基于二次分形插值函數(shù)的分形插值曲面的變差與盒維數(shù)

黃艷麗,馮志剛

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212013)

0 前言

分形插值曲面是分形幾何理論中的一個(gè)重要內(nèi)容,在圖形與圖像處理、材料科學(xué)、地理地質(zhì)科學(xué)及計(jì)算機(jī)動畫仿真等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。

在矩形區(qū)域中,一般通過構(gòu)造二元迭代函數(shù)系生成分形插值曲面[1-3],但有嚴(yán)格的限制條件。文獻(xiàn)[4]給出了矩形區(qū)域上分形插值曲面更加一般的連續(xù)性條件,但這一條件也過于苛刻,且在實(shí)際應(yīng)用中不易判別。文獻(xiàn)[5]中應(yīng)用一元遞歸分形插值函數(shù)生成分形插值曲面,并給出了這類插值曲面盒維數(shù)的一個(gè)下界估計(jì),這種方法解除了邊界插值結(jié)點(diǎn)共線和壓縮因子相等的限制條件,使得分形插值更具靈活性,更有利于實(shí)際應(yīng)用。

本文研究了由二次分形插值函數(shù)生成的分形插值曲面的變差與盒維數(shù)。第 1節(jié)介紹了基于二次插值函數(shù)的分形插值曲面的構(gòu)造方法;第 2節(jié)給出了連續(xù)函數(shù)中心變差的概念,以及連續(xù)函數(shù)圖像的盒維數(shù)的計(jì)算公式;第 3節(jié)研究了分形插值函數(shù)的中心變差的性質(zhì),對分形插值曲面的的中心變差進(jìn)行了估計(jì),并利用二元連續(xù)函數(shù)的中心變差與其圖像計(jì)盒維數(shù)之間的關(guān)系,得到了分形插值曲面的計(jì)盒維數(shù)。

1 基于二次分形插值函數(shù)的分形插值曲面的構(gòu)造

設(shè)I=[0,1],J=[0,1],△={(xi,yj,zij):i=0,1,…,N;j=0,1,…,M}為I×J上的插值結(jié)點(diǎn),其中,0=x0＜x1＜…＜xN=1;0=y0＜y1＜…＜yM=1。記Ii=[xi-1,xi],Jj=[yj-1,yj]和K= J×R。對于i=0,1,2,…,N,假設(shè)ui(y),y∈J,分別是過插值結(jié)點(diǎn)△xi={(xi,yj,zij):j=0,1,2,…,M}的一組連續(xù)函數(shù)?，F(xiàn)給定壓縮因子集S={s1,s2,…,sN},其中,＜1,i=1,2,…,N。

固定y∈J,對于i=1,2,…,N,令Fy,i(x,z)=siz+by,ix2+cy,i滿足條件:

定義映射wy,i:K→K,

其中,ai=xi-xi-1;ei=xi-1。由條件(1)可得:

易證 wy,i在此度量下是壓縮映射。則由文獻(xiàn)[6]可得下面的定理。

定理1 對y∈J=[0,1],{K,wy,i,i=1,2,…,N}構(gòu)成雙曲迭代函數(shù)系,且存在I上的連續(xù)函數(shù)fy,使得fy的圖像Γ(fy)={(x,fy(x))}是迭代函數(shù)系{K,wy,i,i=1,2,…,N}的不變集,即Γ=∪wy,i(Γ),并且fy(xi)=ui(y),i=1,2,…,N,稱fy是對應(yīng)于{K,wy,i,i=1,2,…,N}的二次分形插值函數(shù)。

定義函數(shù)F:[0,1]×[0,1]→R,使得F(x,y)=fy(x)。 (4)

引理1[7]設(shè)fy、fy′分別為過插值集△y={(xi,y,ui(y)):i=0,1,…,N},△y′={(xi,y′, ui(y′)):i=0,1,…,N}的分形插值函數(shù),且有相同的壓縮因子S={s1,s2,…,sN},則:

引理2 F為式(4)定義的二元連續(xù)函數(shù),則F連續(xù)。

又ui連續(xù),則＜δ2時(shí),?ε＞0, max{＜) ε。所以,

2 連續(xù)函數(shù)的中心變差與計(jì)盒維數(shù)公式

連續(xù)函數(shù)的變差是量化函數(shù)圖像粗糙性質(zhì)的一個(gè)重要參數(shù),對于變差的性質(zhì)及它與分形維數(shù)的關(guān)系有了較多的研究,參見文獻(xiàn)[8-9]。為了方便以后的研究,下面給出中心振幅與中心變差的定義。

設(shè)D={ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn):ai≤ξi≤bi,i=1,2,…,n}?Rn,任給ξ∈D,令

D[ξ;δ1,δ2,…,δn]=D∩([ξ1-δ1,ξ1+δ1]×[ξ2-δ2,ξ2+δ2]×…×[ξn-δn,ξn+δn])。

由振幅的定義,顯然振幅與中心振幅有下面關(guān)系:

容易得到計(jì)盒維數(shù)與中心變差的關(guān)系。

定理2 設(shè)Γ(f,D)是連續(xù)函數(shù)f的圖像,則:

3 二元分形插值函數(shù)的中心變差與計(jì)盒維數(shù)

引理3 設(shè)fy是定理1確定的分形插值函數(shù),則(I)在J上關(guān)于y連續(xù)。

證明 Γ={fy:y∈J}?C([0,1])在＜C[0,1],∞＞上緊,則 Γ等度連續(xù),即對每一x0∈I, ε＞0,?δ＞0,若＜δ,對?y∈J,

引理4 若對于某一yc∈J,插值結(jié)點(diǎn){xi,ui(yc),i=0,1,…,N}不共線,則存在閉區(qū)間[a,b]?J,對于任意y∈[a,b],插值結(jié)點(diǎn){xi,ui(y),i=0,1,…,N}均不共線。

證明 因?yàn)閧xi,ui(yc),i=0,1,…,N}不共線,存在i0∈{1,…,N-1},使得h(yc)≠0,其中, h(y)=ui0(y)-[u0(y)+(uN(y)-u0(y))xi0]。由于ui0(y)、u0(y)和uN(y)均為區(qū)間J上的連續(xù)函數(shù),從而h(y)在J上也連續(xù)。因此,存在閉區(qū)間[a,b]?J,對于任意y∈[a,b],函數(shù)h(y)≠0。所以,當(dāng)y∈[a,b]時(shí),點(diǎn)集{xi,ui(y),i=0,1,…,N}均不共線。引理證畢。

定理3 F是由式(4)定義的二元連續(xù)函數(shù),對于任意0≤a＜b≤1有:

則:

定理4 F∶[0,1]×[0,1]→R是連續(xù)函數(shù),Γ(F,D)是它的圖像,設(shè)max dimB(fy)=d1,y∈J, max{dimB(ui),i=1,2,…,N}=d2且d1≥d2,則:

再由定理2和定理3得:

[1] Robert M.The MinkowskiDimension of the Bivartiate Fractal Interpolation Surfaces[J].Chaos,Solition and Fractal,2006, 27:1147-1156.

[2] 徐惠,馮志剛.一類分形插值函數(shù)的變差和計(jì)盒維數(shù)[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2008,25(4):444-447.

[3] 江镅,馮志剛.一類多參數(shù)分形插值曲面[J].成都信息工程學(xué)院學(xué)報(bào),2009,24(6):616-618.

[4] Feng Zhigang.Variation and Minkowski Dimension of Fractal Interpolation Surface[J].Journal of Mathematical Analysis and App lication,2008,345(1):322-334.

[5] Bouboulis P,Dalla L.Fractal Interpolation Surfaces Derived from Fractal Interpolation Functions[J].JournalofMathematical Analysis and App lication,2007,336:919-936.

[6] 沙震,阮火軍.分形與擬合[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2005.

[7] Feng Z,Xie H.On Stability of Fractal Interpolation[J].Fractals,1998,6(3):269-273.

[8] 文志英.分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2000.

[9] 馮志剛,王磊.分形插值函數(shù)的δ-變差的性質(zhì)[J].江蘇大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,26(1):49-52.