剛體衛(wèi)星姿態(tài)的有限時間控制*

李貴明，劉良棟

(1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術重點實驗室，北京100190)

剛體衛(wèi)星姿態(tài)的有限時間控制*

李貴明1，2，劉良棟1

(1.北京控制工程研究所，北京100190；2.空間智能控制技術重點實驗室，北京100190)

針對剛體衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題，設計了不存在和存在擾動力矩兩種條件下的有限時間狀態(tài)反饋控制律.對于無擾動力矩情形，基于非線性齊次系統(tǒng)性質，設計了一種便于工程實踐性的連續(xù)、非奇異的比例微分形式控制算法，保證姿態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)有限時間收斂到零點，而且此算法能直接推廣到衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤問題.對于存在擾動力矩的情形，基于有限時間Lyapunov定理設計的連續(xù)、非奇異的控制力矩保證衛(wèi)星姿態(tài)和角速度在有限時間內(nèi)收斂到原點附近的部域.當外擾力矩為零時，此控制律使閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)有限時間收斂到平衡點.數(shù)學仿真結果說明了提出的控制算法有效.

衛(wèi)星姿態(tài)控制；有限時間穩(wěn)定；擾動力矩；非奇異

衛(wèi)星姿態(tài)控制是自動控制領域內(nèi)的一個重要的研究方向.近年來，該領域取得了許多成果，如 PD形式的姿態(tài)控制[1]，滑動模態(tài)控制[2]，自適應控制[1，3]，基于無源性的欠角速度測量條件下姿態(tài)控制器設計[4-5]、四元數(shù)觀測器設計[6]，擾動抑制問題[7]和姿態(tài)同步控制問題[8].

上述的閉環(huán)控制系統(tǒng)固然是穩(wěn)定的，但遺憾的是僅僅取得了漸近穩(wěn)定性，即閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)要在時間趨于無窮大時才能收斂到零.比較系統(tǒng)的響應時間可知，有限時間控制律具有更好的動態(tài)性能以及良好的魯棒穩(wěn)定性和擾動抑制效果[9-10].由于文獻[11]中的有時時間控制律的不連續(xù)性可能導致顫振問題，Haimo設計了雙積分系統(tǒng)的時不變連續(xù)狀態(tài)反饋控制器[12]，但此控制量無上限，而且僅適合此類形式的被控對象[13].因此，文獻[13]基于Lyapunov有時時間穩(wěn)定性定理[14]設計了雙積分系統(tǒng)有上限的全局有限時間連續(xù)狀態(tài)反饋控制器.Hong[15]基于有限時間觀測器研究了雙積分系統(tǒng)的有限時間輸出反饋控制問題，而且設計的控制器對于滿足一定條件的一類不確定性或外部擾動具有魯棒性.此外，Hong還解決了一類鏈狀系統(tǒng)的有限時間控制問題[16]，Huang[17]基于文獻[18]的研究設計了一類具有不確定性的鏈狀單積分系統(tǒng)的有限時間控制器.

有限時間控制技術應用方面，Hong[19]設計了機械臂系統(tǒng)的PD形式有限時間控制器，Su將其擴展到跟蹤情況[20].對于衛(wèi)星姿態(tài)控制問題，文獻[21]和[22]均借用滑動模態(tài)設計控制器，但很明顯，這些控制器因存在誤差變量的負次冪而具有奇異性，亟待改善.而且，[22]僅能保證性能收斂在滑模面附近.Ding[23]解決了有擾條件下衛(wèi)星姿態(tài)有限時間調(diào)節(jié)問題，然而，其設計方法僅適合于對角形式的慣量陣，且控制算法不具有連續(xù)性，設計復雜，因此，有必要進一步研究衛(wèi)星姿態(tài)的有限時間控制問題.

為改善前述[21-23]的剛體衛(wèi)星姿態(tài)有限時間控制律不連續(xù)、存在奇異性、設計復雜、應用范圍嚴重受限的弊端，本文研究了形式簡單、具有連續(xù)性和非奇異性的剛體衛(wèi)星姿態(tài)的有限時間控制器設計問題，提出了不存在擾動力矩和存在擾動力矩兩種條件下的有限時間狀態(tài)反饋控制律.針對理想無擾情形，基于非線性齊次系統(tǒng)性質設計的比例微分形式(PD)控制算法，保證了閉環(huán)姿態(tài)控制系統(tǒng)有限時間收斂到零點.連續(xù)、非奇異的有限時間PD控制器一般化了傳統(tǒng)PD控制器，當冪指數(shù)為1時，有限時間退化為漸近穩(wěn)定控制器，即說明基于無源性設計的傳統(tǒng)PD控制律為有限時間控制算法的特例；針對存在擾動力矩的情形，基于有限時間Lyapunov定理設計的控制力矩保證衛(wèi)星姿態(tài)和角速度在有限時間內(nèi)收斂到原點附近的鄰域.此有限時間控制器不僅具有連續(xù)性、非奇異性的特點，而且設計過程簡單，適合于更具一般性(慣量矩陣非對角形式)的衛(wèi)星系統(tǒng).

1 系統(tǒng)與問題描述

1.1 有限時間穩(wěn)定定理

首先給出有限時間穩(wěn)定的相關定義[10].考慮如下的非線性系統(tǒng)

式中，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(0)=0.如果系統(tǒng)(1)是Lyapunov穩(wěn)定的，而且，存在一個時間函數(shù)T(x)，使得對于所有的 t≥ T(x)，有 x(t)=0，則稱系統(tǒng)(1)是有限時間穩(wěn)定的；如果具有全局性，則稱全局有限時間穩(wěn)定.

為便于后續(xù)分析，這里引入齊次函數(shù)的定義.對于連續(xù)函數(shù) V(x)和 ( r1，…，rn)∈ Rn，ri＞0，如果對于任意的ε＞0，存在標量k，滿足

則稱系統(tǒng)(1)關于 ( r1，…，rn)具有齊次度k.

引理1[10].如果系統(tǒng)(1)具有負的齊次度，即k＜0，并且其原點具有漸近穩(wěn)定性，那么系統(tǒng)(1)的原點是有限時間穩(wěn)定的.

引理2[15].對于系統(tǒng)=f(x)+(x)，f(x)關于( r1，…，rn)具有負的齊次度 k，同時(0)=0.假設x=0為=f(x)的漸近穩(wěn)定平衡點，同時

對于任意x≠0成立，那么x=0為此系統(tǒng)的一個局部有限時間平衡點.

引理3[14].考慮系統(tǒng)(1)，如果存在一個定義在含原點的開集amp;上的連續(xù)正定函數(shù)V，且存在實數(shù)k＞0和 α∈ ( 0，1)，使得+k≤0 ，則系統(tǒng)(1)的原點是有限時間穩(wěn)定的，而且調(diào)節(jié)時間的一個估計值為

引理4[17-18].對任意實數(shù)x、y，以及正實數(shù)c和d，存在如下關系

令b=p/q≤1，其中p和q都是正奇數(shù)，那么

對于0＜a≤1，存在

1.2 衛(wèi)星姿態(tài)運動

本文采用修正羅德里格斯參數(shù)[5，24](MRP)描述剛體衛(wèi)星相對于慣性坐標系I的姿態(tài).定義衛(wèi)星姿態(tài)為，那么基于MRP的衛(wèi)星姿態(tài)運動學方程為

表示 σ的反對稱矩陣.為解決 MPR在±2π處的奇異性問題，文獻[25-26]闡述了原始集σ與相應的映射集σs相結合的方法，即定義映射集 σs=-σ/(σT)σ，當時將σ映射到σs上，故而對于任意變化的姿態(tài)角，使σ或σs處于單位圓內(nèi).需要指出的是，σ和σs描述相同的衛(wèi)星物理姿態(tài)，而且σs同樣滿足運動學方程(8)，即=Gσ( )sω.因此，僅通過研究即可實現(xiàn)MRP的全局非奇異性.

剛體衛(wèi)星在其本體坐標系B下的姿態(tài)動力學方程為

定義期望的衛(wèi)星姿態(tài)指令為 σd，對應的坐標系為D，記衛(wèi)星相對于姿態(tài)指令的姿態(tài)誤差為，則有

式中，R(·)為方向余弦矩陣.定義期望的衛(wèi)星角速度為ωd，記衛(wèi)星相對于角速度指令的誤差=ω-R()ωd，則衛(wèi)星姿態(tài)誤差運動學方程為

相應的姿態(tài)誤差動力學方程為

本文的控制問題描述為：在不存在外擾力矩情況下設計衛(wèi)星姿態(tài)連續(xù)、非奇異的有限時間控制律，保證衛(wèi)星姿態(tài)和角速度在有限時間內(nèi)收斂到原點；當存在外擾力矩時，設計連續(xù)、非奇異的有限時間衛(wèi)星姿態(tài)控制律，保證姿態(tài)和角速度在有限時間內(nèi)收斂到原點鄰域.

2 無擾動作用時的有限時間控制器設計

運動學方程(8)可寫為

設計PD形式的控制力矩

式中，0 ＜α1＜1，α2=2α1/1+α( )

1，k1、k2為增益，sign(·)為符號函數(shù)，的運算規(guī)則為

式(14)代入式(9)，得閉環(huán)系統(tǒng)動力學方程

即

性質1.系統(tǒng)(17)

是有限時間穩(wěn)定的.

證明.取備選Lyapunov函數(shù)

那么

式中， r2α2=r1α1.取 r1α1-r2=r2-r1，那么對于r2=1則有，且.因此，系統(tǒng)(17)具有負的齊次度 k，根據(jù)引理1，系統(tǒng)(17)的平衡點 σT，ω(T)T=0具有有限時間穩(wěn)定性.證畢.

對于任意的 σT，ω

(T)T≠0，考慮到

同理有

又由于

則根據(jù)引理2， σT，ω(T)T=0是衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)(8)和(9)的有限時間平衡點.上述的分析得到本文第一個結論.

定理1.針對無擾動力矩作用的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)(8)和(9)，設計的連續(xù)、非奇異 PD形式有限時間控制器(14)，保證了姿控系統(tǒng)的所有信號有界，而且閉環(huán)系統(tǒng)的平衡點具有有限時間穩(wěn)定性.

注1.控制律(14)具有連續(xù)、非奇異的特點，而且形式簡單，不受被控對象特點限制，因此，式(14)是無擾動力矩作用時最具工程實踐性的有限時間控制器.

注2.當參數(shù)α1=1時，式(14)特殊化為傳統(tǒng)形式的PD控制器τ=-k1σ-k2ω，可見，漸近穩(wěn)定控制律可視為有限時間控制律在T→∞時的特例.但由于我們并未找到直接的Lyapunov函數(shù)，即上述的證明過程不同于傳統(tǒng)PD控制下系統(tǒng)穩(wěn)定性證明，因此，僅通過上面的分析還不能嚴格地從理論上說明有限時間穩(wěn)定的全局性，而且不能對存在外部擾動力矩的情況進行分析.當然，如果擾動力矩滿足

式中，d1和d2為正實數(shù).那么，基于上述分析過程仍然可以得到閉環(huán)系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性.

注3.設計的PD形式的控制算法容易推廣到姿態(tài)跟蹤問題.即

定理2.對任意給定的時變姿態(tài)指令σd，控制力矩保證姿控系統(tǒng)所有信號有界，并且，衛(wèi)星姿態(tài)能在有限時間 T內(nèi)跟蹤 σd，即當 t≥ T時，

為分析更具一般性的擾動力矩作用下衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)特性，引入下一節(jié)的內(nèi)容.

3 存在擾動力矩時的有限時間控制器設計

當外擾力矩d≠0時，我們基于一類非線性系統(tǒng)[18]和[17]提出的設計方法構造 Lyapunov函數(shù)，并設計控制力矩，保證衛(wèi)星姿態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到原點鄰域；對于其特例d=0，可知衛(wèi)星姿態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到原點.為便于分析問題，我們首先假設d=0，然后擴展到d≠0的情況.

基于上述變量設計控制力矩形如

式中，m＞0為待設計的控制增益.將控制力矩(28)代入姿態(tài)控制系統(tǒng)，得到閉環(huán)系統(tǒng)運動特性

定理3.衛(wèi)星姿態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)(29)的所有信號有界，而且，姿態(tài)角σ和角速度ω在有限時間內(nèi)收斂于原點；當控制律(28)中的σ和ω為誤差信號時，可以實現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)角對任意時變參考指令σd()t的有限時間跟蹤.

證明.對于，有

定義常數(shù)r()t=σTσ，則有r()t≥0，故上式可寫成

定義 ζ1=σ1，那么

取備選Lyapunov函數(shù)為V=bV1+W，b＞0，那么

性質2.對于 i=1，…6，存在實數(shù) ci＞0，c=c1，…，c( )

6，定義向量則 有

由于

以及定積分中值定理

那么可得

式中，k=14/5·(2).

考慮運動學特性(8)，以及約束 σ ＜1，可知上式中的第一項

那么

利用引理4，可知同理分析式(41)中的后兩項.因此，性質2成立.以一組保守的參數(shù)估計進行控制器設計，取

那么式(38)可以寫成

同時，對于V=bV1+W，由引理4可知

則顯然有

取參數(shù)α=4/5，根據(jù)引理4有

d≤ l，l＞0，則式(47)改寫為

下面研究存在上限的外部干擾力矩d時，系統(tǒng)特性.假設 J-1上式描述了有限時間意義下的最終有界性問題，文獻[22]稱之為實際有限時間穩(wěn)定.顯然，存在0＜β≤1，使得

下面借鑒文獻[9]和[23]的分析，估計姿態(tài)角σ和角速度ω的收斂區(qū)域.()ω∈Ω，那么根據(jù)

同理確定ω2和ω3的收斂區(qū)域，因此有ω∈Δ，Δ為

注意到0≤r()t＜1，故令r()t=0，即可得系統(tǒng)狀態(tài)收斂區(qū)域 Γ和 Δ的保守估計，進而得到下述性質.

定理4.當衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)中存在有上界約束的外擾力矩時，控制力矩(28)能保證姿態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，而且，姿態(tài)角σ和角速度ω在有限時間內(nèi)收斂到原定附近的鄰域內(nèi)，即當時， 有σ()t∈ Γ，ω()t∈ Δ.

注4.上述的證明說明，文獻[17]的約束條件(其公式3.1)過于嚴格.也就是說，不確定項的約束條件可以不受限于上三角形式，即可以將基于反步法的有限時間控制技術推廣到更具一般性的一類非線性系統(tǒng).

注5.由于 r()t=σTσ，因此控制器(28)中參數(shù)具有時變特性，不便于系統(tǒng)實現(xiàn).可以通過直接取r=1進行控制律設計，上述的證明過程仍然成立.本文直接采用文獻[17]中的指數(shù)次方，實際上，通過改變Lyapunov函數(shù)及相關變量定義中的指數(shù)次方，可以調(diào)節(jié)控制律(28)中的冪指數(shù).同漸近穩(wěn)定控制律一樣，控制律(28)同樣可以通過調(diào)節(jié)控制參數(shù)增益的方式來縮小收斂區(qū)域，但可能存在控制量飽和問題.文獻[23]認為，有限時間控制律的優(yōu)勢在于，能在保證控制不飽和的條件下，通過改變冪指數(shù)來減小系統(tǒng)狀態(tài)的收斂區(qū)域.盡管如此，控制律(28)飽和問題仍值得進一步研究.

4 數(shù)值實例

取α1=0.5，k1=6，k2=10，則控制力矩(14)作用下的衛(wèi)星姿態(tài)和角速度隨時間變化如圖1和圖2所示.

圖1 PD形式有限時間控制器作用下的衛(wèi)星姿態(tài)

圖2 PD形式有限時間控制器作用下的衛(wèi)星角速度

取式(28)中m=50，約束飽和力矩為10N·m，則無擾動力矩時衛(wèi)星姿態(tài)如圖3所示.設擾動力矩為d(t)=8sin( 2πt)·[1.0，1.2，1.0]TN·m，則此時力矩(28)作用下的衛(wèi)星姿態(tài)、角速度如圖4和圖5所示.

圖3 無擾動力矩時控制律(28)作用下的衛(wèi)星姿態(tài)

圖4 存在擾動力矩時控制律(28)作用下的衛(wèi)星姿態(tài)

圖5 存在擾動力矩時控制律(28)作用下的衛(wèi)星角速度

6 結 論

本文研究了不存在和存在擾動力矩兩種條件下，衛(wèi)星姿態(tài)的有限時間狀態(tài)反饋控制律設計問題.對于無擾動力矩情形，設計了便于工程實踐性的連續(xù)、非奇異的比例微分(PD)形式控制算法，保證了姿態(tài)閉環(huán)系統(tǒng)有限時間收斂到零點；對于存在擾動力矩的情形，基于有限時間Lyapunov定理設計的連續(xù)、非奇異的控制力矩能夠保證衛(wèi)星姿態(tài)和角速度在有限時間內(nèi)收斂到原點附近的鄰域.然而，PD控制器形式下的有限時間Lyapunov函數(shù)還有待于尋求，其有限時間收斂的全局性還有待證明；基于構造法設計的控制律存在著相對嚴重的飽和問題，也亟待解決.

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Finite Time Stabilization Method for the Rigid Spacecraft A ttitude Control

LIGuiming1，2， LIU Liangdong1
(1.Beijing Institute of Control Engineering， Beijing 100190，China；2.Science and and Technology on Space Intelligent Control Laboratory， Beijing 100190，China)

For the rigid spacecraft attitude control problem， amethod for designing the finite time controllers is proposed in this paper controllers are analyzed in the absence of disturbance and in the presence of disturbance.For the first case，based on the property of the nonlinear homogeneous system，a continuous and non-singular proportional-derivative(PD)controller is proposed to achieve the finite time convergence of the closed-loop attitude control system，and can be extended to the spacecraft attitude tracking problem.For the second case，we design a new continuous and non-singular controller is design on the basis of Lyapunov finite time theorem，such that the spacecraft attitude and angular velocity converge to a small neighborhood of the equilibrium point.If the disturbance vanishes，all the states will converge to the origin eventually.Last，numerical simulation is conducted to demonstrate the effectiveness of our proposed controller.

spacecraft attitude control； finite time control； disturbances torque；non-singular

V249

A

1674-1579(2011)03-0001-08

10.3969/j.issn.1674-1579.2011.03.001

*CAST基金資助項目(CAST201105).

2011-02-10

李貴明(1983—)，男，黑龍江人，博士研究生，研究方向為協(xié)同控制、航天器姿態(tài)控制 (e-mail：hitlgm@163.com).