數(shù)學(xué)問題意識的模糊多屬性評價研究

束永祥，盧 蕊

（1.鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校 基礎(chǔ)部，江蘇 丹陽 212300；2.鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校 學(xué)報編輯部，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

0 引言

1965年，美國著名控制論專家查德（L.A.Zadeh）教授撰寫了一篇用數(shù)學(xué)方法研究模糊現(xiàn)象的論文“Fuzzy Sets”（《模糊集合》），首次提出了模糊集合的概念，開創(chuàng)了模糊數(shù)學(xué)研究的新領(lǐng)域［1-4］。

模糊數(shù)學(xué)作為繼經(jīng)典數(shù)學(xué)、統(tǒng)計數(shù)學(xué)之后發(fā)展起來的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，涉及純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、社會科學(xué)等許多方面，其發(fā)展主要在應(yīng)用方面，已經(jīng)遍及理、工、農(nóng)、醫(yī)及社會科學(xué)的各個領(lǐng)域。模糊數(shù)學(xué)的出現(xiàn)，把數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從確定性領(lǐng)域擴大到了模糊領(lǐng)域。采用模糊集合描述具有模糊性的概念，使用模糊數(shù)學(xué)的方法，如模糊聚類分析、模糊模式識別、模糊綜合評價、模糊信息處理、模糊控制、模糊預(yù)測與決策等，描述人們的判斷、推理、評價、決策和控制過程成為可能［1-7］。

在實際研究中，常常會遇到評價目標與評價指標均帶有一定模糊性的情況，此時，運用模糊評價技術(shù)進行綜合分析，效果會更加理想。對于學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識、問題提出能力的研究，也可以借鑒這些方法，本文主要采用模糊多屬性評價方法進行研究。

1 模糊多屬性評價方法

1.1 基本原理

模糊評價是在模糊環(huán)境下或者模糊系統(tǒng)中，對評價論域中的對象進行排序，或按某些模糊限制條件從評價域中選擇出最優(yōu)對象的數(shù)學(xué)理論和方法。

1.2 基本步驟

1.2.1 給定模糊集合

給定一個評價對象集A=｛A1，A2，…，Am｝和相應(yīng)的評價指標集B=｛B1，B2，…，Bn｝，并給定每個評價指標相對重要程度的權(quán)重集合w=｛w1，w2，…，wn｝。

1.2.2 構(gòu)造模糊指標值矩陣

把集合B，集合w中的屬性指標表示成三角形模糊數(shù)，進而得到模糊指標值矩陣［1-4］。

1）將各指標數(shù)據(jù)和權(quán)重向量用三角形模糊數(shù)表達。記F（R）為R上的全體模糊集，設(shè)G∈F（R），如果G的隸屬度函數(shù)μG表示為

式（1）中，a≤g≤b，則稱G為三角形模糊數(shù)，記為G=（a，g，b）。

定性指標可以利用三角形模糊數(shù)比例法轉(zhuǎn)化為定量指標，具體的轉(zhuǎn)化形式見表1。精確的定量指標值c可以表示為：c=（c，c，c）。權(quán)重向量w=（w1，w2，…，wn）的三角形模糊數(shù)表示與之類似。

表1 定性指標向定量指標轉(zhuǎn)化的三角形模糊數(shù)比例法

2）構(gòu)造模糊指標值矩陣。所有的評價屬性指標全部化為三角形模糊數(shù)后得到的矩陣F=（fij）m×n稱為模糊指標值矩陣。

3）模糊指標矩陣F歸一化處理。因為不同的評價指標有不同的量綱，為了使數(shù)據(jù)之間具有可比性，需要對數(shù)據(jù)進行標準化處理。一般地，針對各個評價指標，m個評價對象在F中都分別有m個模糊指標值，記為xi=（di，ei，fi）（i=1，2，…，m）。根據(jù)xi所屬指標類型不同，分別使用不同的化歸公式進行數(shù)據(jù)的歸一化處理：其中，式（2）為成本型指標的歸一化公式，式（3）為收益型指標的歸一化公式。

設(shè)歸一化后的模糊指標值矩陣為C=（）m×n［1-4］。

1.2.3 構(gòu)造模糊評價矩陣

將模糊指標值矩陣F和模糊權(quán)重向量w利用廣義模糊合成算子實施變換后得到模糊評價矩陣C=（rij）m×n，其中rij=wΘ，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n。

1.2.4 模糊選優(yōu)排序

采用折衷型模糊多屬性評價方法，先虛擬模糊正理想和模糊負理想，以加權(quán)歐氏距離為測度工具，計算各評價對象與模糊正理想的距離Di+及其與模糊負理想之間Di-，再根據(jù)各評價對象從屬于模糊正理想的隸屬度，比較各評價對象的相對優(yōu)劣［1-4］。

1）確定模糊正理想M+與模糊負理想M-。模糊評價矩陣C中各列的極大值組成M+，極小值組成M-。

2）確定Di+和Di-。

3）確定評價對象屬于模糊正理想的隸屬度。評價對象i從屬于模糊正理想的隸屬度為

4）選優(yōu)排序。按隸屬度μi從大到小進行排序，根據(jù)排序結(jié)果可以判斷評價對象的相對優(yōu)劣。

2 數(shù)學(xué)問題意識模糊評價

數(shù)學(xué)問題意識是指人們在進行數(shù)學(xué)的認識活動中，對既有知識經(jīng)驗和一些難以解決的實際或理論問題所產(chǎn)生的懷疑、困惑、焦慮、探究等心理狀態(tài)，并在其驅(qū)動下，不斷提出問題、解決問題［8-9］。

2.1 選取研究對象

選取某高校五年一貫制師范專業(yè)一年級（A1）、二年級（A2）、三年級（A3）的學(xué)生為研究對象，進行研究。

2.2 確定影響因子

主要選取文獻［8］提出的影響數(shù)學(xué)問題意識、問題提出的因素：直覺思維與概括（x1）、合理的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)或圖式（x2）、反省思維（x3）、批判性思維（x4）、數(shù)學(xué)符號意識（x5）、轉(zhuǎn)化意識（x6）、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維結(jié)構(gòu)的簡縮（x7）、空間想象力（x8）、一般化與特殊化（x9）、數(shù)學(xué)信念（x10），共計10個，作為主要影響因子。

2.3 數(shù)據(jù)統(tǒng)計

三個年級的學(xué)生在10個指標上的均分如表2所示。10個指標依專家討論的重要程度取其權(quán)重，權(quán)重向量為w=（0.15，0.15，0.10，0.15，0.05，0.10，0.10，0.05，0.10，0.05）。

表2 三個年級的學(xué)生10個影響因子分值

2.4 數(shù)據(jù)的三角形模糊數(shù)表示

將上述屬性指標以及權(quán)重數(shù)據(jù)統(tǒng)一量化為三角形模糊數(shù)后，得到模糊指標矩陣F=（fij）m×n和wT。

2.5 模糊指標矩陣F歸一化處理

本研究中3個評價對象的各評價指標量綱一致，歸一化后的模糊指標矩陣C=（）m×n=F。

2.6 構(gòu)造模糊決策矩陣

將歸一化后的模糊指標矩陣C進行加權(quán)處理，得到模糊評價矩陣D=（rij）m×n。

2.7 確定模糊正理想M+與模糊負理想M－

模糊正理想與模糊負理想分別為：

M+=（0.9030，0.8610，0.5660，0.7890，0.3275，0.6060，0.7850，0.2810，0.7320，0.3860），

M-=（0.8205，0.7920，0.5190，0.7230，0.3160，0.5390，0.7560，0.2725，0.7100，0.3840）。

根據(jù)公式（4）和公式（5），計算3個評價對象與模糊正理想、模糊負理想之間的距離，結(jié)果見表3。

表3 3個評價對象與模糊正理想、模糊負理想之間的距離

2.8 模糊優(yōu)選決策

設(shè)3個評價對象i以隸屬度μi從屬于模糊正理想，按照公式（6）計算3個評價對象的隸屬度，結(jié)果分別為：0.8326，0.2902，0.2817。

［1］曹炳元.應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)與系統(tǒng)［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.

［2］劉林.應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)［M］.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2008.

［3］王培莊，韓立巖.應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)［M］.北京：首都經(jīng)濟貿(mào)易大學(xué)出版社，1989.

［4］李柏年.模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用［J］.合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2007.

［5］程乾生.屬性集和屬性綜合評價系統(tǒng)［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，1997（9）：1-8，42.

［6］程乾生.質(zhì)量評價的屬性數(shù)學(xué)模型和模糊數(shù)學(xué)模型［J］.數(shù)理統(tǒng)計與管理，1997，16（6）：18-23.

［7］李光，吳祈宗，齊延信.基于權(quán)重穩(wěn)定區(qū)間的綜合評價結(jié)論一致性研究［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2010，40（6）：54-60.

［8］盧蕊，束永祥，王麗君.數(shù)學(xué)問題意識、問題提出能力的調(diào)查研究［J］.鎮(zhèn)江高專學(xué)報，2007，20（1）：96-99.

［9］束永祥，盧蕊.數(shù)學(xué)問題意識、問題提出的涵義及因素分析［J］.鎮(zhèn)江高專學(xué)報，2005，18（4）：105-108.