線性定常系統(tǒng)點位控制時的非線性控制器設計

關軼峰，李鐵壽，郭建新

(1.北京控制工程研究所，北京 100190;2.空間智能控制技術重點實驗室，北京 100190)

點位控制，也稱點到點的控制，即要求系統(tǒng)的輸出由初始位置機動至目標位置.這種點位控制在航天器控制、機器人控制及其他工業(yè)生產中是非常常見的.一般來說，控制器設計者希望系統(tǒng)輸出能以較快的速度到達指定位置，并在該位置處盡快穩(wěn)定下來.國內外學者對此進行了大量的研究工作，如文獻［1］給出了模糊邏輯控制律，文獻［2］設計了基于神經網絡的控制算法.對于工程設計人員而言，通常選用簡單的常系數狀態(tài)反饋控制律.但是由于其系數是定常的，這種控制律很難同時滿足快速性與穩(wěn)定性能之間的要求.

為解決上述矛盾，文獻［3］給出一種非線性積分的控制方法，文獻［4］也給出一種變控制器系數的方法，這兩中方法都沒有給出穩(wěn)定性的證明.文獻［5］提出一種非線性微分的控制方法，這種方法只適用于雙積分環(huán)節(jié).本文在文獻［5］基礎上，提出一種非線性控制律設計方法，將被控對象擴展至高階線性定常系統(tǒng).控制效果得到進一步提高，而且還分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，解決了快速性與在目標位置處盡快穩(wěn)定之間的矛盾.文章最后給出了數學仿真結果，驗證了該方法的有效性.

1 非線性控制思想

圖1 輸出曲線示意圖

基于上述思想設計雙積分環(huán)節(jié)的非線性微分控制律［5］

圖2 非線性微分控制示意圖

非線性微分控制律的根本思想在于，如何得到如圖2所示的控制律，并保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.在式(1)中存在輸出速度的符號項sgn()，系統(tǒng)輸出可能會出現振顫現象.下面設計的控制律，避免了該問題的出現.

2 高階線性系統(tǒng)的非線性控制律設計

基于雙積分環(huán)節(jié)的非線性微分控制思想，本節(jié)將其方法推廣至高階線性定常系統(tǒng)的點位控制中.

SISO能控線性定常系統(tǒng)

控制律為

其中，狀態(tài)反饋控制

其中xe=x－xr，xr為期望狀態(tài)，K為狀態(tài)反饋矩陣.基于文獻［5］中的非線性微分控制設計思想，設計針對系統(tǒng)(2)的非線性控制

其中ye=y-yr，yr為期望輸出;f( x)＞0(i=1，2，3).非線性控制(5)的設計是在狀態(tài)反饋控制(4)的基礎上，根據輸出來調節(jié)控制輸入，避免系統(tǒng)振蕩，達到快速收斂的效果.控制律(5)中的X與狀態(tài)變量相關，同時兼顧閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其構造形式及穩(wěn)定性證明，如定理1所示.

定理1.SISO能控線性定常系統(tǒng)(2)，基于控制律(3)和(4)，存在非線性控制(5)，使得由式(2)～(5)組成閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

證明.定理的證明兼有構造性，即如何求得式(5)中的X.不失一般性，設零點為系統(tǒng)的平衡點，即xr=0，xe=x.由式(2)～(5)組成閉環(huán)系統(tǒng)

構造正定 Ляпунов 函數 V(x)=xTPx ，則有

構造X=xTPb，則

從上述分析過程總結高階線性定常系統(tǒng)非線性控制律設計過程:

(1)求取狀態(tài)反饋矩陣K使A-bK是穩(wěn)定的;

(2)尋找正定對稱矩陣P，使得 ( A-bK)TP+P( A-bK)=Q為負定，可取Q=-I;

(3)由(2)中求得的P構造X=xTPb，得到非線性微分控制律(5)的形式.

幾點說明:

(1)非線性微分控制律是在狀態(tài)反饋控制基礎上來改善穩(wěn)定性能，因此狀態(tài)反饋的設計對最終的控制效果有一定影響.

(2)Q矩陣選取的不同，控制律的形式將有所不同.文獻［5］給出了雙積分環(huán)節(jié)的非線性微分控制律，如果按本文的非線性控制律設計過程也是可以得到的，只是Q矩陣不再是 -I.

3 仿真研究

考慮3階線性定常系統(tǒng)

其中xe=x-xr，xr=［100］T為期望狀態(tài)，K=［511］為狀態(tài)反饋矩陣.

設計非線性微分控制器

各參數意義見第2節(jié).輸出期望值yr=1，k1=10，k2=0.1，k3=1.仿真結果如圖3～6所示，圖3和4為狀態(tài)反饋輸出及控制輸入，圖5和6為加入非線性微分后的輸出及控制輸入.仿真結果顯示了非線性微分在改善系統(tǒng)動態(tài)性能方面的作用.

4 結論

線性定常系統(tǒng)在點位控制中，常規(guī)線性狀態(tài)反饋控制不能同時實現系統(tǒng)的快速性與良好的穩(wěn)定性能.本文將文獻［5］中提及的非線性微分控制方法推廣至高階線性定常系統(tǒng)的控制，并給出穩(wěn)定性證明.仿真結果表明了該方法在改善系統(tǒng)動態(tài)性能方面的有效性.

［1］ Sylvia K R，Flashner H.Stable fuzzy logic design of point-to-point control for mechanical systems［J］.Fuzzy Sets and Systems，2000，110(3):389-411

［2］ Kottas J.Autonomous neural network controller for adaptive material handling［R］.ADA248944，1992

［3］ 吳宏鑫.全系數自適應控制理論及其應用［M］.北京:國防工業(yè)出版社，1994

［4］ 牛景漢，顏玉崇.自動控制系統(tǒng)非線性校正［M］.北京:機械工業(yè)出版社，1992

［5］ 關軼峰，李鐵壽，王典軍.航天器附件大角度快速機動的一種控制方法［J］.中國空間科學技術，2004，24(4):1-5

［6］ 鄭大鐘.線性系統(tǒng)理論［M］.北京:清華大學出版社，1990