非線性熱傳導(dǎo)方程的Lagrange插值逼近

王天軍，賈麗蕊

(河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南洛陽(yáng)471003)

0 前言

對(duì)線性熱傳導(dǎo)方程通常用分離變量法求得精確解［1－3］;文獻(xiàn)［4］用差分及區(qū)域分解法數(shù)值求解一維熱傳導(dǎo)方程;文獻(xiàn)［5］用半離散差分格式數(shù)值求解一維熱傳導(dǎo)方程。而這些問(wèn)題都是Dirichlet邊界條件。實(shí)際上在科學(xué)和工程中經(jīng)常會(huì)遇到Neumann邊界條件，比如問(wèn)題(1)的求解。要求得問(wèn)題(1)的正確解往往是困難的。因此通常需要求它的數(shù)值解。文獻(xiàn)［6－7］分別給出了矩形區(qū)域上橢圓型方程N(yùn)eumann邊值問(wèn)題的Legendre譜方法數(shù)值求解和誤差分析。文獻(xiàn)［8］用Fourier變換方法求解波動(dòng)方程。但遺憾的是問(wèn)題(1)的數(shù)值求解目前尚未見到有關(guān)結(jié)果。本文將用Lagrange插值多項(xiàng)式作為基函數(shù)展開數(shù)值解，逼近有界桿上的非線性熱傳導(dǎo)Neumann邊值問(wèn)題的正確解。利用Lagrange插值多項(xiàng)式的一些性質(zhì)，可以很容易地求出算法格式中的微分矩陣，為實(shí)際計(jì)算帶來(lái)極大的便利，從而達(dá)到節(jié)省工作量的目的。

1 非線性熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值方法

1.1 Lagrange插值多項(xiàng)式的微分矩陣

令LN(x)，1≤x≤1，表示N階Legendre多項(xiàng)式，令x0=1，xN=1，xm(1≤m≤N1)是L'N(x)=0的根。以xm為節(jié)點(diǎn)的lagrange插值多項(xiàng)式為:

設(shè)pN(x)=umφm(x)，x∈［1，1］。對(duì)pN(x)關(guān)于x求一階導(dǎo)數(shù)，并令x=xk，k=0，1，2，…，N得:

這里D=(Dkm)是(N+1)(N+1)矩陣［910］，且有

進(jìn)一步，再對(duì)pN(x)求二階導(dǎo)數(shù)，得N

1.2 非線性熱傳導(dǎo)方程混合問(wèn)題的算法格式

為利用Legendre-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)求得(1)的數(shù)值解，作變換:x=y1，問(wèn)題(1)化為:

接下來(lái)用多項(xiàng)式:wN(x，t)=um(t)φm(x)，x∈［1，1］，逼近(6)的解。將其代入式(6)可得

等價(jià)地表示為:

記:

式(8)寫為矩陣形式為:

在任意時(shí)刻t，由式(9)得到X(t)，Y(t)，其中，M21(t)=(4a2/l2)A+B(t)，矩陣A=(akm)，B(t)= (bkm(t))都是(N1)×(N1)矩陣，其元素分別為:

2 數(shù)值結(jié)果

用格式(9)求解式(6)。在時(shí)間方向用步長(zhǎng)為τ的Crank-Nicolson格式離散有:

這里I是(N－1)×(N－1)單位矩陣。在式(1)中取a=1，b(x，t)≡1，問(wèn)題(1)的第一個(gè)方程即為著名的Fisher方程:

由文獻(xiàn)［11］，它的一個(gè)正確解為:

在式(6)中取l=2及:

3 結(jié)論

本文利用Legendre-Gauss-Lobatto點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值多項(xiàng)式為基函數(shù)，構(gòu)造多項(xiàng)式逼近有界桿上的非線性熱傳導(dǎo)方程N(yùn)eumann邊值問(wèn)題的正確解。利用Lagrange插值多項(xiàng)式的性質(zhì)，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為求解所構(gòu)造多項(xiàng)式的系數(shù)向量的常微分方程，這樣處理簡(jiǎn)化了非線性項(xiàng)的計(jì)算，在實(shí)際計(jì)算中節(jié)省大量工作;特別，解函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所對(duì)應(yīng)的微分矩陣恰好是一階導(dǎo)數(shù)所對(duì)應(yīng)的微分矩陣的乘積，使得算法格式簡(jiǎn)便，充分體現(xiàn)了所提算法的優(yōu)勢(shì)。這里所用方法也可用于有界區(qū)域上的其他非線性問(wèn)題。

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