部分線性變系數(shù)EV模型估計的漸近正態(tài)性

馮三營，?；莘?/p>

(洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南洛陽471022)

0 前言

考慮部分線性變系數(shù)模型:

其中，Y為一維響應(yīng)變量;X為p維協(xié)變量;Z為q維協(xié)變量;T為一維協(xié)變量;β為p維未知參數(shù)向量; α(T)=(α1(T)，…αq(T))τ是q維未知函數(shù)向量;ε是不可觀測的隨機誤差。

作為變系數(shù)模型和部分線性模型的推廣，模型(1)最近得到了廣泛的關(guān)注，已有大量學(xué)者進行了深入的研究，例如，文獻［1］基于局部多項式方法最早研究了該模型;文獻［2］利用小波方法估計了模型中的參數(shù)部分和非參數(shù)部分;文獻［3］基于局部線性方法提出了一種新的有效估計;文獻［4］提出了Profile最小二乘估計并且基于廣義似然比檢驗方法研究了該模型的檢驗問題。但在實際操作中，協(xié)變量X，Z往往帶有測量誤差。對協(xié)變量X帶有測量誤差的部分線性變系數(shù)模型，文獻［5］在測量誤差向量協(xié)方差陣已知的情形下，獲得了模型中參數(shù)和非參數(shù)部分的估計，并證明了估計量的相合性和漸近正態(tài)性。文獻［6］運用經(jīng)驗似然方法構(gòu)造了模型中參數(shù)的最大經(jīng)驗似然估計及其經(jīng)驗似然置信域，并證明了估計量的漸近正態(tài)性。對于協(xié)變量Z帶有測量誤差的部分線性變系數(shù)模型尚未見到相關(guān)文獻。

本文考慮協(xié)變量Z帶有測量誤差的部分線性變系數(shù)模型，運用局部糾偏方法和Profile最小二乘估計方法得到了模型中未知參數(shù)和未知系數(shù)函數(shù)的估計，并在適當(dāng)條件下研究了它們的漸近性質(zhì)，并對本文所提估計方法在有限樣本下的實際表現(xiàn)進行了數(shù)值模擬研究。

1 方法與主要結(jié)果

假設(shè)記錄數(shù)據(jù){Xi，Wi，Ti，Yi是來自以下模型的一組獨立同分布的可觀測隨機樣本，

其中，{εi}為相互獨立的模型誤差，且E(εi)=0，Var(εi)=σ2＜∞。測量誤差{ui}獨立同分布，其均值為0，協(xié)方差為Σu，且ui與(Xi，Zi，Ti，εi)相互獨立。

其中，K(·)為核函數(shù);且Kh(·)=K(·/h)/h，h為收斂于零的常數(shù)，稱之為窗寬。

記Y=(Y1，…，Yn)τ;ε=(ε1，…，εn)τ;ωT=diag(Kh(T1T)，…，Kh(TnT));X=(X1，…，Xn)τ;

由于Zi不可觀測，如果在式(5)中直接用Wi替代Zi，則得到的估計不再是相合估計。為了消除測量誤差造成的估計偏差，借鑒文獻［7］的思想，對式(5)進行如下的局部糾偏:

于是系數(shù)函數(shù){αj(·)，j=1，…，q}的估計為

A3.{αj(·)，j=1，…，q}關(guān)于T∈有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

A4.核函數(shù)K(·)為概率密度函數(shù)且具有緊支撐。當(dāng)n→∞時，nh2/log2n→∞，nh8→0。

A5.矩陣Γ(T)=E(Z1ZT )非退化。E(X1XT )和Φ(T)=E(Z1XT)均為Lipschitz連續(xù)。

Σ1=E(X1X)E(Φτ(T1)Γ1(T1)Φ(T1));A?2表示AAτ;→L表示依分布收斂。

定理2 設(shè)條件A1～A5成立，如果α(T)是系數(shù)函數(shù)真值，則

2 模擬研究

表1 參數(shù)β估計的均值、標準差與均方誤差

通過數(shù)值模擬試驗研究文中所得結(jié)論在有限樣本下的實際表現(xiàn)?？紤]模型:Y=Xτβ+Zτα(T)+ε，W=Z+u，這里β=(1，2)τ;系數(shù)函數(shù)α(t)=2t(1t);(Xτ，Z)τ服從多元正態(tài)分布，其均值向量為(1，1，1)τ;協(xié)方差陣(σij)滿足σij=0.5|ij|。T服從區(qū)間［0，1］上均勻分布，εN(0，1)，u服從均值為0方差為σ的正態(tài)分布。在下面的模擬中，分別取樣本容量 n=100，200，400，σ= 0.42，0.82。取核函數(shù)為Epanechnikov核K(t)=0.75(1t2)，窗寬采用Cross-Validation方法進行選擇，重復(fù)模擬2 000次，計算β重復(fù)估計對應(yīng)的均值(Mean)、標準差(SD)與均方誤差(MSE)。模擬結(jié)果見表1和圖1。對于系數(shù)函數(shù)α(t)，在此僅給出n=200，σ=0.42時的模擬結(jié)果，其他情形下的模擬效果圖和圖1類似。

圖1 n=200，σ=0.42時，α(t)的估計曲線(虛線)和真實曲線(實線)

3 定理的證明

引理1 若條件A1～A5成立，則當(dāng)n→∞時，

其中，j，j1，j2=1，…，q;k=0，1，2，4;Γj1j2(T)是矩陣Γ(T)的第(j1，j2)元素。

證明 見文獻［8］引理2的證明，此處省略。

引理2 若條件A1～A5成立，則

證明 見文獻［6］引理A.2的證明，此處省略。

引理3 令G1，…，Gn為i.i.d.隨機變量，若對任意s＞1，Es有界，則=o(n1/s)a.s.。

證明 見文獻［9］引理1的證明，此處省略。

引理4 若條件A1～A5成立，則

證明 類似于文獻［4］中引理7.2的證明可證明本引理，此處省略。

定理1的證明 由式(8)可知:

由引理1，引理2和引理3簡單計算可得

其中，ΨT=diag{((T1T)/h)2，…，((TnT)/h)2}。由引理1和引理2簡單計算可得:

又由引理1，引理2及定理1得(Iq0q){(D)τωTDΩ}1(D)τωTX(ββ)=Op(n1/2)，故

類似于文獻［7］中A4～A6式的證明，可得:

［1］ ZhangW，Lee SY，Song X.Local Polynomial Fitting in Semi-varying CoefficientModels［J］.JMultivariate Anal，2002，82: 166－188.

［2］ Zhou X，You JH.Wavelet Estimation in Varying-coefficient Partially Linear Model［J］.Stat Probab Lett，2004，68:91－104.

［3］ Xia Y C，ZhangW Y.Efficient Estimation for Semivarying-coefficientModel［J］.Biometrika，2004，91:661－681.

［4］ Fan JQ，Huang T.Profile Likelihood Inferences on Semi-parametric Varying-coefficient Partially Linear Models［J］.Bernoulli，2005，11(6):1031－1057.

［5］ You JH，Chen G M.Estimation of a Semi-parametric Varying-coefficient Partially Linear Errorsin-variables Model［J］.J Multivariate Anal，2006，97:324－341.

［6］ Wang X L，Li G R，Lin L.Empirical Likelihood Inference for Semi-parametric Varying-coefficient Partially Linear EV Models［J］.Metrika，2011，73(2):171－185.

［7］ You JH，Zhou Y，Chen G M.Corrected Local Polynomail Estimation in Varying Coefficient Models with Measurement Errors［J］.The Canadian Journal of Statistics，2006，34:391－410.

［8］ Xia Y C，LiW K.On the Estimation and Testing of Functional-coefficient Linear Models［J］.Statistics Sinica，1999，9:737－757.

［9］ Shi J，Lau T S.Empirical Likelihood for Partially Linear Models［J］.JMultivariate Anal，2000，72(1):132－148.

［10］ Li L，Greene T.Varying Coefficients Model with Measurement Error［J］.Biometrika，2007，84:1－8.

［11］ Xue LG，Zhu L X.Empirical Likelihood for a Varying Coefficient Model with Longitudinal Data［J］.JAm Statist Ass，2007，102:642－654.