基于雙樹復小波變換與非線性擴散的圖像去噪

武 偉， 王宏志

（長春工業(yè)大學計算機科學與工程學院，吉林長春 130012）

0 引 言

基于偏微分方程的圖像處理是近年來研究的一個熱點[1-6]，其來源于物理學中的熱傳導，結合變分方法、泛函分析、微分幾何等數學工具，建立和偏微分方程相關的模型，使其在圖像分割、圖像平滑、圖像識別等圖像處理領域得到了廣泛的應用。其中非線性擴散方程是圖像去噪領域中應用最為廣泛的模型，由Perona和Malik[4]于1990年提出，該非線性擴散模型根據圖像梯度對圖像進行不同程度的平滑濾波，具有各向異性。隨著研究的深入，人們發(fā)現經典P-M方法雖然在特征保持方面成果顯著，但從數學模型的觀點看，其模型卻存在一定缺陷，由于擴散函數是基于圖像梯度計算出來的，從而對噪聲很敏感，一旦噪聲強度加大，在濾除噪聲的同時，對圖像的視覺破壞也相當嚴重。因此，人們對P-M模型進行了大量的改進。

文獻[7]得到正則化后的P-M擴散方程; Whitaker和 Pizer[8]，Weickert[9]以及 Carmona[10]等改進了P-M 擴散模型;2000年，Chen[11]等得到了較好的非線性擴散模型。在同樣的理論框架下，Osher與 Rudin[12-13]關于沖擊濾波器（Shock Filter）和Rudin，Osher，Fatemi[14]關于全變差去噪的研究工作顯示了理解偏微分方程在圖像處理中應用的必要性與重要性。

雙樹復小波變換是為克服通常的離散小波變換的缺陷而提出的。當對應小波基（近似）滿足Hilbert變換關系時，雙樹復小波變換能夠極大地減小通常的實小波變換中的平移敏感性，改善方向選擇性。這些優(yōu)點使雙樹復小波變換在圖像去噪領域得到了廣泛的應用。

1 雙樹復小波變換

傳統(tǒng)的離散小波變換存在平移敏感性和缺乏方向選擇性等缺點，為了克服這些缺點，Kingsbury[15-16]等提出了雙樹復小波變換（DT CWT）。雙樹復小波變換采用了二叉樹架構的兩路DWT，一樹生成變換的實部，一樹生成虛部，如圖1所示。

圖1 雙樹復小波變換

Kingsbury的思路是:對于第一層分解，如果兩樹濾波器之間的延遲恰是一個采樣間隔，那么就可以確保b樹中第一層的二抽取正好采樣到a樹中因二抽取所丟掉的采樣值（這樣就等價于沒進行二抽取，而且非常易于實現，如在b樹前加一個采樣周期延遲即可）;對于以后的各層分解，為了保證兩樹在該層和所有前層上產生的延遲差的總和相對于原始輸入為一個采樣周期，兩樹對應濾波器的相頻響應之間應有半個采樣周期的群延遲，且兩濾波器的幅頻響應相等。為了保證線性相位而采用雙正交小波變換，Kingsbury要求一樹的濾波器為奇數長，另一樹的濾波器為偶數長。如果在每樹的不同層次間交替采用奇偶濾波器，那么這兩樹就會呈現好的對稱性。

2 非線性擴散方程

Perona和Malik[4]提出了一種非線性擴散方程，該方程通過時間變化的更新（即迭代）使得圖像逐漸平滑，從而達到去除噪聲的目的。其數學表達式為:

式中:

其中，▽u是圖像的梯度，定義為:

div（v）為散度，定義為:

一般情況下，擴散函數c是圖像的梯度函數，隨著梯度的增加而單調下降，見式（2）。該擴散系數決定了擴散進行的方式，提供了一種局部自適應的擴散控制策略，使得擴散盡可能在噪聲的位置進行，而在圖像的邊緣位置停止。

P-M方程的離散形式為:

這樣P-M方程作用于圖像的模板為:

這里像素s的權值不再是個固定值，而是跟像素s的空間位置有關，如果像素位于梯度大的位置，由于c（x，y，t）是以|▽u（x，y，t）|為變量的單調下降函數，所以其相應的權值就會小，平滑力度就弱;反之，如果像素位于梯度小的位置，其平滑力度就強。而圖像的邊緣通常是梯度較大的，而其它區(qū)域梯度較小，所以，P-M方程能在保留甚至加強邊緣的情況下實現對圖像噪聲的去除。

3 雙樹復小波變換與非線性擴散結合去噪

1999年，Kingsbury[15]提出了DT-CWT變換，它具有以下特點:近似平移不變性，良好方向選擇性，有限數據冗余，高效計算效率，較好重構效果等。DT-CWT變換可以通過2棵離散小波樹（Tree a，Tree b）并行實現實部和虛部運算（見圖1）。2棵樹分別作用于圖像的行和列，產生雙樹結構。每級分解后得到2個低頻帶（低頻部分用于產生下一尺度上的低頻與高頻部分），同時得到6個方向（±15°，±45°，±75°）的高頻子帶，可以更好地描述紋理和邊緣等細節(jié)特征。

利用雙樹復小波在紋理和邊緣等細節(jié)處理的優(yōu)點，結合非線性擴散濾波提出了一種新的圖像去噪方法。首先對噪聲圖像進行雙樹復小波分解，生成6個方向的高頻子帶圖像，然后針對這些子帶圖像復小波系數矩陣的不同特點進行非線性擴散。最后進行雙樹復小波逆變換，得到最終濾波后的圖像。

算法的主要步驟如下:

步驟1:對圖像進行一次雙樹復小波變換。設二維圖像 u（x，y）分解后的低頻子帶圖像為AL1，AL2;高頻子帶圖像分別為WH1，WH2，WH3，WH4，WH5，WH6。

步驟2:將得到的高頻子帶圖像分別進行非線性擴散濾波。

步驟3:用非線性擴散濾波處理后的高頻子帶圖像進行雙樹復小波逆變換重構原圖像。

4 實驗分析

實驗選取256×256的灰度圖像作為仿真圖像，以PSNR（peak signal-to noise ration）來評價圖像質量。加入均值為0，方差為σ的高斯噪聲，分別采用雙樹復小波、非線性擴散、文中方法進行去噪，得到的圖像如圖2所示。

圖2 三種方法去噪后的圖像

閾值參數取0.05，非線性擴散的時間空間步長分別為t=0，h=1，迭代次數50，這里閾值參數是根據多次實驗結果選取的最佳值，為了體現算法的有效性，同時盡量降低計算復雜度，所以迭代次數為50，實驗結果見表1。

表1 采用三種去噪方法的PSNR比較

5 結 語

利用雙樹復小波與非線性擴散的優(yōu)點，將兩者結合提出了一種混合去噪方法。通過實驗分析，該方法優(yōu)于傳統(tǒng)的雙樹復小波和非線性擴散法，能更好地去除噪聲并保留圖像的邊緣和細節(jié)等信息。實驗驗證了算法的有效性。

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