SKM模型在天然河道的適用性研究

楊 華,廖華勝,李連俠,蔣勝銀,蘆妍婷

(1.四川大學(xué)水力學(xué)與山區(qū)河流開發(fā)保護(hù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都 610065;2.廣東省水利水電勘測設(shè)計(jì)研究院,廣東 廣州 510610)

天然河道大多都是由灘地和主槽組成的復(fù)式河槽,其斷面形狀多不規(guī)則。灘、槽之間的動量交換[1]和邊界阻力分布不均對水流的影響[2]使得天然河道的水流特性問題極為復(fù)雜。1991年,Shiono和Knight從黏性流體力學(xué)基本方程(N-S方程)出發(fā),在恒定均勻湍流的前提下將方程簡化進(jìn)而提出SKM模型(Smono&Knightmodel)[3],其控制方程為

式中:ρ為水的密度;g為重力加速度;H為水深;S0為河道縱向底坡;f為摩阻系數(shù);Ud為深度平均流速;s為河道邊坡坡度;y為河道斷面橫向坐標(biāo);λ為無量綱渦黏性系數(shù);Γ為二次流影響因子。

SKM模型提出以后,諸多學(xué)者利用其對形狀規(guī)則的河槽進(jìn)行試驗(yàn)和計(jì)算驗(yàn)證。王樹東[4]對特定的復(fù)式斷面進(jìn)行水槽試驗(yàn),分別針對不同水深進(jìn)行流速分布的測量,證明SKM模型能夠較為準(zhǔn)確地估算明渠河槽橫斷面的流速分布。Liao等[5-6]對水位流量關(guān)系的理論解與單一矩形斷面、對稱兩級復(fù)式斷面和非對稱兩級復(fù)式斷面水槽試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證,證明SKM模型能夠較精確地求得河槽水位流量關(guān)系,并且能分別給出主、灘槽的流量結(jié)果,可以考慮二次流的影響。

在實(shí)際工程求解析解的過程中,由于河道斷面并不都是規(guī)則的單一或多級復(fù)式河槽,其橫斷面邊界凹凸不平,在這種情況下,按斷面形狀規(guī)則的河槽來預(yù)測的過流能力與實(shí)際過流能力產(chǎn)生的誤差較大,并且難以得到較精確的水位 流量關(guān)系,而數(shù)值方法在處理任意斷面形狀的問題時具有不可代替的優(yōu)勢。本文采用數(shù)值方法將SKM模型拓展到任意斷面形狀的水流模擬。

1 SKM模型數(shù)值模擬

1.1 數(shù)值模擬方法

對任意斷面形狀的河槽的水流模擬采用有限體積法(FVM)。FVM的基本思路是將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積,并使每個網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個控制體積;將待解的微分方程對每一個控制體積積分,得出一組離散方程,其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點(diǎn)上的因變量的數(shù)值;求解該線性方程組,即可得到節(jié)點(diǎn)上的值。為了求出控制體積的積分,必須假定未知數(shù)在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律,即假設(shè)未知數(shù)的分段分布剖面。

FVM的優(yōu)點(diǎn)在于基本思路容易理解,并能給出直接的物理解釋。該方法得出的離散方程要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都能得到滿足,對整個計(jì)算區(qū)域,自然也能得到滿足。

SKM模型的控制方程(1)可以寫成:

可見,方程 (2)為一具有源項(xiàng)(S)、衰減項(xiàng)(衰減系數(shù)為E)和擴(kuò)散項(xiàng)(擴(kuò)散系數(shù)為D)的一般通用方程,其因變量為其FVM離散過程如下:

將方程(2)沿 y方向積分,得

將計(jì)算區(qū)域劃分為有限個如圖1所示的有限控制體,方程(3)對每個控制體均成立,可得出

圖1 有限控制體示意圖

式中上劃線表示在控制體內(nèi)取平均值,可以簡單近似為該控制體節(jié)點(diǎn)P處的值。將以上各近似表達(dá)式代入方程(4),得到以下離散方程:

式中:Dw,De為控制體界面上的值,在此采用其周圍節(jié)點(diǎn)的調(diào)和平均值。

方程(11)就是利用有限體積法得到的SKM模型控制方程的離散方程,是一線性方程組,結(jié)合河道橫斷面兩邊邊界條件,可采用解三對角矩陣的TDMA方法或 SOR迭代方法(本文采用該方法)求解。

1.2 參數(shù)確定

目前,可用于模擬天然河道流場的數(shù)值模型很多,如各種紊流模型等,這些模型的一大瓶頸便是水流特性參數(shù)如糙率的選取和確定。在紊流模型中,糙率只能通過修改壁函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行間接選取。SKM模型所涉及的3個參數(shù)為直接參數(shù),物理意義更直觀,且參數(shù)的選取目前已有較多的經(jīng)驗(yàn)公式[7-8]。

摩阻系數(shù)f采用式(12)進(jìn)行計(jì)算[9]:

式中:n為糙率;R為濕周。

對于參數(shù) λ和Γ,采用蘆妍婷等[10]根據(jù)大量水槽試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化后得到的經(jīng)驗(yàn)公式:

式中:i為河槽等效寬深比。

對任意斷面形狀的天然河槽,將橫斷面近似為等效矩形,求得近似寬深比后根據(jù)式(13)(14)求得參數(shù)λ,Γ后再進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

1.3 計(jì)算過程

本文進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算的程序(FVM&SKM)采用Compaq Visual Fortran 6.6編寫。計(jì)算過程中,任意斷面形狀采用多線段進(jìn)行近似,每一線段可以給定不同的參數(shù)值,有利于模擬具有主、灘槽的流動。計(jì)算直接對任意斷面進(jìn)行離散求解,相比紊流模型等其他模型簡單實(shí)用。

得到深度平均流速Ud后,采用式(15)求解壁面阻力τ:

2 應(yīng)用實(shí)例

為了驗(yàn)證SKM模型數(shù)值方法在天然河道應(yīng)用中的可靠性與準(zhǔn)確性,采用自編FVM&SKM程序?qū)﹂L江朱沱水文站(以下簡稱朱沱站)和英國特倫特河上Yoxall水文站(以下簡稱Yoxall站)的2個斷面的深度平均流速及水位-流量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算,并與實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。

2.1 長江朱沱站計(jì)算結(jié)果及分析

朱沱站是國家重點(diǎn)水文站,位于長江上游,上距瀘州60km,下距江津60km。作為三峽水庫入庫站,朱沱站是長江上游與三峽水庫的水沙主要控制站之一。朱沱站測量斷面形狀如圖2所示,朱沱站測量斷面水位--流量關(guān)系對比見圖3。水位分別為202.11m,207.16m時朱沱站測量斷面深度平均流速側(cè)向(y方向)計(jì)算與實(shí)測結(jié)果對比見圖4,圖4還給出了壁面阻力計(jì)算值。

圖2 朱沱站測量斷面示意圖

圖3 朱沱站測量斷面水位-流量關(guān)系對比

圖4 朱沱站測量斷面深度平均流速與壁面阻力

從圖3可以看出,由數(shù)值模擬方法計(jì)算得到的朱沱站測量斷面水位-流量關(guān)系與實(shí)測值吻合良好,表明數(shù)值模擬方法能較為精確地預(yù)測橫斷面水位流量關(guān)系,說明將該方法應(yīng)用到實(shí)際工程的水位-流量關(guān)系預(yù)測中是可行的。由圖4可知深度平均流速分布數(shù)值解與實(shí)測結(jié)果變化趨勢相一致,在主河槽y=500m附近實(shí)測流速大于數(shù)值解,但總體吻合情況良好。壁面阻力τ在y=350～550m之間最大,與河床斷面在該段沖刷最嚴(yán)重的實(shí)際情況相吻合,亦說明數(shù)值計(jì)算的深度平均流速結(jié)果是合理的。

2.2 特倫特河Yoxall站計(jì)算結(jié)果及分析

特倫特河[8]為英國英格蘭中部河流,發(fā)源于斯塔福德郡,北流匯入亨伯河,全長274km,流域面積為1萬km2。以位于英國特倫特河的Yoxall測量斷面為例,該斷面河槽是具有灘地的復(fù)式斷面,灘地在河槽的左岸,斷面形狀如圖5所示。圖6為該河槽斷面水位--流量關(guān)系對比。圖7為水深分別是2.36 m,2.54 m時深度平均流速計(jì)算與實(shí)測結(jié)果對比,圖7還給出了壁面阻力計(jì)算值。

圖5 特倫特河測量斷面示意圖

圖6 特倫特河測量斷面水位-流量關(guān)系對比

圖7 Yoxall站斷面深度平均流速與壁面阻力

由圖6可以看出,數(shù)值計(jì)算的水位-流量關(guān)系結(jié)果與實(shí)測情況吻合良好。如圖7(a)所示,當(dāng)水深為2.36 m時,因河槽凹凸起伏,使測量斷面處存在3個不連續(xù)的過水?dāng)嗝?其中在灘地處的2個過水?dāng)嗝婷娣e幾乎為零,計(jì)算更為復(fù)雜,如果采用解析解進(jìn)行求解,難度可想而知。圖7表明:在y=40～50m之間,由于河槽邊壁形狀較為復(fù)雜,無法精確模擬水流結(jié)構(gòu),但斷面深度平均流速數(shù)值解與實(shí)測結(jié)果變化趨勢一致,其他區(qū)域兩者吻合情況良好;而壁面阻力τ在y=50m附近急劇增加,在y=70m附近快速減小,變化趨勢與河床的沖刷情況一致。

3 結(jié) 語

實(shí)例應(yīng)用結(jié)果表明,無論是水位-流量關(guān)系還是斷面深度平均流速分布,SKM模型的FVM數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)吻合良好,表明該方法在天然河道的適用性很強(qiáng),計(jì)算結(jié)果可靠。該方法拓寬了SKM模型的應(yīng)用范圍,在河道過流能力、水位、洪澇范圍等的預(yù)測方面具有實(shí)際應(yīng)用價值。雖然目前已有很多較成熟的數(shù)值模擬手段,包括LES等精細(xì)模型可以用于模擬天然河道流場,但是計(jì)算成本隨精度及分辨率的增加呈指數(shù)型增長,而SKM模型簡單,計(jì)算運(yùn)用方便高效。

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