分?jǐn)?shù)微分方程邊值問題正解的存在與不存在性

李瑞瑞，劉文斌

(中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇徐州221116)

0 前言

近年來分?jǐn)?shù)階微分方程問題得到了廣泛的研究，一方面是由于分?jǐn)?shù)積分及微分本身的發(fā)展;另一方面是因?yàn)槠湓谖锢?、化學(xué)、力學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用［1－2］。文獻(xiàn)［3］研究了分?jǐn)?shù)階兩點(diǎn)邊值問題，文獻(xiàn)［4］利用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)理論討論了含參數(shù)的分?jǐn)?shù)階兩點(diǎn)邊值問題正解的存在與不存在性。文獻(xiàn)［5］用錐上不動(dòng)點(diǎn)定理，研究了奇異非線性狄利克雷邊值問題解的存在性。

本文進(jìn)一步研究了下述問題:

解的存在性與不存在性。其中，Dq0+是Riemann－Liouville導(dǎo)數(shù);λ＞0參變量;a:［0，1］→［0，+∞)連續(xù)且不恒為零;f:［0，+∞)×［0，+∞)→［0，+∞)連續(xù)，主要利用的工具是錐拉伸錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)理論。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 函數(shù)f(x)在Riemann－Liouville意義下s階分?jǐn)?shù)積分指

定義2 函數(shù)f(x)，x≥0在Riemann－Liouville意義下s階分?jǐn)?shù)微分指

引理1 若y(t)∈C［0，1］且y(t)≥0，則分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

引理2 G(t，s)有下面的性質(zhì):

證明

證明 證明過程類似引理2，在此略去。

引理5 設(shè)X是一巴氏空間，P是X中一個(gè)錐，設(shè)Ω1，Ω2為P中開子集，且0∈Ω1?Ω2，令T: P∩Ω1)→K為一全連續(xù)算子，若下列條件之一滿足:

(H1)當(dāng)u∈P∩?Ω1時(shí)，Tu≤u;當(dāng)u∈P∩?Ω2時(shí)，Tu≥u。

(H2)當(dāng)u∈P∩?Ω1時(shí)，Tu≥u;當(dāng)u∈P∩?Ω2時(shí)，Tu≤u。

則T在P∩(Ω2Ω1)中有一不動(dòng)點(diǎn)。

2 主要結(jié)果

u(t)是問題(1)和問題(2)的解等價(jià)于u(t)滿足下面的積分方程:

定義其上范數(shù)uX=+Du(t=u+Du，其中· 是連續(xù)函數(shù)空間中的最大值范數(shù)，則X是一個(gè)巴拿赫空間［9］。定義錐P(?X):P={u(t)∈X:u(t)+Du(t)≥uX}，

定義T:P→X，

由P的定義，容易證明T(P)(?P)一致有界，且等度連續(xù)。由Arzela－Ascoli定理知:T(P)相對(duì)列緊。又T是連續(xù)的，故T是全連續(xù)的。

為行文的方便，定義下述重要的常數(shù)

定理1 設(shè)Af∞＞Bf0，則對(duì)于λ∈)，問題(1)和問題(2)至少有一正解。

證明 取ε＞0充分小，使得(f0+ε)Bλ≤1，由f0的定義，存在l1＞0，使得當(dāng)0＜+≤l1時(shí)，f(u，ν)≤(f0+ε)(+)。若u∈P且uX=l1，則

取Ω1={u(t)∈X:uX＜l1}，則由上知:當(dāng)u∈P∩?Ω1時(shí)，TuX≤uX。

故取Ω2={u(t)∈X:X＜l2}，則Ω1?Ω2，且u∈P∩?Ω2時(shí)，X≥X。

由上，引理5中條件H1成立，所以T在P∩(Ω1)有一不動(dòng)點(diǎn)，即為問題(1)、(2)的正解。

定理2 設(shè)Af0＞Bf∞，則對(duì)于λ∈()，問題(1)、(2)至少有一正解。

證明 取ε＞0充分小，使得(f0ε)Aλ≥1，由f0的定義，存在l1＞0，使得當(dāng)0＜+≤l1時(shí)，f(u，ν)≥(f0ε)(+)。若u∈P且X=l1，則:

取Ω1={u(t)∈X:X＜l1}，則由上知:當(dāng)u∈P∩?Ω1時(shí)，X≥X。

類似定理1，可以證明，u∈P，Ω2={u(t)∈X:X＜l2}，X=l2，即u∈P∩?Ω2時(shí)，X≤X。

由上，引理5中條件H1成立，所以T在P∩(Ω2Ω1)中有一不動(dòng)點(diǎn)，即為問題(1)、(2)的正解，結(jié)論得證。

證明 反證:假設(shè)u是問題(1)、(2)的一個(gè)正解，則:

矛盾，故結(jié)論得證。

證明 反證:假設(shè)u是問題(1)、(2)的一個(gè)正解，則:

矛盾，故結(jié)論得證。

［1］ Samko SG，Kilbas A A，Marichev O I.Fractional Integrals and Derivatives:Theory and Applications［M］.Yverdon:Gordon and Breach Sci Publishers，1993.

［2］ Podlubny I.Fractional Differential Equations，in:Mathematics in Sciences and Engineering［M］.San Diego:Academic Press，1999.

［3］ Bai Zhanbing，Lv Haishen.Positive Solutions for Boundary Value Problem of Nonlinear Fractional Differential Equation［J］.JMath Anal Appl，2005，311:495－505.

［4］ El－shahed M.Positive Solutions for Boundary Value Problem of Nonlinear Fractional Differential Equation［J］.AIP Conf Proc，2009，1124:101－108.

［5］ Agarwal R P，O’Regan D，Stank S.Positive solutions for Dirichlet Problems of Singular Nonlinear Fractional Differential Equation［J］.JMath Anal Appl，2010，371:57－68.

［6］ Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations，in:North－Holland Mathematics Studies［M］.Amsterdam:Elsevier Science BV，2006.

［8］ Krasnosel’skill M A.Positive Solutions of Operator Equations［M］.Froningen:Noordhoff，1964.

［9］ SU Xinwei.Boundary Value Problem for a Couple System of NBonlinear Fractional Differential Equations［J］.App Math Lett，2009，22:64－69.