例談數(shù)列求和的兩種方法

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考中占有重要的地位。而數(shù)列求和的問題往往又和其他知識(shí)融合在一起，綜合性較強(qiáng)。求和問題在歷年高考中都是常考題型之一。等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和的問題，應(yīng)熟練掌握。下面舉例說明數(shù)列求和的公式法和裂項(xiàng)相消法。

一公式法

對(duì)一些比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，我們可以記住它們的前n項(xiàng)和公式，以便在題目里直接利用它們。或?qū)Φ炔?、等比?shù)列的求和可以直接代入其求和公式。要特別注意q=1、q≠1，有時(shí)還要注意q=0。例如：求數(shù)列an=qn的前n項(xiàng)和Sn，要分q=0、q=1和q≠0且q≠1等情況。

（1）1+2+3+…+n=■（2）1+3+5+…+(2n-1)=n2

（3）2+4+6+…+2n=n(n+1)

（4）12+22+33+…+n2=■n(n+1)(2n+1)

（5）13+23+33+…+n3=■n2(n+1)2

（6）1+a+a2+…+an-1=n(a=1)■(a≠1)

（7）等差數(shù)列求和公式：Sn=■=na1+■n(n-1)d

其中a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…

（8）等比數(shù)列求和公式：

Sn=■=■(q≠1)na1 (q=1)

例1求-12+22-33+42-52+62-…-992+1002的和。

解 記S=-12+22-32+42-52+62-…-992+1002

=(22-12)+(42-32)+(62-52)+…+(1002-992)

=(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+(6-5)(6+5)+…+(100-99)(100+99)

=1+2+3+…+100

由等差數(shù)列的求和公式 得S=■=5 050

二裂項(xiàng)相消法

若一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都可以化為兩項(xiàng)之差，并且前一項(xiàng)的減數(shù)恰與后一（某）項(xiàng)的被減數(shù)相同，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這種數(shù)列求和的方法就是裂項(xiàng)相消法。

例2已知Sn=■+■+■+…+■，求Sn 。

解因?yàn)閍n=■=■[■-■]

所以Sn=■[■+■+■+…+■]

=■[■-■]=■。

常見的拆項(xiàng)公式有：

（1） ■=■ - ■

（2）■=■(■- ■)

（3）■=■(■-■)

（4）■=1+■(■-■)

（5）■=■[■-■]

（6）■= ■(■-■)

（7）an=Sn-Sn-1(n≥2)

（8）若{an}為等差數(shù)列Sn-1，其中an≠0且d≠0，

則■=■[■-■]

（9）■=■[■-■]。

（作者單位：江西省吉安市第一中學(xué)江西省遂川縣于田三中）

責(zé)任編輯：李林