一種改進(jìn)的分辨矩陣構(gòu)造及求核算法

史君華， 劉樂群

（合肥師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系，安徽合肥 230601）

文獻(xiàn)［1］提出了一種能處理模糊性和不確定性問題的粗糙集合理論，其核心思想是在保持?jǐn)?shù)據(jù)分類能力不變的前提下，通過對知識的化簡，導(dǎo)出問題的決策或分類規(guī)則。目前粗糙集合理論被廣泛應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)、知識發(fā)現(xiàn)、專家系統(tǒng)、數(shù)據(jù)挖掘、模式識別等研究領(lǐng)域［2］。

約簡是粗糙集理論研究的重要內(nèi)容之一，它包括屬性約簡和屬性值約簡，而求取核屬性通常是求解決策表約簡的關(guān)鍵步驟。多年來，學(xué)者們提出了各種利用分辨矩陣求取核屬性的方法。文獻(xiàn)［3］提出了一種用分辨矩陣表示知識的經(jīng)典算法，該方法簡單、易懂，但時(shí)間復(fù)雜度較高；文獻(xiàn)［4］提出了一種基于Skowron矩陣的簡化的差別矩陣方法，該方法簡化了矩陣元素的構(gòu)造；文獻(xiàn)［5］指出，當(dāng)決策表中存在不一致數(shù)據(jù)，文獻(xiàn)［4］中的算法可能存在錯(cuò)誤，故通過增加一個(gè)函數(shù)min｛｜d（xi）｜，｜d（xj）｜｝的計(jì)算，提高了算法的正確性，時(shí)間開銷亦有所增加；文獻(xiàn)［6］提出了一種基于二進(jìn)制分辨矩陣的求核算法，為分辨矩陣及核屬性的求解開辟了一條新的道路；另外，還有很多學(xué)者提出了各種分辨矩陣及求核算法的改進(jìn)算法［7－11］。

以上算法中，有些是時(shí)間性能不理想，有些是不能將算法應(yīng)用于不一致的決策表；另外發(fā)現(xiàn)，分辨矩陣中很多元素并不需要保存，分辨矩陣的構(gòu)造過程還可進(jìn)一步優(yōu)化。因此，本文提出一種能同時(shí)適用于一致和不一致系統(tǒng)的快速構(gòu)造矩陣并計(jì)算核屬性的優(yōu)化算法，其構(gòu)造方法簡單，時(shí)間性能較好；并通過實(shí)例和實(shí)驗(yàn)說明了算法的有效性。

1 粗糙集理論基本概念

別表示條件屬性集和決策屬性集是屬性值的集合，其中Vr表示r∈R的屬性值，f：U×R→V是信息函數(shù)。同時(shí)具有條件屬性和決策屬性的信息系統(tǒng)稱為決策表（系統(tǒng)）。

定義3 令R為等價(jià)關(guān)系族，設(shè)且P≠?，則P中所有等價(jià)關(guān)系的交集稱為P上的不可分辨關(guān)系，記作IND（P）。

定義4 設(shè)R是等價(jià)關(guān)系族，R∈R，若IND（R）＝IND（R－｛R｝），則稱R是R中可省的，否則為不可省的。若R中每個(gè)關(guān)系都不可省，則稱R是獨(dú)立的，否則為依賴的。

若用RED（P）表示P的所有約簡的集合，則有下面關(guān)系成立。

定理1 等價(jià)關(guān)系族P的核等于P的所有約簡的交集，則有

定義7 決策表中有關(guān)條件屬性集C和決策屬性集D的一個(gè)規(guī)則可以表示為α→β。其中，α是一個(gè)C－集合（稱為規(guī)則的前提），β是一個(gè)D－集合（稱為規(guī)則的結(jié)論），稱α→β為一個(gè)CD－規(guī)則

定義1 設(shè)U為所討論對象的非空有限集合，稱為論域；R為建立在U上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系族集，稱二元組AS＝（U，R）為近似空間。

定義2 設(shè)S＝（U，R，V，f）為一個(gè)信息系統(tǒng)，其中U是論域，R＝C∪D是屬性集合，C、D分（決策規(guī)則）。

定義8 決策表中的一個(gè)CD－規(guī)則α→β是一致的，當(dāng)且僅當(dāng)對任何CD－規(guī)則必蘊(yùn)含β＝β′。如果一個(gè)決策表中的所有決策規(guī)則都是一致的，則決策表是一致的，否則決策表是不一致的。

2 改進(jìn)的分辨矩陣構(gòu)造及求核思想

文獻(xiàn)［4］指出，決策表中的不一致數(shù)據(jù)可能會影響最終核或約簡求解的正確性，因此在本文提出的算法中，首先會檢查決策表中是否存在不一致數(shù)據(jù)，對不一致數(shù)據(jù)加以處理，并在此基礎(chǔ)上考慮提高算法的時(shí)間性能。

2.1 改進(jìn)的分辨矩陣

改進(jìn)的分辨矩陣只存儲三角矩陣，假設(shè)上三角（即j＞i）部分的每個(gè)元素Mij分為Mij1和Mij22項(xiàng)，Mij1負(fù)責(zé)條件屬性部分，Mij2負(fù)責(zé)決策屬性部分，具體構(gòu)造見定義9（其中，a為條件屬性，b為決策屬性，xi、xj為2個(gè)實(shí)例）。

定義9Mij1與Mij2的構(gòu)造如下：

由以上矩陣定義可得如下性質(zhì)。

性質(zhì)1 若Mij1＝0且Mij2＝0，則xi、xj為重復(fù)實(shí)例，可從原數(shù)據(jù)表刪去第i或j行而不影響求解。

性質(zhì)2 若Mij1＝0且Mij2＝1，則xi、xj為不一致實(shí)例，原數(shù)據(jù)表刪去第i和j行以保持一致性。

性質(zhì)3 若Mij1為非0的單個(gè)屬性且Mij2＝0，則該單個(gè)屬性為可約屬性，可不予考慮。

性質(zhì)4 若Mij1為非0的單個(gè)屬性且Mij2＝1，則該單個(gè)屬性為核屬性。

其中，性質(zhì)1、2、3很容易得到，本文對性質(zhì)4加以證明。

證明 用C和D分別代表某決策表的條件和決策屬性集，核集為CORE，xi、xj為任意2個(gè)實(shí)例。文獻(xiàn)［3］中經(jīng)典Skowron分辨矩陣構(gòu)造如下：

2.2 基于核和吸收率的分辨矩陣優(yōu)化構(gòu)造思想

本算法中基于核屬性和吸收率的分辨矩陣優(yōu)化構(gòu)造思想如下：首先按定義9構(gòu)造分辨矩陣，其中一旦有核屬性（Mij1為非0的單個(gè)屬性且Mij2＝1）產(chǎn)生，則在后續(xù)分辨矩陣的構(gòu)造過程中，先判斷在該核屬性上2個(gè)實(shí)例取值是否相等。若不等，則跳過該項(xiàng)分辨矩陣的構(gòu)造（或記標(biāo)記?）；若相等，則繼續(xù)按定義9構(gòu)造，另外在構(gòu)造分辨矩陣的過程中，不斷地充實(shí)核集，新產(chǎn)生的核對其后續(xù)分辨矩陣元素的構(gòu)造有同樣的優(yōu)化效果。

例1 假設(shè)一決策表數(shù)據(jù)，見表1所列（其中a、b、c、d、e為條件屬性；f為決策屬性）。

表1 決策表1

已構(gòu)造的部分分辨矩陣數(shù)據(jù)，見表2所列。

表2 已構(gòu)造的部分分辨矩陣

由于M13處分辨矩陣項(xiàng)元素為d1，據(jù)定義9中性質(zhì)4，d為核屬性，所以在求M14時(shí)，先判斷x1和x4在屬性d上取值情況。顯然，取值不等，因此可直接跳過M14去構(gòu)造M15，這就是吸收率在構(gòu)造分辨矩陣過程中的應(yīng)用。原因是：假設(shè)M14按正常方法計(jì)算，應(yīng)為abcde1，則在構(gòu)造分辨矩陣之后，如果后期計(jì)算屬性約簡，由于d?abcde，所以也會刪去abcde。因此，將吸收率運(yùn)用到分辨矩陣的構(gòu)造過程中，不僅節(jié)省時(shí)間，而且減少了分辨矩陣包含的項(xiàng)，簡化了后面的運(yùn)算，特別是當(dāng)核屬性出現(xiàn)得較早時(shí)，該算法能極大地優(yōu)化分辨矩陣的構(gòu)造。

2.3 改進(jìn)的分辨矩陣構(gòu)造及求核的優(yōu)化算法

基于上述思想，本文提出了一種改進(jìn)的分辨矩陣優(yōu)化構(gòu)造及求核算法，具體步驟如下。

本算法中，在構(gòu)造分辨矩陣每項(xiàng)元素時(shí)，都運(yùn)用核和吸收率作為優(yōu)化信息，加速矩陣后續(xù)項(xiàng)的構(gòu)造。首先看核集是否為空，若核集不為空，對于核集里的每個(gè)核屬性，先判斷2個(gè)實(shí)例在核屬性上取值是否相同，若在某個(gè)核屬性上取值不同，則可跳過該項(xiàng)分辨矩陣項(xiàng)元素的構(gòu)造（或記標(biāo)記?），否則按定義9繼續(xù)構(gòu)造該項(xiàng)分辨矩陣元素。另外，在構(gòu)造分辨矩陣的過程中亦不斷地充實(shí)核集，這與經(jīng)典算法相比，不僅可簡化后續(xù)運(yùn)算，有更好的時(shí)間性能，而且大大減少分辨矩陣項(xiàng)元素所占有的空間。

2.4 實(shí)例

以決策表1為例討論本文提出的算法性能，并與Skowron經(jīng)典算法比較。對于Skowron經(jīng)典算法，構(gòu)造的分辨矩陣見表3所列。

表3 決策表1構(gòu)造的Skowron分辨矩陣

本文提出的改進(jìn)的分辨矩陣構(gòu)造，見表4所列。顯然，c、d為核屬性，在構(gòu)造分辨矩陣的過程中，括號內(nèi)為利用本文算法中吸收率優(yōu)化構(gòu)造的分辨矩陣項(xiàng)元素，括號外為不利用吸收率，僅利用定義9構(gòu)造的分辨矩陣項(xiàng)元素。

表4 本文算法構(gòu)造的分辨矩陣

與表3比較，本文提出的算法，矩陣內(nèi)的有效元素已明顯減少，因而可大大簡化后續(xù)運(yùn)算；且在構(gòu)造分辨矩陣的過程中，核屬性出現(xiàn)得越早，越能減少構(gòu)造分辨矩陣所花費(fèi)的時(shí)空開銷。

2.5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本次實(shí)驗(yàn)以2.34 GHz、1 G內(nèi)存為硬件環(huán)境，以win XP、JDK6.1為軟件開發(fā)環(huán)境。使用了UCI國際機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)庫中的6個(gè)數(shù)據(jù)集，比較并分析了本算法的性能，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表5所列。從表5可以看出，本文算法對于核屬性存在的決策系統(tǒng)、時(shí)間性能的改進(jìn)較明顯，原因在于構(gòu)造分辨矩陣的同時(shí)對包含核屬性的項(xiàng)運(yùn)用吸收率，因此比經(jīng)典算法執(zhí)行速度加快。但若核為空，該算法的時(shí)間性能可能會與經(jīng)典算法相差不大。設(shè)一個(gè)決策系統(tǒng)實(shí)例個(gè)數(shù)為｜U｜，條件屬性個(gè)數(shù)為｜C｜，本文提出算法的時(shí)間復(fù)雜度的上限為O（｜C｜×｜U｜2），實(shí)際上通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于該上限。

表5 與經(jīng)典算法的時(shí)間性能比較

3 結(jié)束語

本文在對粗集理論中利用構(gòu)造矩陣求解核屬性算法研究的基礎(chǔ)上，提出一種基于核屬性和吸收率優(yōu)化的決策表矩陣求核改進(jìn)算法，通過原理及實(shí)驗(yàn)論證，該方法簡單、有效，但空間性能仍需改進(jìn)，使之能適用于更大規(guī)模的數(shù)據(jù)集。

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