多粒度粗糙集與多源信息系統(tǒng)中的粗糙集模型

竇慧莉，於東軍，楊習(xí)貝，

(1.江蘇科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003;2.南京理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，南京210094)

0 引言

Pawlak根據(jù)實(shí)際工程應(yīng)用的需求，在經(jīng)典集合論的基礎(chǔ)上，提出了粗糙集理論［1－4］。近年來，這一理論已被證實(shí)在模式識(shí)別、機(jī)器學(xué)習(xí)和自動(dòng)知識(shí)獲取等眾多領(lǐng)域有著廣泛而又突出的應(yīng)用。

Pawlak定義了知識(shí)基的概念，在一個(gè)知識(shí)基中，有一族等價(jià)關(guān)系，所有這些等價(jià)關(guān)系的交集稱為不可分辨關(guān)系，因而這個(gè)不可分辨關(guān)系依然是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。在這個(gè)不可分辨關(guān)系的基礎(chǔ)上，Pawlak給出了粗糙下近似和粗糙上近似的概念，使用已有的知識(shí)來近似地逼近未知的概念。

然而值得注意的是，Pawlak的粗糙集模型是建立在僅僅一個(gè)不可分辨關(guān)系的基礎(chǔ)上的，錢宇華等人認(rèn)為，在決策分析問題中，多個(gè)決策者之間的關(guān)系有可能是相互獨(dú)立的，因而需采用多個(gè)二元關(guān)系來進(jìn)行目標(biāo)的近似逼近，為此他提出了多粒度粗糙集模型［5－6］的概念。在錢宇華的多粒度粗糙集模型中，他采用了兩個(gè)及兩個(gè)以上的不可分辨關(guān)系進(jìn)行概念的近似逼近，并分析了多粒度粗糙集模型與經(jīng)典粗糙集之間的關(guān)系。在錢宇華的多粒度粗糙集模型中，主要有兩種不同的近似逼近方式，一種是樂觀多粒度粗糙集方法，另一種是悲觀多粒度粗糙集方法。

此外，從拓展信息系統(tǒng)的角度出發(fā)，Khan等人研究了多源信息系統(tǒng)［7］，一個(gè)多源信息系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)信息系統(tǒng)族，在多源信息系統(tǒng)的框架下，Khan給出了強(qiáng)、弱下近似和強(qiáng)、弱上近似集合的概念。進(jìn)一步研究可以發(fā)現(xiàn)，多粒度粗糙集模型中每一個(gè)不可分辨關(guān)系可以被看作是由一個(gè)信息系統(tǒng)中的屬性子集構(gòu)成的，因而從這個(gè)角度出發(fā)，可以討論多粒度粗糙集模型與多源信息系統(tǒng)中粗糙集模型之間的關(guān)系。

本文主要內(nèi)容安排如下:第一節(jié)介紹了樂觀和悲觀多粒度粗糙集模型，第二節(jié)給出了多粒度粗糙集模型的性質(zhì)，第三節(jié)首先給出了多源信息系統(tǒng)中粗糙集模型的概念，然后證明了多源信息系統(tǒng)中的粗糙集模型是多粒度粗糙集的一種表示形式，第四節(jié)總結(jié)全文。

1 多粒度粗糙集

形式化地，一個(gè)信息系統(tǒng)可被定義為二元組S=＜U，AT＞，其中

(1)U表示所有對(duì)象的集合，稱為論域;

(2)AT表示所有屬性的集合。

對(duì)于?a∈AT，定義映射a:U→Va，Va表示屬性a的值域，即a(x)∈Va(x∈U)。

在信息系統(tǒng)S中，根據(jù)屬性集合AT，可得到一個(gè)不可分辨關(guān)系，即等價(jià)關(guān)系形如

其中［x］AT={y∈U:(x，y)∈IND(AT)}表示U中所有與x具有不可分辨關(guān)系IND(AT)的對(duì)象的集合，即x的等價(jià)類。

定義2 令 S為一信息系統(tǒng)，A1，A2…Am? AT，對(duì)于 ?X? U，X的樂觀多粒度下近似集合與上近似集合分別定義為:

其中X表示集合X的補(bǔ)集。

定義3 令 S為一信息系統(tǒng)，A1，A2…Am? AT，對(duì)于 ?X? U，X的悲觀多粒度下近似集合與上近似集合分別定義為:

由定義2和定義3可以看出，樂觀多粒度下近似要求至少有一個(gè)粒度層次上的等價(jià)類包含在目標(biāo)概念中，而悲觀多粒度下近似則要求所有粒度層次上的等價(jià)類都包含在目標(biāo)概念中，因而悲觀多粒度下近似的要求比樂觀多粒度下近似的要求要更嚴(yán)格。樂觀多粒度上近似和悲觀多粒度上近似都是根據(jù)其下近似的補(bǔ)集加以定義的。據(jù)此，很容易得到如下所示的性質(zhì)。

定理1 令S為一信息系統(tǒng)，A1，A2…Am?AT，對(duì)于?X?U，有

2 多粒度粗糙集模型的性質(zhì)

定理2 令S為一信息系統(tǒng)，A1，A2…Am?AT，對(duì)于?X?U，有

定理3 令S為一信息系統(tǒng)，A1，A2…Am?AT，對(duì)于?X?U，有

根據(jù)定理2和定理3可以看出，盡管多粒度粗糙集模型是構(gòu)建在多個(gè)不可分辨關(guān)系的基礎(chǔ)上的，但是樂觀和悲觀多粒度粗糙集模型仍然滿足Pawlak經(jīng)典粗糙集模型的相關(guān)性質(zhì)。

3 多源信息系統(tǒng)與粗糙集

多源信息系統(tǒng)，顧名思義，是由一族信息系統(tǒng)構(gòu)成的。形式化地，一個(gè)多源信息系統(tǒng)是一個(gè)信息系統(tǒng)族I={S1，S2，…，Sm}，其中S1，S2，…，Sm是m個(gè)信息系統(tǒng)，這些信息系統(tǒng)的定義如第一節(jié)所示。在多源信息系統(tǒng)中，Khan定義了強(qiáng)下近似集、弱下近似集、強(qiáng)上近似集、弱下近似集［7］，如定義3所示。

定義3 令I(lǐng)={S1，S2，…，Sm}為一多源信息系統(tǒng)，對(duì)于?X?U，X的強(qiáng)下近似集、弱下近似集、強(qiáng)上近似集、弱下近似集分別記為且

通過對(duì)多粒度粗糙集模型和多源信息系統(tǒng)中的粗糙集模型對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，多源信息系統(tǒng)中的每一個(gè)信息系統(tǒng)實(shí)際上對(duì)應(yīng)于多粒度粗糙集模型中的每一個(gè)屬性集合，從這個(gè)角度出發(fā)，可以討論這兩者之間的關(guān)系。

定理4 令S為一信息系統(tǒng)，A1，A2…Am?AT，可構(gòu)建一個(gè)多源信息系統(tǒng)I={S1，S2，…，Sm}，其中Ai表示信息系統(tǒng)Si(1≤i≤m)中的屬性集合，因而對(duì)于?X?U，有

證明:僅證式(12)，其他證明類似。根據(jù)定義2，對(duì)于?X∈U，有

由定理4可以看出，多源信息系統(tǒng)中的每一個(gè)信息系統(tǒng)對(duì)應(yīng)多粒度粗糙集模型中的每一個(gè)屬性子集，因而樂觀多粒度下近似與弱下近似等價(jià)，悲觀多粒度下近似與強(qiáng)下近似等價(jià)，樂觀多粒度上近似與強(qiáng)上近似等價(jià)，悲觀多粒度上近似與弱上近似等價(jià)。根據(jù)這樣的分析，我們可以得出結(jié)論，多源信息系統(tǒng)中的粗糙集就是多粒度粗糙集模型。

4 結(jié)束語

多粒度粗糙集模型的概念為粗糙集理論的發(fā)展注入了新的活力。多粒度粗糙集模型從多個(gè)相互獨(dú)立的粒結(jié)構(gòu)出發(fā)，與經(jīng)典的粗糙集模型是有著本質(zhì)的區(qū)別的。

本文主要研究了多粒度粗糙集模型與多源信息系統(tǒng)中粗糙集模型之間的關(guān)系，證明了多源信息系統(tǒng)中的粗糙集模型就是多粒度粗糙集的一種表示形式，因而可以說明多粒度粗糙集模型是一種更為廣義的粗糙集形式。

在本文工作的基礎(chǔ)上，筆者下一步的工作就是討論多粒度粗糙集模型與其他擴(kuò)展粗糙集模型的關(guān)系。

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