沃利斯(Wallis)公式及其應(yīng)用

王振芳，陳慧琴

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，山西大同037009)

在積分學(xué)中我們經(jīng)常會遇到如下的沃利斯(Wallis)公式[1-3]:

或

沃利斯(Wallis)公式揭示了π與整數(shù)之間的一種很不尋常的關(guān)系。但在實際學(xué)習(xí)中很少注意到沃利斯(Wallis)公式，更不會關(guān)注它的應(yīng)用。實際上，沃利斯(Wallis)公式有許多作用，經(jīng)常有以下幾方面的應(yīng)用。

1 應(yīng)用于極限計算中

由于沃利斯(Wallis)公式與極限有關(guān)，所以有些極限的計算可以通過沃利斯(Wallis)公式很容易計算出來。

解法2 利用沃利斯(Wallis)公式(2)，可得

從上面兩種解法可以看出，解法一需要構(gòu)造合適的數(shù)列后，然后再用迫斂性。而解法二轉(zhuǎn)化為公式形式后直接應(yīng)用公式便可得，從而使得極限計算簡化。

2 應(yīng)用于積分計算中

對于一些用積分法不易求出原函數(shù)的積分，而利用沃利斯(Wallis)公式卻很容易解決問題。

3 應(yīng)用于數(shù)項級數(shù)收斂的判別

針對一些正項級數(shù)收斂性的判別，利用沃利斯(Wallis)公式會起到事半功倍的效果。

例3 判別正項級數(shù)

的斂散性。

解 由沃利斯(Wallis)公式(2)有

沃利斯(Wallis)公式除了以上的應(yīng)用外，還有其他一些應(yīng)用，這里不再列舉說明[4－5]。但要利用沃利斯(Wallis)公式時，適用所要處理的問題中含有形如的項。如果含有這些式子，利用沃利斯(Wallis)公式，可以使得問題簡化，起到很好的作用。

[1]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社，1993.

[2]裘兆泰，王承國，章仰文.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京:科學(xué)出版社，2004.

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