湍流標量輸運過程中的Schmidt數(shù)識別

朱 嵩,劉國華,程偉平,黃躍飛

(1.廣東省電力設計研究院,廣東 廣州 510663;2.浙江大學建筑工程學院,浙江 杭州 310058;3.清華大學水沙科學與水利水電工程國家重點實驗室,北京 100084)

在湍流傳質和傳熱過程中,濃度擴散系數(shù)和溫度擴散系數(shù)不僅和流體的屬性有關,而且和流動狀態(tài)密切相關。由于湍流在時間上的非定常性和空間上的各向異性,因而濃度或溫度的擴散系數(shù)是時間和空間的函數(shù),所以相對于物性參數(shù),擴散系數(shù)的取值相對較為困難。在湍流傳質研究過程中,一般引入Schmidt數(shù)來表達湍流的擴散能力。Schmidt數(shù)是一個無量綱參數(shù),定義為動量擴散和質量擴散之比。

由于湍流Schmidt數(shù)和具體的湍流場有較大關系,因而很多學者進行了大量的調查、試驗和數(shù)學模型研究。Tominaga等[1]調查總結了射流、濁流、邊界層羽流彌散和建筑物附近的流動中的湍流Schmidt數(shù)的經(jīng)驗取值,指出湍流Schmidt數(shù)對預測結果具有較大的影響,應該根據(jù)不同類型的流動具體研究。He等[2]采用RANS方法對在橫流中的射流的湍流Schmidt數(shù)對射流混合的影響進行了研究,認為此情況下湍流Schmidt數(shù)取0.2能較好地符合試驗數(shù)據(jù)。張曉航等[3]對無剪切湍流混合層中被動標量的擴散進行了數(shù)值模擬,結合煙粒子擴散風洞試驗研究了不同Schmidt數(shù)對被動標量擴散的影響。Xu[4]研究了高Schmidt數(shù)弱擴散條件下湍流中被動標量的混合,計算中Schmidt數(shù)達到了1024,泰勒尺度雷諾數(shù)約為8。Dudukovi?等[5]研究了湍流Schmidt數(shù)對降液膜的質量傳輸率的影響,指出湍流雷諾數(shù)通過影響湍流譜來影響湍流Schmidt數(shù),其主要原因來源于高頻和低頻湍流脈動對傳熱傳質輸運的不同影響。隨著雷諾數(shù)的增大,不僅湍流強度增大,而且湍流譜從低頻向高頻移動,結果使得雷諾數(shù)對質量輸運的影響不如對動量輸運的影響大,最終使得湍流的Schmidt數(shù)隨著湍流雷諾數(shù)的增大而增大。Flesch等[6]通過大范圍氣體示蹤試驗獲得了大氣邊界層的Schmidt數(shù)(約為0.6)。Ojo等[7]采用水動力觀測數(shù)據(jù)研究了湍流擴散過程及擴散系數(shù)的確定方法。在湍流Schmidt數(shù)識別方面的研究較少,Guo等[8]采用遺傳算法估計了橫流中的射流的變系數(shù)Schmidt數(shù),取得了較好的結果。

筆者將從概率統(tǒng)計的角度,采用Metropolis-Hastings算法對湍流標量輸運的Schmidt數(shù)進行識別,其中湍流和濃度耦合場的求解采用有限單元法,湍流場求解采用Boussinesq渦黏性假設。采用Metropolis-Hastings算法識別流動輸運參數(shù)參見文獻[9-12]。

1 數(shù)學模型

湍流計算采用穩(wěn)態(tài)標準 k-ε模型,濃度場計算采用非穩(wěn)態(tài)對流擴散方程,控制方程如下:

式中:ui為流速;xi,xj,xk分別為i,j,k方向的空間坐標;ρ為密度;p為壓強;η為流體動力黏度;ηt為湍流運動黏度;k為湍動能;ε為耗散率;c為濃度;νt為湍流運動黏度;Dt為湍流擴散系數(shù);Sc為湍流Schmidt數(shù);c1,c2,σk,σε為k-ε模型系數(shù)。

2 參數(shù)識別算法

Metropoils-Hastings算法是由Metropolis提出并由Hastings發(fā)展完善起來的一種概率抽樣算法,屬于馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法的一種。它是一種隨機優(yōu)化算法,通過隨機游走的方式在Metropolis-Hastings準則下獲得未知參數(shù)的樣本,在對后驗樣本統(tǒng)計的基礎上獲得未知參數(shù)的估計值。結合湍流Schmidt數(shù)識別,提出參數(shù)識別算法如下:

第1步:構造正態(tài)分布似然函數(shù)作為湍流Schmidt數(shù)隨機優(yōu)化的目標函數(shù)。

第2步:在先驗范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生湍流Schmidt數(shù)的初始值。

第3步:采用有限單元法和標準 k-ε模型計算當前湍流Schmidt數(shù)Scnow的似然函數(shù)值Lnow。

第4步:對當前湍流Schmidt數(shù)進行一個無偏擾動,獲得湍流Schmidt數(shù)新的測試值Sctest,計算在測試值時的似然函數(shù)值Ltest。

第5步:如果 L test大于 L now,那么用 Sc test取代Scnow。

第6步:如果 Ltest小于Lnow,那么產(chǎn)生1個[0,1]區(qū)間的均勻分布的隨機數(shù)m,如果 m小于Ltest和Lnow的比值,那么亦用Sctest取代 Scnow。

第7步:返回第 4步,反復迭代直到預定的次數(shù)。

第8步:對所有隨機產(chǎn)生的樣本進行統(tǒng)計以獲得湍流Schmidt數(shù)的估計值。

3 算例研究

3.1 流動正問題的參數(shù)設置

取一個擴散器內(nèi)的二維湍流擴散為算例。如圖1所示,具有一定濃度的流體從左邊界流入、右邊界流出,邊界條件設置見表1。進口流速為0.1m/s,進口濃度為1 mol/m3,瞬態(tài)計算總時間為20 s,時間步長為 0.1 s,運動黏度為 10-6m2/s。共剖分了2307個二次拉格朗日型三角形單元。

圖1 二維湍流擴散流動計算域(單位:m)

表1 邊界條件設置

以下取不同的湍流Schmidt數(shù)進行非穩(wěn)態(tài)的濃度場計算。計算發(fā)現(xiàn),不同湍流Schmidt數(shù)對標量場的時空分布有較大的影響。在相同的射流場內(nèi),當湍流Schmidt數(shù)較小時,射流濃度分散性較大,對流作用較弱;當湍流Schmidt數(shù)較大時,射流濃度較為集中,擴散作用較弱。由此可以看出標量場對湍流Schmidt數(shù)的敏感性較強,因而湍流Schmidt數(shù)具備良好的可識別性條件。

3.2 參數(shù)識別

圖2 湍流Schmidt數(shù)的迭代過程

圖3 湍流Schmidt數(shù)的后驗概率直方圖

從圖2中可以看出,馬爾科夫鏈隨機游走經(jīng)歷過一個初始化階段(迭代大約100次)后進入了統(tǒng)計收斂域,表明計算參數(shù)的選取是合理的。為了驗證計算結果的正確性,對迭代100次以后的400個抽樣樣本進行統(tǒng)計,樣本均值為0.40498,均值的估計誤差為1.245%,標準差為0.02199,均值95%置信區(qū)間為[0.40282,0.40715]。由此可以看出基于Metropolis-Hastings算法和有限單元法的參數(shù)識別方法識別精度較高。此外,從圖3中可以看出,湍流Schmidt數(shù)后驗分布具有較好的正態(tài)分布性質,其可識別性和識別精度都較高。

4 結 語

為了對湍流輸運過程中的關鍵控制參數(shù)進行識別,提出基于Metropolis-Hastings算法和有限單元法的參數(shù)識別方法,湍流計算采用標準k-ε模型,標量場計算采用非穩(wěn)態(tài)對流擴散方程。算例計算結果表明本文提出的算法能對湍流Schmidt數(shù)進行可靠的識別。

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