利用極大子群的正規(guī)指數(shù)判定有限群的可解性

王軍霞

（中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）數(shù)理學(xué)院，湖北 武漢430074）

利用極大子群的正規(guī)指數(shù)判定有限群的可解性

王軍霞

（中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）數(shù)理學(xué)院，湖北 武漢430074）

從幾類特殊的極大子群出發(fā)，利用極大子群的正規(guī)指數(shù)來刻劃有限群G的可解性.

有限群；極大子群；正規(guī)指數(shù)；可解性

1 引言與定義

極大子群在討論有限群的結(jié)構(gòu)中有著非常重要的作用，通過賦予有限群的極大子群一些條件，考察這些條件對群結(jié)構(gòu)的影響，在單群分類定理完成之后其研究地位更顯突出.Deskins 1959年在文獻［1］中提出有限群的極大子群的正規(guī)指數(shù)的概念.J.C.Beidman和A.E.Spencer在文獻［2］中對正規(guī)指數(shù)的性質(zhì)作了進一步的研究，給出：若N?G，M＜·G且N≤M，則η（G／N∶M／N）＝η（G∶M）.這一結(jié)果為利用歸納法證明限群的性質(zhì)提供了理論依據(jù).N P Mukherjee，Prabir Bhattaharya在文獻［3］及文獻［4］兩文中利用正規(guī)指數(shù)對有限群的可解，p－可解，冪零，p－冪零及超可解等性質(zhì)作了廣泛的研究.

本文中從幾類特殊的極大子群出發(fā)，利用極大子群的正規(guī)指數(shù)來刻劃有限群G的可解性，得到幾個定理.

定義1.1［1］給定群G及其極大子群M（記為M＜·G）.令H／K是G的一個主因子，滿足G＝MH并且H有盡可能小的階，H／K的階叫做M在G中的正規(guī)指數(shù)，記作η（G∶M）.

定義1.2［5］設(shè)G是有限群，若G≠1，令φ（G）為G的所有極大子群的交；而若G＝1，令φ（G）＝1，稱φ（G）為G的Frattini子群或G的φ子群.

令G是一個有限群，為方便起見，我們引入下列極大子群的集合：F1（G）＝｛M｜M＜·G且M包含G的某個西洛子群的正規(guī)化子｝；F2（G）＝｛M｜M∈F1（G）且｜G∶M｜p＝1，p為｜G｜的某個固定素因子｝，其中｜G∶M｜p表示｜G∶M｜的p－部分；F3（G）＝｛M｜M為G的c－極大子群且M非冪零｝，其中M為G的c－極大子群表示｜G∶M｜為合數(shù)；F4（G）＝｛M｜M為G的c－極大子群且｜G∶M｜p＝1，p為｜G｜中最大素因子｝；F5（G）＝｛M＜·G｜｜G∶M｜≠pi，?素數(shù)p，i＝1，2｝.

定義G的5個特征子群如下：φ1（G）＝∩｛M｜M∈F1（G）｝，φ2（G）＝∩｛M｜M∈F2（G）｝，φ3（G）＝∩｛M｜M∈F3（G）｝，φ4（G）＝∩｛M｜M∈F4（G）｝，φ5（G）＝∩｛M＜·G｜M∈F5（G）｝.

若F1（G）為空集，則定義φ1（G）＝G，對其他4個集合也可以同樣定義.顯然這幾個集合都包含φ（G）.文獻［6］指出φ1（G）冪零，φ2（G），φ5（G）可解，φ3（G）可解（見文獻［7］，φ4（G）亦可解（見文獻［8］）.

引理1.1［9］設(shè)N?G，P∈Sylp（N），則存在Gp∈Sylp（G），使得NG（Gp）?NG（P）.

引理1.2［5］設(shè)N?G，p為G的素因子，P為｜G｜的一個p－子群，則NG（P）N／N≤NG／N（PN／N），且當（｜N｜，p）＝1時等號成立.

引理1.3［1］群G可解當且僅當對于G的每一個極大子群M都有η（G∶M）＝｜G∶M｜.

引理1.4［10］設(shè)G是含有冪零極大子群M的非可解群，U為M的2－補，則U?G，Z（U）?Z（G），G／Z（U）?G／U×U／Z（U），且G／U非可解，其中Sylow2－群均為極大子群.若Z（G）＝1，則M為G的Sylow2－群.

引理1.5［11］如果G存在核為1的極大子群，則下面3者等價：（1）G中存在一個非平凡的可解正規(guī)子群；（2）G中存在唯一極小正規(guī)子群，每一個含于F1（G）中且在G中核為1的G的極大子群，在G中的指數(shù)有一個共同的素因子；（3）G中所有核為1的極大子群在G中的指數(shù)為素數(shù)方冪.

2 主要定理及其證明

定理2.1G可解當且僅當任意M∈F2（G）都有η（G∶M）＝｜G∶M｜成立.

定理2.1的證明 必要性由引理3知顯然.下面證明定理的充分性.

若F2（G）＝?，則令G＝φ2（G）可解，故可設(shè)F2（G）≠?.若G為非交換單群，根據(jù)題設(shè)條件對任意M∈F2（G），有η（G∶M）＝｜G｜＝｜G∶M｜成立.故M＝1，G為素數(shù)階循環(huán)群，故G可解.

以下令G為非單群，令N為G的極小正規(guī)子群，考慮G／N：對任意M／N∈F2（G／N），由NG（Q）N／N≤NG／N（QN／N）≤M／N，其中Q∈Sylq（G），得NG（Q）N／N≤M／N，即NG（Q）≤M，且｜G／N∶M／N｜p＝｜G∶M｜p＝1，從而M∈F2（G），由題設(shè)η（G∶M）＝｜G∶M｜，故η（G∶M）＝η（G／N∶M／N）＝｜G／N∶M／N｜＝｜G∶M｜，再由歸納假設(shè)可得G／N可解.如果N1，N2是G中互異的兩個極小正規(guī)子群，由G／N1，G／N2可解得G＝G／N1∩N2可解.所以不妨設(shè)N為G的唯一極小正規(guī)子群.

若N≤φ1（G），由φ1（G）冪零知N可解，從而G可解.以下假設(shè)N不包含在φ1（G）中，那么存在M∈F1（G）使得G＝MN.如果｜G∶M｜p≠1，由｜N｜＝｜G∶M｜·｜M∩N｜得｜N｜p≠1.設(shè)P1∈Sylp（N），由Frattini論斷，得G＝NNG（P1）.若NG（P1）＝G，則P1正規(guī)于G.又N為唯一極小正規(guī)子群，根據(jù)P1≤N且N≤P1得P1＝N，由P1的可解性知N可解，從而G可解.故可設(shè)P1不正規(guī)于G，設(shè)存在M1使得NG（P1）≤M1＜·G，由引理1存在Gp∈Sylp（G）使得NG（Gp）≤NG（P1）≤M1，所以｜G∶M1｜p＝1，從而M1∈F2（G）.注意到G＝M1N，N為G的唯一極小正規(guī)子群，有η（G∶M1）＝｜N｜，所以η（G∶M1）p＝｜G∶M1｜p＝｜N｜p＝1與｜N｜p≠1相矛盾，所以｜G∶M｜p＝1，故M∈F2（G），由題設(shè)η（G∶M）＝｜G∶M｜＝｜N｜，而由G＝MN知M∩N＝1，而N為G中唯一極小正規(guī)子群，所以CoreM＝1，根據(jù)引理4，G中存在非平凡的可解正規(guī)子群，而N是G中唯一極小正規(guī)子群，故N可解，從而G可解.

定理2.2G可解當且僅當對任意M∈F3（G）都有η（G∶M）＝｜G∶M｜.

定理2.2的證明 必要性由引理3知顯然.下面只需證明充分性.

若F3（G）＝?，則令φ3（G）＝G，根據(jù)郭秀云教授的結(jié)論：G的每一個c－極大子群冪零，則G可解.所以可令F3（G）為非空集.若G為非交換單群，對于任意的M∈F3（G），由題設(shè)可知η（G∶M）＝｜G∶M｜＝｜G｜，故G為素數(shù)階循環(huán)群，因而G可解.

因此以下可設(shè)G不是非交換單群.設(shè)G為極小階反例，N為G的極小正規(guī)子群.對任意的M／N∈F3（G／N），由M／N非冪零知M非冪零.又由｜G／N∶M／N｜＝｜G∶M｜知M∈F3（G），由題設(shè)η（G∶M）＝｜G∶M｜，根據(jù)η（G／N∶M／N）＝η（G∶M），得出η（G／N∶M／N）＝｜G／N∶M／N｜，由極小階反例知G／N可解.若N1，N2為G的兩個互不相同的極小正規(guī)子群，則由上面的證明知G／N1，G／N2均可解，從而G／N1∩N2可解.由N1∩N2＝1可知G可解.

所以進一步假設(shè)N為G中的唯一極小正規(guī)子群.若N≤φ3（G），由φ3（G）可解知N可解，從而G可解，這與G為極小階反例矛盾.所以N不包含于φ3（G），從而存在G的非冪零合數(shù)極大子群M，使得N不是M的子群，從而有G＝MN且CoreM＝1，故η（G∶M）＝｜N｜＝｜G∶M｜為合數(shù).對任意L＜·G且CoreL＝1，則G＝LN，從而有η（G∶L）＝｜N｜，而｜G｜＝｜LN｜＝｜L｜｜N｜／｜L∩N｜，所以｜G∶L｜＝｜N｜／｜L∩N｜.如果｜G∶L｜＝t為素數(shù)，則t＜p（p為｜G｜中最大素因子）.通過考慮G關(guān)于L的t個陪集的置換表示，并使用CoreL＝1這個事實，我們得出G的階整除t！，這與p｜｜G｜和t＜p矛盾，因此｜G∶L｜是合數(shù).

如果L為冪零極大子群，由Deskins－Jankn－Thompson定理，可設(shè)L為偶數(shù)階冪零極大子群.令U為L的2′－Hall子群，若U＝1，則L為G的2－子群.如果L不是G的西洛2－群，由西洛定理，存在P∈Syl2（G）使得L＜P≤G，這與L＜·G矛盾，故L是G的西洛2－子群.又因為L≤NG（L），L＜·G，CoreL＝1，所以L＝NG（L），這時｜G∶L｜＝｜G∶NG（L）｜≡1（mod2），故L中含有G中的一切2－元.令K＝〈k2＝1｜k∈G〉，故K特征于G.因為K≤L，而N是G中唯一極小正規(guī)子群，所以N≤L，這與CoreL＝1矛盾.若U≠1，根據(jù)引理4知U?G，這時U≤L，又與CoreL＝1矛盾.因為L為G的非冪零極大子群，且｜G∶L｜為合數(shù)，即L∈F3（G）.根據(jù)題設(shè)條件，η（G∶L）＝｜G∶L｜＝｜N｜，根據(jù)引理5知G中存在非平凡的可解正規(guī)子群，又N為G的唯一極小正規(guī)子群，可知N可解，從而G可解.這與G為極小階反例相矛盾，故極小階反例不存在，所以G可解.

定理2.3G可解當且僅當對任意M∈F4（G）都有η（G∶M）＝｜G∶M｜.

定理2.3的證明 必要性由引理3知顯然.下面只需證明充分性.

若F4（G）＝?，則G＝φ4（G）.由φ4（G）的可解性知G可解，以下考慮F4（G）≠?的情形.若G為非交換單群，則任意M∈F4（G）都有η（G∶M）＝｜G∶M｜，所以｜M｜＝1，矛盾，故G為非單群.

令N為G的一個極小正規(guī)子群，對｜G｜用歸納法.任意M∈F4（G）且N≤M，則由｜G∶M｜＝｜G／N∶M／N｜知M／N∈F4（G／N），又因為η（G／N∶M／N）＝η（G∶M），所以η（G／N∶M／N）＝｜G／N∶M／N｜，由歸納假設(shè)G／N可解.再設(shè)N1，N2為G的兩個互不相同的極小正規(guī)子群，則由上面的證明知G／N1，G／N2均可解，從而G／N1∩N2也可解，由N1∩N2＝1可知G可解.

所以下面不失一般性，假設(shè)N為G的唯一極小正規(guī)子群.若N≤φ4（G），則由φ4（G）的可解性知N可解，從而G可解.若N不是φ4（G）的子群則存在M∈F4（G）使得N也不是M的子群，從而G＝MN并且有CoreM＝1，而且根據(jù)正規(guī)指數(shù)的定義知η（G∶M）＝｜N｜，所以由題設(shè)η（G∶M）＝｜G∶M｜＝｜N｜，即｜N｜p＝1.設(shè)L是G的任一滿足CoreL＝1的極大子群，則G＝LN且η（G∶L）＝｜N｜.如果｜G∶L｜＝t為素數(shù)，則t＜p，通過考慮G關(guān)于L的t個陪集的置換表示，并使用CoreL＝1這個事實，我們得出G的階整除t！，這與p整除｜G｜和t＜p矛盾，因此｜G∶L｜是合數(shù).而又因為｜G∶L｜｜｜η（G∶L｜即｜G∶L｜｜｜N｜而｜N｜p＝1，所以｜G∶L｜p＝1，從而L∈F4（G），由題設(shè)｜G∶L｜＝η（G∶L），所以｜G∶L｜＝｜N｜，故G的任一滿足核為1的極大子群在G中的指數(shù)有共同的素因子，所以G存在一個可解正規(guī)子群K，由N的唯一極小性知N≤K，從而N可解，由N和G／N的可解性知G為可解群.

定理2.4G可解當且僅當對于G的每個極大子群M∈F5（G），η（G∶M）等于素數(shù)的方冪.

定理2.4的證明 必要性顯然.因為G可解，則G的極大子群的指數(shù)都為素數(shù)方冪.同樣因為G可解，對于G的任意極大子群都有η（G∶M）＝｜G∶M｜，所以結(jié)論顯然成立.

下面只需證明充分性.對｜G｜用歸納法：若F5（G）＝?，即對于群G的每個極大子群的指數(shù)等于素數(shù)或素數(shù)的平方，應(yīng)用P Hall定理知G可解.故設(shè)F5（G）≠?.若G為單群時，則對于G的任意極大子群M∈F5（G），η（G∶M）＝｜G｜，則｜G｜為素數(shù)方冪，于是G可解.故G為非單群，令N為G的極小正規(guī)子群，下證G／N可解.

若F5（G／N）＝?，G／N已可解.故假設(shè)任意M／N∈F5（G／N），則M∈F5（G）.由題設(shè)知η（G∶M）＝η（G／N∶M／N）等于素數(shù)的方冪，即G／N滿足定理的條件.由歸納法知G／N可解.假設(shè)N1，N2為G的兩個互異極小正規(guī)子群，由上面的證明知G／N1，G／N2均可解，從而G／N1∩N2也可解，由N1∩N2＝1知G可解.所以可以假設(shè)N是G的唯一極小正規(guī)子群.下證N的可解性.

若N≤φ5（G），則N可解，從而G可解.否則即N不是φ5（G）的子群，即?L∈F5（G）使得N不是L的子群，則G＝NL，且CorelL＝1.于顯然有η（G∶L）＝｜N｜等于素數(shù)的方冪，所以N可解，從而G可解.

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Using normal index of maximal subgroups to verdict the solvability of finite groups

WANG Junxia
（Department of Mathematics and Physice，China University of Geoscienses，Wuhan 430074，China）

The solvability of finite group was characterized by using normal index of several kinds of maximal subgroups which ware defined by the author of this paper.

finite group；maximal subgroup；normal index；the solvability

O153.1

A

1000－2375（2011）02－0221－03

2010－05－10

王軍霞（1977－），女，博士生，講師

（責(zé)任編輯 肖鏗）