地基動(dòng)剛度對地下管線隨機(jī)地震響應(yīng)的影響

王 岱，屈鐵軍，梁建文

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 北方工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，北京 100041)

大量地震臺(tái)陣記錄的研究證實(shí)，地震動(dòng)在空間和時(shí)間上是隨機(jī)分布和隨機(jī)變化的，為此，不少學(xué)者對地下管線進(jìn)行了隨機(jī)地震響應(yīng)分析[1-5]，文獻(xiàn)[1]采用平面應(yīng)變解求解了管線與土的相互作用，但其僅適用于埋深為無窮大的情形，文獻(xiàn)[2-5]均采用彈性地基梁模擬管線與土的相互作用，不足之處是無法考慮頻率的影響．因此，筆者利用彈性半空間動(dòng)力基本解[6]，求解管線與土的動(dòng)力相互作用，然后采用隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法[7]，研究了地下管線縱向和橫向的地震反應(yīng)，同時(shí)采用半空間靜力基本解求得管與土的靜力相互作用，并進(jìn)行了比較．臺(tái)陣記錄也證實(shí)，地震時(shí)地面上各點(diǎn)的地震動(dòng)是部分相關(guān)的，而地面運(yùn)動(dòng)的這種性質(zhì)對地下管線的影響還不十分清楚，因此，本文選擇較為常用的3種相干模型[8-10]：Q-W-W相干模型、H-V相干模型和 L-Y相干模型，以比較部分相關(guān)性對地下管線的影響．另外，文中采用文獻(xiàn)[11]提出的自功率譜模型和文獻(xiàn)[8]提出的視速度模型．研究結(jié)果表明，隨著埋深的增大，地基動(dòng)剛度對頻率的變化越來越敏感，與靜剛度有明顯的差別；地基靜剛度可近似替代動(dòng)剛度的根本原因是地面位移自功率譜的低頻特性．

1 振動(dòng)方程及求解

設(shè)一長直管線埋于彈性、均勻、各向同性的半無限空間中，埋深為d(指管軸線至地表的距離)且管軸線與半無限空間表面平行，管線與土之間沒有滑移．連續(xù)管線的振動(dòng)必須考慮管線與周圍土介質(zhì)的動(dòng)力相互作用，振動(dòng)方程中反映管線與土動(dòng)力相互作用的量是和，即單位長管線周圍介質(zhì)的縱向、橫向動(dòng)剛度．

動(dòng)剛度的計(jì)算采用如下的方法：假定單位均布簡諧荷載作用在單位長度的管軸線上(計(jì)算縱向動(dòng)剛度時(shí)，荷載方向平行于管軸線；計(jì)算橫向動(dòng)剛度時(shí)，荷載方向垂直于管軸線)，然后利用彈性半空間動(dòng)力基本解，可以得出與荷載位置對應(yīng)的參考點(diǎn)(如圖1所示)處的位移，將所得位移沿荷載分布長度積分，便可得出平均位移，而后再倒數(shù)可得到動(dòng)剛度．

當(dāng)作用荷載為單位均布的靜力荷載時(shí)，單位長管線周圍介質(zhì)的剛度則為實(shí)數(shù)，同理即可得出其靜剛度

圖1 與荷載位置對應(yīng)的參考點(diǎn)Fig.1 Reference point relative to load location

1.1 縱向振動(dòng)

連續(xù)管線縱向振動(dòng)方程為[1]

由于地下管線很長，當(dāng)計(jì)算長度取得足夠長時(shí)，邊界條件對管線中部的影響很小，邊界條件可以任意選取，這里選用圖2所示的邊界條件，即

式中l(wèi)為計(jì)算長度．

圖2 縱向振動(dòng)的邊界Fig.2 Boundaries for axial vibration

采用振型疊加法求解式(1)，管線的總位移可表示為

由式(3)可看出，總位移是用無窮級(jí)數(shù)表示的，但實(shí)際計(jì)算時(shí)，只需取有限項(xiàng)數(shù)便可得到足夠精確的結(jié)果，因此，假定取前 1n+項(xiàng)，則總位移 ua(x,t)及解耦后的廣義坐標(biāo)方程分別用矩陣表示為

式中變量 q上面的符號(hào)“·”表示該變量對時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)．

由式(12)可以看出，需要對連續(xù)軸向地震激勵(lì)進(jìn)行積分，采用數(shù)值積分，當(dāng)積分步長取得足夠小時(shí)便可得到足夠精確的結(jié)果．因此假設(shè)已知等間距xΔ的m個(gè)點(diǎn)處的時(shí)程，則可把式(12)寫成

式中：F為系數(shù)矩陣；vag為m個(gè)已知時(shí)程點(diǎn)組成的縱向地震位移向量．

將式(14)代入式(5)，可得

利用虛擬激勵(lì)法[7]求解．虛擬激勵(lì)法的最大特點(diǎn)之一是將平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分析轉(zhuǎn)化為簡諧振動(dòng)分析，而且只需求出簡諧運(yùn)動(dòng)方程的穩(wěn)態(tài)解．設(shè)地面虛擬加速度激勵(lì)為

式中：變量上面的符號(hào)“～”表示虛擬；L滿足關(guān)系式

式中：Saa為地面加速度互功率譜矩陣；上標(biāo)“*”表示共軛．則地面虛擬位移激勵(lì)為

將式(19)代入式(16)，可得廣義坐標(biāo)的虛擬穩(wěn)態(tài)解為

將式(20)代入式(4)，可得管線縱向虛擬位移

則管線的縱向位移自功率譜為

將縱向位移自功率譜對頻率積分，可得縱向位移方差

應(yīng)變等其他物理量的方差同理可得．響應(yīng)方差可用于極值分析等[7]．

1.2 橫向振動(dòng)

連續(xù)管線橫向振動(dòng)方程為[1]

取圖 3所示的邊界條件．雖然縱向振動(dòng)和橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程和邊界條件均不同，但將縱向振動(dòng)解中的 E A( n πl(wèi))2改為EI( n πl(wèi))4便成橫向振動(dòng)情形．虛擬激勵(lì)法的引入也與前所述相同，在此不再贅述．

圖3 橫向振動(dòng)的邊界Fig.3 Boundaries for lateral vibration

2 算例分析

2.1 地面激勵(lì)

2.1.1 自功率譜模型

國內(nèi)外諸多學(xué)者根據(jù)實(shí)際地震加速度記錄給出了不同的加速度自功率譜模型，其中 Clough和Penzien提出的模型與胡聿賢給出的模型[11]比較常用．本文中選擇后者，其表達(dá)式為

式中：ω為角頻率，rad s；gω為場地土的卓越角頻率，rad s；ξg為場地土的阻尼比；ωc為控制低頻含量的參數(shù)，rad/s；S0為基巖加速度(白噪聲)自譜密度，

2.1.2 Q-W-W相干模型

2.1.3 H-V相干模型

2.1.4 L-Y相干模型

L-Y相干模型表達(dá)式為

式中： β為地面運(yùn)動(dòng)波數(shù)；v為地震地面波視速度．參照文獻(xiàn)[10]，取 α = 0 .125．

2.1.5 視速度模型

視速度模型表達(dá)式為

式中 c1、c2均為視速度參數(shù)．

視速度反映行波效應(yīng)的影響．參照屈鐵軍等[8]的研究結(jié)果，c1和 c2取表1中3組數(shù)據(jù)的平均值．

假定地震持續(xù)時(shí)間為 30,s[1]．由自功率譜模型、相干函數(shù)模型及視速度模型可生成地下管線多點(diǎn)激勵(lì)的地震輸入，即互功率譜矩陣，具體過程可參見文獻(xiàn)[12]．

表1 SMART-1臺(tái)陣視速度參數(shù)Tab.1 Parameters of apparent wave velocity from Tab.1 SMART-1 array

2.2 結(jié)果分析

由于本文的地震輸入是以SMART-1臺(tái)陣記錄為基礎(chǔ)，而 SMART-1臺(tái)陣的場地大致相當(dāng)于我國抗震規(guī)范中的Ⅱ類和Ⅲ類場地[8]，因此，本文中的分析結(jié)果可供Ⅱ、Ⅲ類場地地下管道抗震設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)參考．

介質(zhì)參數(shù)：剪切波速 cs=100 m s ，密度ρs=1.6×103kg m3，泊松比ν=0.25．

管線參數(shù)：外半徑 R = 0 .25 m，壁厚 t = 0 .15R ，彈性模量 Ep= 2 .7× 1 07N m2，密度 ρp= 2 .2× 1 03kg m3．

由于管線的位移主要由剛體位移引起，且管線內(nèi)力是管線抗震設(shè)計(jì)的主要依據(jù)，因此下面僅討論管線中的應(yīng)力．

圖4給出了地面位移自功率譜曲線．圖5為靜剛度隨埋深的變化，圖6為動(dòng)剛度的實(shí)部和虛部隨頻率的變化(無阻尼)．

圖4 地面位移自功率譜Fig.4 Auto-PSD function of ground displacement

圖5 靜剛度隨埋深的變化Fig.5 Variation of static stiffness with buried depth

一般來說，與地面位移自功率譜有效值對應(yīng)的頻率均在低頻區(qū)，地面位移自功率譜可通過關(guān)系Saa(ω) = ω4Sdd(ω)得出，其中，Saa(ω)為地面加速度自功率譜，Sdd(ω)為地面位移自功率譜．

從圖 5可以看出，隨著埋深的增大，靜剛度的大小逐漸趨于穩(wěn)定，也就是說，當(dāng)埋深大于一定值后，靜剛度基本與埋深無關(guān)．

從圖 6可以直觀地看出，隨著埋深的增大，動(dòng)剛度的實(shí)部和虛部對頻率的變化越來越敏感．

圖6 動(dòng)剛度的實(shí)部和虛部隨頻率的變化(無阻尼)Fig.6 Variation of real part and imaginary part of dynamic stiffness with frequency without damp

圖 7給出了管線中點(diǎn)應(yīng)力自功率譜 Sσ．可以看出，應(yīng)力主要來源于低頻激勵(lì)的貢獻(xiàn)，而與相干模型的選擇無關(guān)．與動(dòng)剛度和靜剛度對應(yīng)的應(yīng)力自功率譜曲線幾乎完全重合，其主要原因是與地面位移功率譜有效值對應(yīng)的頻率位于低頻區(qū)．在低頻區(qū)，動(dòng)剛度的實(shí)部隨頻率的變化比較緩慢，與靜剛度非常接近，同時(shí)，動(dòng)剛度的虛部隨頻率的變化也比較緩慢，接近于零．

圖 8給出了管線中點(diǎn)應(yīng)力最大值隨管線埋深的變化．將與各埋深對應(yīng)的應(yīng)力除以與最小埋深對應(yīng)的應(yīng)力，以便直觀地看出應(yīng)力的增幅程度．可以看出，當(dāng)管線埋深到達(dá)一定值后，管中的應(yīng)力基本趨于穩(wěn)定，其根本原因是地面位移自功率譜分布的低頻特性．同時(shí)，還可看出，相干效應(yīng)對結(jié)果也有較大影響．

圖 9給出了管線中點(diǎn)應(yīng)力最大值隨管外半徑的變化．可以看出，當(dāng)采用部分相關(guān)的地震輸入時(shí)，應(yīng)力隨管徑的增大而減小，但應(yīng)力對管徑變化的敏感程度因所選的相干模型的不同而存在較大差異．另外可以發(fā)現(xiàn)，選用 L-Y相干模型得出的結(jié)果與由完全相干得出的結(jié)果比較接近，原因是 L-Y相干模型中視速度的取值比較大，導(dǎo)致由 L-Y相干模型得出的相干值比較接近1．選用Q-W-W相干模型和H-V相干模型得出的結(jié)果比較接近，而且遠(yuǎn)大于選用完全相干得出的結(jié)果．

圖7 管線中點(diǎn)應(yīng)力自功率譜(d＝5 m)Fig.7 Auto-PSD function of stress in the mid-point of pipeline (d＝5 m)

圖8 管線中點(diǎn)應(yīng)力最大值隨埋深的變化Fig.8 Variation of maximum stress in the mid-point of pipeline with buried depth

圖9 管線中點(diǎn)應(yīng)力最大值隨管外半徑的變化Fig.9 Variation of maximum stress in the mid-point of pipeline with pipe outer radius

3 結(jié) 論

(1) 隨著埋深的增大，地基動(dòng)剛度對頻率的變化越來越敏感，與靜剛度有明顯差別．

(2) 地基靜剛度可近似替代動(dòng)剛度，其根本原因是地面位移自功率譜的低頻特性，即地震輸入的地面位移自功率譜的有效值均在低頻區(qū)，而高頻部分幾乎為零．

本文結(jié)果可供Ⅱ、Ⅲ類場地地下管道抗震設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)參考．

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