩陣的意義和重要性，也增強(qiáng)了學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，提高了學(xué)習(xí)興趣。

分塊矩陣及其運(yùn)算是初學(xué)者的難點(diǎn)，許多學(xué)生感到抽象和不易接受。如果在講述其運(yùn)算規(guī)則時(shí)，利用普通矩陣的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行對照類比，以此推出分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則，這樣一切都會(huì)顯得自然，變得通俗易懂。學(xué)生已經(jīng)熟知普通矩陣A=(aij)m×s,B=(bij)s×n的乘法運(yùn)算

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)運(yùn)算特點(diǎn)，總結(jié)運(yùn)算規(guī)律：（1）第一個(gè)矩陣（左矩陣）的行元素與第二個(gè)矩陣（右矩陣）的列元素相乘并求和；（2）第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)，乘積才有意義。將此結(jié)論的思想類比應(yīng)用到分塊矩陣就得到其乘法規(guī)則：

這樣可以引導(dǎo)學(xué)生積極思考，真正理解分塊矩陣乘法規(guī)則，牢固地確立了乘法意識(shí)。

采用類比啟發(fā)教學(xué)可以深入淺出地引出理論，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生開動(dòng)腦筋，在類比中掌握知識(shí)，在類比中理解知識(shí)。通過上述類比，就能給學(xué)生創(chuàng)造一種情景。使其在該情景中體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生的全過程，學(xué)生自覺地理解其中的來龍去脈，加深對知識(shí)的理解和把握，熟悉分塊矩陣的運(yùn)算，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)積極性，也更能使學(xué)生產(chǎn)生自信，獲得心理上的滿足，這是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力。

二、采用類比啟發(fā)，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系、培養(yǎng)創(chuàng)新思維

采用類比啟發(fā)教學(xué)，在教師指導(dǎo)下，學(xué)生主動(dòng)面對問題，探索解決問題的方法，獲得情感的體驗(yàn)，并在深化研究中獲得自身的發(fā)展，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力，由此形成科研能力。

當(dāng)代建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)是一種能動(dòng)的建構(gòu)過程。知識(shí)不是通過教師傳授得到的，而是學(xué)習(xí)者在一定的情景，借助他人（包括教師和學(xué)習(xí)伙伴）的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過意義的建構(gòu)方式獲得[3]。

在線性代數(shù)教學(xué)中，運(yùn)用類比的思想設(shè)計(jì)教案，創(chuàng)設(shè)問題情景，讓學(xué)生用自己的經(jīng)驗(yàn)去體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，用類比法主動(dòng)去分析、探索，使學(xué)生頭腦中已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與新知識(shí)相互作用，主動(dòng)參與問題過程，對所面臨的問題要提出各種假設(shè)并努力加以驗(yàn)證，邊實(shí)踐邊探索，從探索中獲得領(lǐng)悟，從而建構(gòu)新的知識(shí)體系。

在學(xué)習(xí)矩陣方程AX=B的解理論體系時(shí)，學(xué)生感到抽象和迷茫。如果引導(dǎo)學(xué)生回顧一般線性方程組可以表示成向量方程Ax=b，根據(jù)學(xué)生已經(jīng)熟悉的線性方程組解的理論體系，包括有解的判定定理、齊次方程解的結(jié)構(gòu)、非齊次方程解的結(jié)構(gòu)和消元法求解線性方程組等一系列理論，以此為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行全方位的類比，引導(dǎo)學(xué)生探索新知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與。在教師一步一步的引導(dǎo)下，讓學(xué)生體驗(yàn)得出矩陣方程有解的判定定理、解的結(jié)構(gòu)等結(jié)論。學(xué)生經(jīng)歷了這一過程，不僅有利于實(shí)現(xiàn)對矩陣方程解法理論的建構(gòu)，而且有利于學(xué)生從此過程中了解到解決問題的方法，獲得科學(xué)的方法和解決問題的情感體驗(yàn)，幫助學(xué)生建構(gòu)矩陣方程AX=B的解理論體系。用類比法完成了矩陣方程解理論的建構(gòu)，這是知識(shí)的再創(chuàng)造過程，使學(xué)生進(jìn)一步理解線性方程組的本質(zhì)，同時(shí)通過類比實(shí)踐，建構(gòu)了新的知識(shí)體系。在一種輕松愉快的氛圍中學(xué)生的知識(shí)得到了延展，思維得到了遷移，創(chuàng)造能力得到了培養(yǎng)。

類比是一種從特殊到特殊的邏輯思維，它跳過其中的過渡中介途徑，選擇了一條極為簡捷的思路，而且常能出奇制勝，是萌發(fā)科學(xué)猜想和假設(shè)、探索和建構(gòu)新知識(shí)的一種重要方法。類比啟發(fā)教學(xué)法改變了原先的“填鴨式”、“滿堂灌”的教學(xué)模式，變成了學(xué)生在教師指導(dǎo)下主動(dòng)探索，積極建構(gòu)和獲取新知識(shí)的教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)。教師的教學(xué)是有效的，學(xué)生的學(xué)習(xí)是主動(dòng)的、富于創(chuàng)造性的，不僅完成了相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而且理解了知識(shí)的意義，體驗(yàn)了知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，鍛煉了思維能力，提高了素質(zhì)。

[1]肖前.馬克思主義哲學(xué)原理[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，1994：151-151.

[2]麥曉疑，徐秀瑛.論語[M].廣州：廣州出版社，2004:56-56.

[3]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬， 譯.上海：上海教育出版社，1995：112-112.