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    基于相依函數(shù)型數(shù)據(jù)條件均值函數(shù)估計的漸近性質(zhì)

    2011-03-26 02:33:38凌能祥
    關(guān)鍵詞:相依參數(shù)估計均值

    丁 潔, 凌能祥

    (合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230009)

    眾所周知,條件均值函數(shù)的非參數(shù)估計是回歸分析研究的重要問題,其理論與方法在經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中已有廣泛的應(yīng)用。條件均值函數(shù)的非參數(shù)估計中,通常解釋變量X取值于Rd空間,響應(yīng)變量Y取值于R1空間,(X,Y)的樣本被認(rèn)為是i.i.d或有某種相依的隨機(jī)變量,文獻(xiàn)[1-2]已取得一些有意義的成果。

    近年來,隨著計算技術(shù)的快速發(fā)展,在醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、環(huán)境計量學(xué)和計量化學(xué)等領(lǐng)域人們常常收集到曲線數(shù)據(jù)或函數(shù)型觀察值。于是人們開始關(guān)注基于函數(shù)型數(shù)據(jù)的統(tǒng)計推斷特別是非參數(shù)統(tǒng)計推斷。關(guān)于函數(shù)型數(shù)據(jù)的詳細(xì)背景及統(tǒng)計推斷的早期工作參見文獻(xiàn)[3-5]。最近,文獻(xiàn)[6]利用Kolmogorov熵的原理和方法,進(jìn)一步研究了基于函數(shù)型數(shù)據(jù)響應(yīng)變量的條件均值函數(shù)、條件分布函數(shù)、條件密度函數(shù)和條件風(fēng)險率函數(shù)的非參數(shù)估計,在i.i.d情形下獲得了有關(guān)非參數(shù)估計量的幾乎完全一致收斂性及其收斂速度。鑒于條件均值函數(shù)在金融中的廣泛應(yīng)用和時間序列問題的相依性,本文進(jìn)一步利用Kolmogorov熵的原理和方法研究基于α混合相依函數(shù)型數(shù)據(jù)有關(guān)條件均值函數(shù)估計的幾乎完全一致收斂性及收斂速度,推廣現(xiàn)有文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)果。

    首先簡要介紹強(qiáng)相合的定義。過程{(Xi,Yi),i≥1}被稱為強(qiáng)混合或α混合,如果

    為了方便起見,本文中只假設(shè){(Xi,Yi),i≥1}為算術(shù)α混合,且速度a>1。

    引進(jìn)Kolmogorov熵的定義,設(shè)SF是半度量空間F的子集,給定ε>0,如果這里B(xi,h)是以xi為中心的小球,半徑h>0,則F中有限個元x1,x2,…,xN稱為SF的ε網(wǎng)點(diǎn),當(dāng)Nε(SF)是F中覆蓋SF所需要的半徑為ε的開球的最小個數(shù)時,(1)式稱為SF的Kolmogorovε熵[7-9],即

    設(shè){(Xi,Yi),i≥1}為同分布于(X,Y)的混合相依序列,其中X取值于有半度量d的抽象無限維空間(F,d),Y取值于R1空間。本文中,C、C′、C1為正常數(shù),并在不同的情形下取不同的值。

    根據(jù)文獻(xiàn)[5],定義條件均值函數(shù)(2)式的核估計如下,即

    其中,K為核函數(shù);φ(·)為已知實值Borel可測函數(shù);窗寬

    1 記號和假設(shè)

    設(shè)SF為集合F的緊子集,記

    為得出本文主要結(jié)論,引入一些基本假設(shè),關(guān)于回歸函數(shù)r,假設(shè)條件如下:

    H2 對于小球概率,設(shè)?x∈SF,0<Cφ(h)≤P(X∈B(x,h))≤C′φ(h),當(dāng)h→0時,φ(h)→0。

    H3 (nφ(h))=O(logn)2。

    H4 關(guān)于核函數(shù),假設(shè)條件如下:核函數(shù)K(·)滿足K(·):R→R+,且∫K=1,支撐集為[0,1]。

    H5 對于相依結(jié)構(gòu)Sn,i,i=1,2,3,4,存在θ>C1β+1>2,使得:

    H6 假如如下:

    其中,δm(·)在SF上連續(xù)。H1~H4為研究非參數(shù)函數(shù)型數(shù)據(jù)的漸近性的常用假設(shè),參見文獻(xiàn)[5]。與i.i.d場合相比,假設(shè)H5給出了相依結(jié)構(gòu)在收斂速度方面的影響,這有助于給出有關(guān)收斂速度的一般性結(jié)論,需要特別指出的是,在假設(shè)H5中取C1>1/β,并且C1取在假設(shè)H3、下面的H7成立的前提下,結(jié)論C1logn中的常數(shù)C1。最后,對于Kolmogorov熵,下面引用文獻(xiàn)[6]中的假設(shè)。

    2 引理及證明

    2.1 引理

    引理1 在假設(shè)H2~H5、H7下有:

    其中

    引理2 在假設(shè)H1、H2、H4下有:

    其中

    引理3 在引理1的條件下,對于某個給定的常數(shù)ε0,0<ε0<1,有

    引理4 在假設(shè)H1~H7下,有

    2.2 證明

    (1)引理1的證明。根據(jù)文獻(xiàn)[6]的分解,有

    首先,研究F2,對于?η>0,有

    由文獻(xiàn)[5]和Kolmogorov熵的定義,對于r=log2n和某一個常數(shù)C<∞,得

    由(4)式,有

    存在某個ε0>0,獲得并且取有

    由(12)~(14)式以及假設(shè)H7,得

    故有:

    下面研究F1。根據(jù)^r(nóng)(x)的定義、核函數(shù)K的有界性以及上述k(x)的取法,關(guān)于F1可以得到下面的不等式:

    類似于F2的證明,有

    同理,有

    由(11)式以及(16)~(18)式,引理1得證。

    (2)引理2的證明。類似于文獻(xiàn)[6]中Lemma 10的證明。

    (3)引理3的證明。由(7)式,結(jié)合文獻(xiàn)[6]中Lemma 9的證明方法,此引理得證。

    (4)引理4的證明。根據(jù)文獻(xiàn)[6]中的分解方法,有

    類似F1和F3的證明,可得:

    而對于G2,有

    由(6)式以及Markov不等式,有

    由(21)式和文獻(xiàn)[5],類似F2的證明,可得:

    由(19)式、(20)式和(22)式,引理4得證。

    3 主要結(jié)論及其證明

    定理1 在假設(shè)H1~H7下,有

    該結(jié)論給出了在相依函數(shù)型數(shù)據(jù)場合下估計量^r(nóng)φ(x)精確的一致收斂速度。這里收斂速度被分為2部分,第1部分和通常情形類似,只取決于回歸函數(shù)的光滑參數(shù)算子,相依結(jié)構(gòu)和熵對收斂速度的影響體現(xiàn)在第2部分。

    證明 根據(jù)文獻(xiàn)[5],有如下分解:

    由上述4個引理的結(jié)論及文獻(xiàn)[5],定理得證。

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