一種基于CAHVOR模型的導(dǎo)航相機(jī)標(biāo)定方法

劉淑娟，陳建新，王 立，李春艷

(1.北京控制工程研究所，北京 100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190)

在月球車的各項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)研究中，立體視覺(jué)系統(tǒng)占據(jù)了重要的位置，它的主要功能是對(duì)月球表面復(fù)雜環(huán)境進(jìn)行有效的感知和信息融合，對(duì)視覺(jué)系統(tǒng)的精確標(biāo)定是立體視覺(jué)算法的基礎(chǔ)，也是月球車實(shí)現(xiàn)障礙檢測(cè)和路徑規(guī)劃的前提［1］.

相機(jī)標(biāo)定工作所要解決的問(wèn)題是標(biāo)定物體的三維空間坐標(biāo)和二維圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系.標(biāo)定過(guò)程中通常要利用數(shù)學(xué)方法對(duì)從數(shù)字圖像中獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到相機(jī)的內(nèi)、外參數(shù).現(xiàn)在普遍使用的標(biāo)定方法有:直接線性變換法(DLT)［2］、TSAI兩步標(biāo)定法［3］和多用于攝影測(cè)量方面的基于共線條件的標(biāo)定方法［4］，以上這些標(biāo)定方法均是從標(biāo)量方程求解的角度標(biāo)定相機(jī)內(nèi)外參數(shù).本文介紹CAHVOR標(biāo)定方法，它是從矢量的角度標(biāo)定相機(jī)，標(biāo)定方法簡(jiǎn)單，參數(shù)求解快速且精確度能達(dá)到導(dǎo)航相機(jī)標(biāo)定要求.

1 基于CAHVOR模型標(biāo)定方法

CAHVOR模型描述的是物體坐標(biāo)系到圖像坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，其中每個(gè)字母都代表模型的一個(gè)矢量:實(shí)際的成像原理圖如圖1所示.

圖1 CAHVOR原理圖

先介紹圖中涉及到的4個(gè)坐標(biāo)系，世界坐標(biāo)系(Ow－XwYwZw)，一經(jīng)選擇就確定的坐標(biāo)系;相機(jī)坐標(biāo)系(Oc－XcYcZc)，以相機(jī)的聚焦中心為原點(diǎn)Oc(光學(xué)中心)，以相機(jī)光軸為Zc軸建立的坐標(biāo)系;成像平面坐標(biāo)系(O－xy)，以透鏡光軸和成像平面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，x軸和y軸分別平行于相機(jī)坐標(biāo)系的x軸和y軸，有效焦距f就是光學(xué)中心到成像平面的距離;圖像像素坐標(biāo)系(O－ij)，分別表示是該像素在數(shù)組中的列數(shù)和行數(shù).

如圖1，在 CAHVOR 模型［6］中單位矢量 H'，V'定義在沿圖像x和－y方向，圖像的光學(xué)中心在(hc，vc)，對(duì)每個(gè)矢量定義如下:

C:相機(jī)中心矢量，表示從地面坐標(biāo)系到相機(jī)透視中心的矢量;

A:垂直于圖像平面方向單位矢量，且其與H'，V'正交;

H:描述水平信息，H=hsH'+hcA;

V:描述垂直信息，V=vsV'+vcA;

O:光軸單位矢量，當(dāng)有透鏡畸變時(shí)，圖像平面與光軸不垂直，這時(shí)用矢量O來(lái)描述光軸方向，當(dāng)垂直時(shí)A與O重合;

R:在物體空間坐標(biāo)系下描述徑向畸變系數(shù).

一般來(lái)說(shuō)相機(jī)鏡頭是非理想光學(xué)系統(tǒng)，存在加工誤差和裝配誤差，物點(diǎn)在相機(jī)像面上實(shí)際所成的像與理想成像之間存在光學(xué)畸變誤差.主要的畸變類型有3種［2］:徑向畸變、偏心畸變和薄透鏡畸變.在這幾種畸變中，徑向畸變是畸變的主要分量［6］，所以這里主要考慮徑向畸變帶來(lái)的影響.

圖2 CAHVOR中畸變示意圖

考慮畸變，加入矢量O，R后，原投影模型的改變?nèi)鐖D2所示，原空間點(diǎn)由P移動(dòng)到P'，對(duì)于成像模型的影響分析如下:

(P－C)沿光軸的分量是ε=(P－C)·O，則從光軸指向該點(diǎn)矢量表示為λ=(P－C)－εO，引入?yún)?shù)，比例系數(shù)相應(yīng)為μ=ρ0+ρ1τ+ ρ2τ2，這樣徑向畸變可以描述為 ΔP=μλ，這樣在考慮畸變時(shí)的實(shí)際空間坐標(biāo)系下點(diǎn)坐標(biāo)為

則相應(yīng)的CAHVOR模型變?yōu)椋?］

在上述CAHVOR模型中，每個(gè)字母代表一個(gè)矢量或是鏡頭畸變的3個(gè)系數(shù)組，總共有18個(gè)參數(shù)，但由于A，O是單位矢量，所以實(shí)際只需求解16個(gè)參數(shù).

2 CAHVOR模型參數(shù)的確定

CAHVOR模型參數(shù)的確定是通過(guò)求解成像方程，利用嚴(yán)格最小二乘法來(lái)計(jì)算參數(shù)［7］.最小二乘法是將測(cè)量點(diǎn)和估計(jì)點(diǎn)之間差值的平方作為平差對(duì)象.

2.1 初值選取

將圖像平面上靠近相機(jī)光軸的點(diǎn)記錄為Pa，參數(shù)初值的具體選取如下:

C0由相機(jī)的空間位置決定;

其中，U是沿圖像平面垂直向上的矢量，Sh，Sv表示圖像平面的列數(shù)和行數(shù)，在像平面上x(chóng)軸沿水平向右的方向，y軸沿豎直向下的方向.

初值權(quán)矩陣如下:

其中，

其中，σd表示向量 A 和 O 的協(xié)方差，σ1，σ2，σ3表示畸變的初始值權(quán)系數(shù)，可以通過(guò)改變對(duì)角線上的值大小來(lái)實(shí)現(xiàn)初始值權(quán)值的變化.

2.2 算法說(shuō)明

求解參數(shù)的循環(huán)過(guò)程可分為以下幾步［3］:

1)按要求給定要估計(jì)的參數(shù)初值，即設(shè)定C，A，H，V，O，R 的初值 C0，A0，H0，V0，O0，R0作為循環(huán)的初始值.

2)由于A，O是單位陣，為了精確結(jié)果考慮約束矩陣K，對(duì)于A和O的約束條件將其對(duì)參數(shù)估計(jì)值g=(C A H V O R)求偏導(dǎo)，得到2×18的矩陣K為

4)估計(jì)值和測(cè)量值之間的差值

由式(3)～(5)計(jì)算系數(shù)矩陣N和等式中的常數(shù)矩陣t，得到步長(zhǎng)q，即估計(jì)值逼近真值的距離:

在N，t中第一項(xiàng)的加入在數(shù)值上對(duì)最后的結(jié)果是沒(méi)有影響的，只是避免矩陣接近奇異.

5)由于帶有約束值，所以單獨(dú)計(jì)算約束項(xiàng)代入最后的結(jié)果中:

6)將D加在原來(lái)的估計(jì)值上得到新的估計(jì)值g=g0+D.

當(dāng)D小于條件值時(shí)，即估計(jì)值于真值的距離可以忽略不計(jì)的時(shí)候，循環(huán)結(jié)束，此時(shí)得到的估計(jì)值就是要求的參數(shù)值.

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 仿真結(jié)果

通過(guò)選取兩個(gè)不在同一平面的空間標(biāo)定板面來(lái)獲得空間點(diǎn)的三維數(shù)據(jù)，試選取987個(gè)空間點(diǎn)在空間坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)，通過(guò)如圖的相機(jī)坐標(biāo)系和空間坐標(biāo)系的關(guān)系，由CAHVOR投影模型可以得到每個(gè)空間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖像點(diǎn)坐標(biāo).

圖3 空間坐標(biāo)關(guān)系

利用這兩組數(shù)據(jù)，由第2節(jié)中介紹的最小二乘法算法過(guò)程求解模型獲得估計(jì)的參數(shù)，比較參數(shù)真值和估計(jì)結(jié)果.

表1 參數(shù)C真值與估計(jì)值比較

表2 參數(shù)A真值與估計(jì)值比較

表3 參數(shù)H真值與估計(jì)值比較

表4 參數(shù)V真值與估計(jì)值比較

表5 參數(shù)O真值與估計(jì)值比較

表6 參數(shù)R真值與估計(jì)值比較

從以上這6個(gè)相機(jī)參數(shù)之間的比較結(jié)果可以看出，估計(jì)的參數(shù)結(jié)果和真值之間的差距很小，C，A，H，V這4個(gè)參數(shù)幾乎能達(dá)到0.01%的精度，而畸變項(xiàng)O，R中占主導(dǎo)地位的系數(shù)值的精度也很高.

為了更好地看出算法的精確度，本文還將估計(jì)參數(shù)值和空間點(diǎn)坐標(biāo)代入公式(5)來(lái)反求解出像點(diǎn)，比較估計(jì)結(jié)果圖像點(diǎn)和實(shí)際圖像點(diǎn)數(shù)值之間的差值，得到的差值均在10－3(pixel)左右，平均值為(0.7199，0.7220)×10－3(pixel)，這個(gè)差值是很小的，由此可見(jiàn)對(duì)于畸變的估計(jì)是可以接受的，綜合以上結(jié)果可以得到結(jié)論:

(1)嚴(yán)格最小二乘計(jì)算結(jié)果和真值之間的偏差很小，基本上可以得到精確的參數(shù)值，對(duì)于畸變參數(shù)的求解基本上和實(shí)際值差異不大，可以滿足要求.

(2)用估計(jì)的參數(shù)值計(jì)算的圖像點(diǎn)和實(shí)際圖像點(diǎn)差值的平均值能達(dá)到10－3(pixel)的精確范圍.

3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

在實(shí)驗(yàn)中，用相機(jī)對(duì)空間中的靶標(biāo)拍照，進(jìn)而得到相應(yīng)的空間點(diǎn)及其提取后的位置，這是進(jìn)行標(biāo)定的數(shù)據(jù)來(lái)源，本文對(duì)這兩組數(shù)據(jù)，分別用CAHVOR標(biāo)定方法和常用的共線標(biāo)定方法來(lái)估計(jì)參數(shù)比較兩個(gè)算法.

(1)攝影測(cè)量標(biāo)定方法［8］

在小孔成像模型的基礎(chǔ)上考慮了鏡頭徑向畸變的影響，通過(guò)對(duì)空間點(diǎn)和圖像點(diǎn)處理，利用平差算法求解方程得出相機(jī)內(nèi)外參數(shù)［9］.

表7 相機(jī)內(nèi)、外參數(shù)標(biāo)定結(jié)果

其中(X，Y，Z)是相機(jī)坐標(biāo)系到空間坐標(biāo)系的平移向量，角(ω，ψ，κ)是相機(jī)坐標(biāo)系到空間坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角，(xp，yp)是相機(jī)光心主點(diǎn)坐標(biāo)，(K1，K2，K3)是徑向畸變系數(shù).

將標(biāo)定參數(shù)和空間點(diǎn)數(shù)據(jù)代入成像模型中，反算圖像點(diǎn)和實(shí)際圖像點(diǎn)比較，得到差值分布圖如圖4所示.

圖4 共線方程方法圖像點(diǎn)差值比較

反算圖像點(diǎn)到實(shí)際圖像點(diǎn)的差值矢量圖(差值×200)見(jiàn)圖5所示.

由于攝影測(cè)量方法在參數(shù)求解的過(guò)程中主要運(yùn)用了參數(shù)平差的求解方法，它不僅對(duì)內(nèi)外參數(shù)平差，同時(shí)還考慮對(duì)空間點(diǎn)和圖像點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行平差，即認(rèn)為給定的這些數(shù)據(jù)也都是不準(zhǔn)確的需要修正，這就大大增加了算法的復(fù)雜性和運(yùn)算時(shí)間.

(2)采用CAHVOR求解結(jié)果

對(duì)空間點(diǎn)和圖像點(diǎn)的數(shù)據(jù)利用第2節(jié)中介紹的算法，估計(jì)CAHVOR的參數(shù)值見(jiàn)表8.

用估計(jì)參數(shù)反算圖像點(diǎn)和實(shí)際圖像點(diǎn)比較，得到差值分布圖，見(jiàn)圖6.

圖5 共線方程方法圖像點(diǎn)差值矢量分布圖

表8 CAHVOR估計(jì)參數(shù)

圖6 CAHVOR標(biāo)定參數(shù)圖像點(diǎn)差值比較

反算圖像點(diǎn)到實(shí)際圖像點(diǎn)的差值矢量圖(差值×200)見(jiàn)圖7.

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理后的估計(jì)參數(shù)結(jié)果經(jīng)過(guò)比較，可以得出以下結(jié)論:

1)由圖4和圖6可以看出，共線方程方法在x方向的精度90%處在0～0.11pixel，y方向大概有90%處在0～0.1pixel間，而CAHVOR標(biāo)定方法，圖像點(diǎn)差值在x方向的90%分布在0～0.1pixel這個(gè)一個(gè)小范圍內(nèi)，y方向90%分布在0～0.092pixel之間.

2)可以看到用共線方程方法最終的圖像點(diǎn)差值平均值為［0.0514，0.0404］，而 CAHVOR 方法圖像點(diǎn)差值平均值為［0.0455，0.0383］，前者的最大值達(dá)到［－ 0.1215，0.1494］，后者為［0.1933，0.1479］，兩者相比較可以看出CAHVOR標(biāo)定方法對(duì)于導(dǎo)航相機(jī)參數(shù)精度標(biāo)定能力可以和共線方程方法媲美，可以達(dá)到導(dǎo)航相機(jī)要求的標(biāo)定精度.

圖7 CAHVOR標(biāo)定圖像點(diǎn)差值矢量分布

3)在算法標(biāo)定速度方面，共線方程方法利用了參數(shù)平差方法估計(jì)最終的數(shù)值，它認(rèn)為給定的空間點(diǎn)和圖像點(diǎn)的數(shù)據(jù)都包含誤差，所以程序復(fù)雜、運(yùn)算速度較慢，而CAHVOR的算法利用帶約束的最小二乘算法估計(jì)參數(shù)，簡(jiǎn)單易行，速度快，并且同時(shí)滿足月球車導(dǎo)航相機(jī)的標(biāo)定精度的要求.

4 結(jié)論

本文介紹了一種從矢量角度標(biāo)定相機(jī)的CAHVOR方法，該方法更為直觀地體現(xiàn)了相機(jī)成像原理，對(duì)于相機(jī)畸變考慮更形象、具體，經(jīng)過(guò)理論數(shù)據(jù)驗(yàn)證，該標(biāo)定模型的精度能達(dá)到10－3像素，說(shuō)明能很好地估計(jì)參數(shù)值，為了進(jìn)一步運(yùn)用在實(shí)際中，通過(guò)實(shí)際的空間取點(diǎn)來(lái)計(jì)算參數(shù)并與攝影測(cè)量方法的結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果顯示利用CAHVOR模型估計(jì)的參數(shù)投影的圖像點(diǎn)和基于共線方程的攝影測(cè)量方法投影的圖像點(diǎn)精確度相當(dāng)，可以滿足導(dǎo)航相機(jī)的標(biāo)定精度要求.CAHVOR標(biāo)定方法主要是利用最小二乘方法對(duì)成像模型求解16個(gè)參數(shù)，基于共線方程的攝影測(cè)量方法認(rèn)為給予的空間點(diǎn)和圖像點(diǎn)數(shù)據(jù)也非真值，它不僅對(duì)內(nèi)外參數(shù)平差，還同時(shí)要考慮對(duì)空間點(diǎn)和圖像點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行平差，這將大大增加了算法的復(fù)雜性和運(yùn)算時(shí)間.

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