有理四次樣條曲線的點控制

唐 爍， 徐 剛

（合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，安徽合肥 230009）

樣條插值是計算機輔助幾何設(shè)計中的強有力工具，研究人員已經(jīng)研究了不少類型的樣條插值用于幾何造型的控制設(shè)計［1－3］。然而，由于在給定的插值點處插值曲線的唯一性，僅有一些方法被用來作形狀控制［4－7］。為了滿足日益復雜的設(shè)計要求，曲線曲面設(shè)計中的形狀控制變得越來越重要。近些年來，有理樣條，特別是有理三次樣條的研究在理論上已取得許多成果，它們在形狀控制方面的應(yīng)用已引起了廣泛的興趣。由于有理插值函數(shù)表達式中帶有參數(shù)，因而可以在插值條件不變的情況下通過對參數(shù)的選擇進行曲線的局部修改，給控制插值曲線的形狀帶來方便。

有理四次插值曲線由于其構(gòu)造所花費的計算量太大以及在使用上的不方便而讓人們忽略了其重要的應(yīng)用價值，因而以前很少有人研究。但近年來，有理四次插值樣條是比較熱門的研究課題［8－11］。實際上，在某些情況下，有理四次插值樣條有其獨特的應(yīng)用效果，比如文獻［8］建立的一種具有局部插值性質(zhì)的分母為二次的有理四次樣條，即一個剖分子區(qū)間上的有理插值式只與鄰近區(qū)間上的插值點有關(guān)，一個插值節(jié)點上的數(shù)值變動只影響其鄰近的局部范圍；文獻［9］構(gòu)造了一種分母為線性的有理四次插值樣條，研究得到了該種有理四次插值樣條不但具有三次多項式的插值精度，而且具有獨特的逼近性質(zhì)；文獻［10－11］先構(gòu)造了有理四次插值樣條，討論了插值樣條的保單調(diào)性、C2連續(xù)性以及逼近性質(zhì)，然后將其推廣到有理雙四次插值曲面。這些插值函數(shù)一般都用到被插函數(shù)的函數(shù)值和導數(shù)值，然而，在實際應(yīng)用中，有時導數(shù)值是很難得到的，因此，研究僅基于函數(shù)值的有理樣條插值的性質(zhì)和應(yīng)用效果是非常有意義的。文獻［12］討論了將僅基于函數(shù)值的分母為線性的有理三次插值樣條曲線約束于給定區(qū)域的充要條件；文獻［13－14］討論了僅基于函數(shù)值的分母為二次的有理三次插值樣條曲線的點控制問題，給出了函數(shù)值控制、導數(shù)值控制和拐點控制的情況。本文主要研究了僅基于函數(shù)值的分母為線性的有理四次插值樣條曲線的點控制問題。

1 基于函數(shù)值的有理四次插值樣條

給定點集｛（ti，fi），i＝0，1，…，n＋1｝，其中a＝t0＜t1＜…＜tn＋1＝b是插值節(jié)點，fi是被插函數(shù)f（t）在節(jié)點ti的函數(shù)值。記hi＝ti＋1－ti，θ＝（t－ti）／hi，Δi＝（fi＋1－fi）／hi，并且令參數(shù)δi＞0，則建立的保證C1連續(xù)的插值函數(shù)如下：

其中

顯然插值函數(shù)P（t）滿足：

很容易證明對于給定的插值節(jié)點（ti，fi）和參數(shù)δi，插值函數(shù)存在且唯一。對于上面建立的有理四次插值樣條，Ui、Wi的取值可以保證函數(shù)的C1連續(xù)性。

考慮等距節(jié)點的情況，即hi＝hj，i，j∈｛1，2，…，n｝，此時（1）式可以改寫為：

其中

稱ωr（θ，δi），r＝0，1，2為插值基函數(shù)，容易證明ωr（θ，δi）滿足

2 插值函數(shù)的有界性

考慮插值函數(shù)的有界性，對于給定的等距插值節(jié)點，插值函數(shù)在插值區(qū)間內(nèi)具有和參數(shù)δi無關(guān)的有界性，如定理1所述。

定理1 假設(shè)f（t）∈C2［a，b］，等距劃分Δ：a＝t0＜t1＜…＜tn＜tn＋1＝b，對于給定的參數(shù)δi，P（t）是（2）式定義在區(qū)間t∈［ti，ti＋1］上的有理四次插值樣條。令則對于任意δi＞0，P（t）在

證明 顯然ω0（θ，δi）＞0，ω1（θ，δi）＞0，ω2（θ，δi）＜0，很容易得出：

利用導數(shù)很容易算出當θ＝2／3時g（θ）取得最大值，所以有g(shù)（θ）≤35／27，定理1證明完畢。

3 插值曲線的局部點控制

插值區(qū)間上插值曲線的形狀依賴于插值點，一般來說，當插值點給定之后，由于插值函數(shù)的唯一性，插值曲線的形狀是固定的。但是在（2）式中存在一個獨立的參數(shù)δi，盡管插值條件不變，通過選擇合適的參數(shù)可以對曲線的形狀進行修改。

假設(shè)要求插值曲線在t＊∈［ti，ti＋1］處的值P（t＊）＝M，顯然M必須滿足定理1，令θ＊＝（t＊－ti）／hi，則有：

文獻［11］稱（5）式為控制方程，這種控制方法稱為函數(shù)值控制。顯然（5）式等價于：

其中

稱（6）式為條件方程，顯然如果存在δi＞0滿足（6）式，那么（5）式也成立，從而有下面的定理2。

定理2 假設(shè)P（t）是通過（2）式定義在區(qū)間上的插值函數(shù)，t＊則存在δi＞0，使得（6）式成立的充分條件是AB＜0。

假如實際設(shè)計要求：

那么（7）式等價于：

其中，A、B為（6）式中所定義。相似地，如果存在δi滿足（8）式，那么δi也滿足（7）式。如果A、B之中存在一個負數(shù)，那么一定存在δi＞0滿足（8）式，從而有下面的定理3。

定理3 對于上面定義的不等式（8）式一定有解δi＞0的充要條件是A≥0，B≥0不能同時成立。

假設(shè)實際設(shè)計要求控制插值函數(shù)在一點處的斜率，令t∈［ti，ti＋1］，θ＝（t－ti）／hi，N∈R，如果要求P′（t）＝N，從而

方程（9）式整理成：

其中

（10）式是關(guān)于δi的二次方程，如果（10）式存在正根，那么（9）式成立。這種方法稱為導數(shù)值控制。

定理4 假設(shè)P（t）是通過（2）式定義在區(qū)間［ti，ti＋1］上的插值函數(shù)，t∈［ti，ti＋1］，N∈R，那么?δi＞0滿足P′（t）＝N的充要條件是方程（10）式有正根。

如果設(shè)計要求：

控制不等式（11）式等價于：

其中，A0、A1、A2為（10）式所定義，從而有下面的定理5。

定理5 對于給定的插值條件，控制不等式（11）式成立的充要條件是?δi＞0滿足（12）式。

例1 給定插值節(jié)點f（0）＝1，f（1）＝3，f（3）＝2，假如P（t）是通過（2）式定義在區(qū)間［0，1］插值樣條函數(shù)，顯然θ＝t，下面給出函數(shù)值控制的例子。

令δi＝2，則P1（t）＝（－3t4＋3t3－2t2＋3t＋2）／（－t＋2），t∈［0，1］，計算得出P1（0.4）＝1.872 0。

對于給定的插值點，如果設(shè)計要求P（0.4）＝2.0，控制方程（5）式為：0.12δi－0.035 2＝0，計算可得δi＝22／75，從而插值函數(shù)為P2（t）＝（－225t4＋225t3＋106t2＋97t＋22）／53t＋22，t∈［0，1］。

如果設(shè)計要求P（0.4）＝1.85，控制方程（5）為：0.03δi－0.095 2＝0，計算可得δi＝238／75，從而插值函數(shù)為：P3（t）＝（－225t4＋225t3－326t2＋313t＋238）／（－163t＋238），t∈［0，1］。圖1所示為P1（t）、P2（t）、P3（t）的圖形。

圖1 P1（t）、P2（t）、P3（t）曲線

例2 給定插值節(jié)點f（0）＝2，f（1）＝4，f（2）＝－1，假如P（t）是通過（2）式定義在區(qū)間［0，1］插值樣條函數(shù)，顯然θ＝t，下面給出導數(shù)值控制的例子。

令δi＝2，則P4（t）＝（－7t4＋7t3－2t2＋2t＋4）／（－t＋2），t∈［0，1］，計算得出3.361 1；對于給定的插值條件，如果設(shè)計要求此時方程（10）式為0，計算得出根小于0），從而如果設(shè)計要求3.75，此時（10）式為計算得出δi＝1（另一根為0），從而t∈［0，1］。顯然此時P6（t）退化為多項式插值。

圖2 P4（t）、P5（t）、P6（t）曲線

4 插值曲線的拐點控制

函數(shù)的拐點依賴于函數(shù)的二階導數(shù)，在給定等距節(jié)點的條件下，P（t）的二階導數(shù)如下：

其中，B0（θ）＝3（1－θ）3；B1（θ）＝θ（6θ2－10θ＋3）；B2（θ）＝θ2（1－3θ）。

定理6 假設(shè)P（t）是通過（2）式定義在區(qū)間［ti，ti＋1］上的插值函數(shù)，t＊∈（ti，ti＋1），則?δi＞0使得P”（t＊）＝0的充要條件為2ti／3＋ti＋1／3＜t＊＜ti＋1。

定理6說明了P（t）的拐點θ＊必在內(nèi)，而且從證明的過程中可以看出，當給定插值節(jié)點后，P（t）拐點的位置只與參數(shù)δi有關(guān)，與插值節(jié)點處的函數(shù)值是無關(guān)的。另外，由于函數(shù)的凹凸性也與二階導數(shù)有關(guān)，因此有下面的定理7。

定理7 假設(shè)P（t）是通過（2）式定義在區(qū)間［ti，ti＋1］上的插值函數(shù)，t＊∈（ti，ti＋1），P（t）在點（t＊，P（t＊））處是凸的充分條件是?δi＞0，使得

由定理5的證明可以看出，當t＊∈（ti，2ti／3＋ti＋1／3），M（θ＊，δi）＞0，因此插值曲線在區(qū)間（ti，2ti／3＋ti＋1／3）的凸凹性完全由fi－2fi＋1＋fi＋2的符號決定。

例3 利用例1中的插值節(jié)點，給出拐點控制的例子。

令M（θ，δi）＝0，設(shè)θ＊＝0.4，則方程2δi－4＝0的根為（另一根小于0），其中，假設(shè)θ＊＝0.6處函數(shù)是凸的，那么由不等式－21δi－12＞0，取δi＝4，此時插值函數(shù)為：P8（t）＝（－3t4＋3t3－6t2＋5t＋4）／（－3t＋4），t∈［0，1］。圖3所示為P7（t）、P8（t）的曲線圖。

圖3 P7（t）、P8（t）曲線

5 結(jié)束語

本文建立了一種僅基于函數(shù)值的分母為線性的有理四次插值樣條，并分析了其性質(zhì)，給出了在等距節(jié)點情況下的點控制方法，包括函數(shù)值控制、導數(shù)值控制和拐點控制。這些控制方法能夠在插值條件不變的情況下，通過選取合適的參數(shù)來修改曲線的形狀，從而滿足實際設(shè)計的要求。相似地，在非等距情況下的插值函數(shù)P（t）為：

同樣可以得到在非等距情況下的函數(shù)值控制、導數(shù)值控制和拐點控制方法。

［1］ Barsky B A.Theβ－spline：a local representation based on shape parameters and fundamental geometric measure［D］.Salt Lake City：University of Utah，1981.

［2］ Dierck P，Tytgat B.Generating the Bézier point ofβ－spline curve［J］.Computer Aided Geometric Design，1989，6（2）：279－291.

［3］ Foley T A.Local control of interval tension using weighted splines［J］.Computer Aided Geometric Design，1986，3（2）：281－294.

［4］ Duan Q，Wang L，Twizell E H.A newC2rational interpolation based on function values and constrained control of the interpolant curves［J］.Appl Math Comput，2005，161：311－322.

［5］ Duan Q，Wang L，Twizell E H.A new approach to the convexity control of interpolant curves［J］.Commun Numer Methods Eng，2003，19：833－845.

［6］ Duan Q，Djidjeli K，Price W G，et al.The approximation properties of some rational cubic splines［J］.Int J Comput Math，1999，72：155－166.

［7］ Duan Q，Djidjeli K，Price W G，et al.Weighted rational cubic spline interpolation and its application［J］.J Comput Appl Math，2000，117：121－135.

［8］ 葉懋冬.關(guān)于具局部插值性質(zhì)的樣條［J］.計算數(shù)學，1984，6（2）：138－147.

［9］ 閔 杰，陳邦考.一種四次有理插值樣條及其逼近性質(zhì)［J］.高等學校計算數(shù)學學報，2007，29（1）：57－62.

［10］ Wang Qiang，Tan Jieqing.Rational quartic spline involving shape parameters［J］.Journal of Information and Computational Science，2004，1（1）：127－130.

［11］ Wang Qiang，Tan Jieqing.Shape preserving piecewise rational biquartic surface［J］.Journal of Information and Computational Science，2006，3（2）：295－302.

［12］ Duan Q，Djidjeli K，Price W G，et al.A rational cubic spline based on function values［J］.Computer and Graphics，1998，22（4）：479－486.

［13］ Bao Fangxun，Sun Qinghua，Duan Q.Point control of the interpolating curve with a rational cubic spline［J］.J Vis Commun Image R，2009，20：275－280.

［14］ Duan Q，Bao Fangxun，Du Shitian，et al.Local control of interpolating rational cubic spline curves［J］.Computer－Aided Design，2009，41：825－829.