一類包含P(x)-Laplace算子的偏微分方程解的存在性

顧建軍，王曉明

（1.常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇常熟 215500；2.無錫工藝職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇宜興 214206）

一類包含P(x)-Laplace算子的偏微分方程解的存在性

顧建軍1，王曉明2

（1.常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇常熟 215500；2.無錫工藝職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，江蘇宜興 214206）

研究變指數(shù)Sobolev空間中一類包含P(x)-Laplace算子的非線性問題．利用變指數(shù)Lebesgue和Sobolev空間理論框架，驗證Palais-Smale緊性條件，并結(jié)合山路定理和變分法證明方程弱解的存在性．

P(x)-Laplace算子；變指數(shù)空間；Palais-Smale緊性條件；山路定理

0 引言及預(yù)備知識

包含具變指數(shù)增長條件的算子的微分方程和變分問題在數(shù)學(xué)物理，特別是彈性力學(xué)、流體動力學(xué)中有著重要的作用[1-3].變指數(shù)Lebesgue和Sobolev空間，即Lp(x)(Ω)和Wm,p(x)(Ω)空間理論的發(fā)展推動了對這些應(yīng)用的進一步研究．關(guān)于變指數(shù)空間理論可見文獻[4,5].

本文考慮以下問題：

其中Ω?RN,(N≥3)為具光滑邊界的有界區(qū)域，λ＞0為實數(shù)．令m(x)=max{p1(x),p2(x)}.我們將證明在廣義Sobolev空間W1,m(x)(Ω)中問題(Pλ)的非平凡弱解的存在性．在問題(Pλ)中當(dāng)p2(x)≡2時，算子退化為Δp(x)u=div((|?u|p(x)-2)?u)，該問題近十年來已被廣泛地研究，并取得了一些好的結(jié)果[6-9].

下面給出一些記法及空間的定義及性質(zhì)．

命題0.3[4,5]下列結(jié)論等價：

命題0.4[10]

命題0.5[4,5]

引理0.7[11]（山路定理）令E為Banach空間,I∈C1(E,R),滿足Palais-Smale條件，設(shè)I(0)=0,且存在實數(shù)ρ＞0及u,v∈E，使得

1 主要結(jié)論

2 定理1.2的證明

定理1.2的證明將主要依賴于驗證以下Palais-Smale緊性條件和利用山路定理．

定理2.1（驗證Palais-Smale條件）

設(shè)λ滿足定理2.1的條件.如{un}?E為一序列滿足以下條件:

由于m+＜h-,有Jλ(tω)→-∞.

定理1.2的證明

由山路引理Jλ(u)取得極值β＞α.Jλ'(un)→Jλ'(u),所以Jλ'(u)=0,為問題(Pλ)的一個弱解，又Jλ(u)＞0,所以為非平凡弱解，證畢．

令G={g∈C([0,1],E):g(0)=0,g(1)=v},其中由定理2.2命題2）,?v∈E,設(shè)

[1]Acerbi E,Mingione G.Regulary results for a class of functionals with nonstandard growth[J].Arch Rtional Mech Anal,2001,156: 121-140.

[2]Diening L.Theorical and numerical results for electrorheological fluids[D].Frieburg:University of frieburg,2002.

[3]Halsey T C.Electrorheological fluids[J].Science,1992,258:761-766.

[4]Fan X L,Zhao D.On the spacesLp(x)(Ω)andWm,p(x)(Ω)[J].J Math Anal Appl,2001,263:424-446.

[5]Kovacik O,Rakosnik J.On spacesLp(x)(Ω)andWm,p(x)(Ω)[J].Czechoslovak Math J,1991,41（4）:592-618.

[6]Alves C O,Souto M A S.Existence of solutions for a class of problems involving the p（x）-Laplacian[J].Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications,2005,66:17-32.

[7]Fan X L,Zhang Q H.Existence of solutions for p（x）-Laplacian Dirichlet problem[J].Non-linear Anal,2003,52:1843-1852.

[8]Fan X L,Zhang Q H,Zhao D.Eigenvalues of p（x）-Laplacian Dirichlet problem[J].J Math Anal Appl,2005,302:306-317.

[9]Zhang Q.A strong maximum principle for differential equations with nonstandard p（x）growth conditions[J].J Math Anal Appl, 2005,312:24-32.

[10]Cekic B,Mashiyev R A.Existence and localization results for p（x）-Laplacian via topological methods[J].Fixed Point Theory and Applications,2010,2010:1-7.http://www.hindawi.com/journals/fpta/2010/120646/cta/.

[11]Willem M.Minimax Theorems[M].Boston:Birkhauser,1996.

Existence of Solutions for a Class of Partial Differential Equations Involving p(x)-Laplace Type Operator

GU Jian-jun1,WANG Xiao-ming2

（1.School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China; 2.Dept.of Basic Courses,Wuxi Institute of Arts&Technology,Yixing 214206,China）

This paper studies a class of nonlinear problems involving p(x)-Laplace type operator in variable exponent sobolev spaces.Our approach relies on the variable exponent theory of Lebesgue-Sobolev spaces,combined with Palais-Smale condition,mountain pass theorem and some adequate variational methods.

p(x)-Laplace operator;variable exponent spaces;Palais-Smale condition;mountain pass theorem

O175.2

A

1008-2794（2010）10-0019-05

2011-05-20

常熟理工學(xué)院青年教師科研啟動基金（ky2009107）資助項目.

顧建軍（1979—），男，江蘇揚州人，常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院講師，碩士，研究方向：偏微分方程控制論.