高階控制導(dǎo)彈線性二次型微分對策制導(dǎo)律①

花文華，陳興林

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

0 引言

近年來，微分對策理論在飛行器姿態(tài)控制[1]、威脅規(guī)避[2]、火力分配[3]，目標(biāo)攔截[4]等方面得到了較為廣泛的研究。在目標(biāo)攔截中，由于目標(biāo)的獨立性，其機(jī)動策略一般是無法預(yù)測的。因此，將攔截情形定義為最優(yōu)控制問題并不合適[5]，而對于微分對策雙邊優(yōu)化問題而言，雙方都是獨立控制的，一方要求性能指標(biāo)的最大化，而另一方要求性能指標(biāo)的最小化。

文獻(xiàn)[6]假設(shè)目標(biāo)是靜止的，給出了一種具有終端碰撞角度約束且適用于任意階控制導(dǎo)彈的最優(yōu)制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[7]考慮任意階導(dǎo)彈機(jī)動動態(tài)，給出了一種滿足終端角度約束的微分對策制導(dǎo)律，但在具體推導(dǎo)過程中，為得到解析解，假設(shè)攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)具有理想機(jī)動動態(tài)，使得最終結(jié)果并不適用于任意階控制的攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)的情形。本文基于微分對策雙邊優(yōu)化理論，給出了一種可適用于具有任意階控制的攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)的一般形式微分對策制導(dǎo)律。首先，對所要研究的問題進(jìn)行描述和建模，給出任意階控制的攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)的狀態(tài)方程;然后，進(jìn)行一般形式微分對策制導(dǎo)律的推導(dǎo)，給出解析解;針對一類具有一階正當(dāng)傳遞函數(shù)的攔截導(dǎo)彈，進(jìn)行制導(dǎo)律的驗證和仿真，給出該情形下的制導(dǎo)增益和對策空間分析。

1 問題描述及建模

制導(dǎo)末端的彈目運動關(guān)系如圖1所示，X軸沿初始視線方向，下標(biāo)P和E分別對應(yīng)攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)的相關(guān)狀態(tài)，y表示攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)相對于初始視線方向的位移?；谙率黾僭O(shè)進(jìn)行問題分析:

(1)攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)可近似為具有線性動態(tài)特性的質(zhì)點，并可沿初始視線方向進(jìn)行線性化;

(2)攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)速度大小不變，導(dǎo)彈機(jī)動能力大于目標(biāo)。

圖1 平面彈目運動關(guān)系Fig.1 Planar engagement geometry

基于圖1和假設(shè)(1)，攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)相對運動關(guān)系可表示為

n階導(dǎo)彈機(jī)動動態(tài)為

式中aP為導(dǎo)彈加速度;pP為其余的(n－1)個狀態(tài)變量;a1和b1為標(biāo)量;a21，aT12和b2為(n－1)×1的向量;a22為(n－1)×(n－1)的矩陣。

參考n階導(dǎo)彈機(jī)動動態(tài)定義，m階目標(biāo)機(jī)動動態(tài)可表示為

則系統(tǒng)狀態(tài)方程可表示為

基于假設(shè)(1)和(2)，攔截導(dǎo)彈飛行時間為

式中r0為彈目初始距離;vc為接近速度，約為vP+vE。

待飛時間可表示為

2 微分對策制導(dǎo)律推導(dǎo)

定義線性二次型性能指標(biāo)

其中，G，R，Q為加權(quán)設(shè)計參數(shù)，R＞0，Q＞0，G=diag(g00 0 0 0 0)，g0→∞表示零脫靶量攔截情形，脫靶量趨于零，g0＜∞時脫靶量為非零的有限值;Q反映了目標(biāo)相對于導(dǎo)彈的機(jī)動能力，當(dāng)假設(shè)目標(biāo)具有較強的機(jī)動能力時，Q取較小值，Q→∞則表示對非機(jī)動目標(biāo)攔截的情形，由假設(shè)(2)，Q/R＞1。

結(jié)合式(7)，構(gòu)造哈密頓(Hamiltonian)函數(shù):

式中 p為待定的協(xié)態(tài)向量。

由協(xié)態(tài)方程可得

其中，Φ為相應(yīng)于系統(tǒng)狀態(tài)式(4)的轉(zhuǎn)移矩陣，結(jié)合橫截條件，則有

由上述條件，可得攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)的最優(yōu)控制為

將式(12)和式(13)代入式(4)，并從t～tf進(jìn)行積分，可得

定義 D=[1 0 0 0 0 0]，結(jié)合式(4)并應(yīng)用拉氏反變換，可得

代入式(14)，可得

對于這一雙邊優(yōu)化問題，z(t)表示零效脫靶量，對應(yīng)于攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)由給定的時間t起不施加任何控制，以該瞬時參數(shù)飛行，至命中所產(chǎn)生的脫靶量。

將式(18)代入式(12)和式(13)，則一般形式最優(yōu)制導(dǎo)策略可表示為

式中NP和NE分別為攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)制導(dǎo)增益。

式中 sat()為飽和函數(shù)。

3 算例

3.1 制導(dǎo)律推導(dǎo)

攔截導(dǎo)彈機(jī)動動態(tài)采用分子分母同為一階(biproper)的傳遞函數(shù)表示:

數(shù)字出版產(chǎn)業(yè)目前仍然存在著一些問題，例如，數(shù)字出版物的模式單一、盈利相對較少，品牌建設(shè)力量不足，數(shù)字出版物的侵權(quán)問題等。

式中d表示直接控制部分，d＞0時系統(tǒng)是最小相位，d＜0時系統(tǒng)是非最小相位;τP為導(dǎo)彈機(jī)動時間常數(shù)。

假設(shè)目標(biāo)具有一階機(jī)動動態(tài)特性:

式中 τE為目標(biāo)機(jī)動時間常數(shù)。

為便于分析問題，定義如下無量綱變量:

目標(biāo)與攔截導(dǎo)彈機(jī)動時間常數(shù)比:

tg0對τP的歸一化:

基于高階控制導(dǎo)彈和目標(biāo)一般形式最優(yōu)制導(dǎo)策略式(21)和式(22)，該類型攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)的最優(yōu)制導(dǎo)策略可表示為

3.2 制導(dǎo)增益分析

當(dāng)tg0→0時:

對于零脫靶量攔截情形，g0→∞，NP1與攔截導(dǎo)彈自動駕駛儀直接控制部分成反比。由于目標(biāo)具有一階機(jī)動動態(tài)，目標(biāo)制導(dǎo)增益NE1趨于零。攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)對應(yīng)于不同g0值的制導(dǎo)增益變化曲線如圖2所示。

圖2 制導(dǎo)增益 NP1、NE1(d=0.1，R=1，Q=2，ε =1)Fig.2 Guidance gains NP1 and NE1(d=0.1，R=1，Q=2，ε =1)

3.3 對策空間分析

將式(36)兩邊微分，并代入式(31)和(32)可得

假設(shè)初始條件已知，求解z1(t)，可表示為

當(dāng)g0＜∞時，z1(t)是一個與初始條件相關(guān)的非零值:

較大的g0值有助于目標(biāo)的攔截，但也會增加導(dǎo)彈在攔截末端的機(jī)動性能要求，如圖2(a)所示。隨著g0的不斷增大，導(dǎo)彈制導(dǎo)末端增益隨之增大。g0體現(xiàn)了導(dǎo)彈機(jī)動性能與目標(biāo)攔截要求間的設(shè)計折中。

則存在共軛點。對于微分對策雙方優(yōu)化問題，共軛點不存在的充分條件是存在鞍點解，而鞍點解當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)方程(4)所對應(yīng)的Riccati微分方程的解P(t)是有限時才存在[8]:

其中，P(tf)=G。而當(dāng)且僅當(dāng)制導(dǎo)增益有界時，P(t)才能保持是有限的[9]。進(jìn)一步由式(47)，可得

由式(39)知，φ(d，η)≥0，f(d，η)是單調(diào)增加的，式(49)分母在處取得最大值，而當(dāng)ε不斷增加時，項ε3增加，項 φ(0，τ)dτ減少，因此Q存在最大值。圖3為ε∈[0，1]范圍內(nèi)存在共軛時的Q最大值變化曲線，此時目標(biāo)具有較大的機(jī)動動態(tài)優(yōu)勢。如圖3所示，當(dāng)近似ε＞0.69時，系統(tǒng)不存在共軛點，且當(dāng)坐標(biāo)點(ε，Q)位于曲線上方時，同樣也不存在共軛點，如(ε =0.5，Q=2)。

圖3 Q最大值隨 ε變化曲線(g0→∞，d=0.1，R=1)Fig.3 Relationship between themaximum Q and ε(g0→∞，d=0.1，R=1)

圖4(a)為不存在共軛點時的攔截對策空間，對策值收斂到零。圖4(b)為存在偶共軛點[10]時的攔截對策空間，該共軛點為對應(yīng)Q取得最大值時的點，此時式(34)對應(yīng)的Riccati微分方程的解在該共軛點兩邊是半正定的，屬于鞍點解的特殊情況。圖4(c)為存在一般共軛點時的攔截對策空間。

可見，只有當(dāng)近似θ＜0.68時，才存在最優(yōu)彈道使得對策值收斂到零。因此，在目標(biāo)和攔截導(dǎo)彈機(jī)動時間常數(shù)比一定的情況下，為實現(xiàn)導(dǎo)彈在整個待飛時間段內(nèi)不出現(xiàn)共軛點，導(dǎo)彈應(yīng)具有足夠的機(jī)動性能，即Q/R足夠大。為了保證系統(tǒng)不出現(xiàn)共軛點，除了選取適當(dāng)?shù)膮?shù)外，結(jié)合式(44)，還可通過取有限的g0值實現(xiàn)，即有限脫靶量情形。圖5為g0取有限值時，對于不同初始條件的脫靶量曲線，為保證鞍點解的存在，系統(tǒng)性能被折中。

圖4 攔截對策空間Fig.4 Intercept game space

4 結(jié)束語

基于微分對策雙邊優(yōu)化理論，給出了一種可適用于具有任意階控制的攔截導(dǎo)彈和目標(biāo)的一般形式線性二次型微分對策制導(dǎo)律。針對一類具有一階正當(dāng)傳遞函數(shù)的攔截導(dǎo)彈進(jìn)行了制導(dǎo)律的推導(dǎo)，給出了解析表達(dá)式，并對其制導(dǎo)增益和對策空間進(jìn)行了分析，在目標(biāo)和攔截導(dǎo)彈機(jī)動時間常數(shù)比一定時，為實現(xiàn)對目標(biāo)的零脫靶量攔截，攔截導(dǎo)彈應(yīng)保證具有足夠的機(jī)動優(yōu)勢。同時，仿真結(jié)果也驗證了該一般形式微分對策制導(dǎo)律。由于只針對彈目相對質(zhì)心運動模型進(jìn)行了研究，未就攔截導(dǎo)彈姿態(tài)控制回路對制導(dǎo)回路的影響加以考慮，且該部分也屬于集成制導(dǎo)與控制的研究范疇，將作為后續(xù)基于微分對策制導(dǎo)理論研究的重點。

圖5 有限脫靶量對策空間(g0=2 000，d=0.1，R=1，ε =0.5，Q=1.5)Fig.5 Finitem iss distance game space

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