單向平動微位移工作臺的靜剛度分析

朱仁勝， 沈 健， 劉永梅

(1.合肥工業(yè)大學 機械與汽車工程學院，安徽 合肥 230009;2.清華大學 電力系統(tǒng)與發(fā)電設備控制及仿真國家重點實驗室，北京100084;3.安徽電力濉溪供電有限責任公司，安徽淮北 235100)

0 引 言

柔性鉸鏈具有體積小、無間隙、無機械摩擦、成本低廉及無需潤滑等優(yōu)點，在精密工程中有廣泛的應用，例如精密工作臺、納米定位技術、微加速度器、微夾持機構和顯微裝置等[1-5]。

目前，在研究微動工作臺中大多的相關研究均基于偽剛體模型或其它類似的建模方法，即將柔性鉸鏈視為理想的轉動副，其轉軸中心處于薄壁中心，只考慮柔性鉸鏈的彎曲變形。這些模型中，柔性機構的每一個柔性鉸鏈均被等效為彎曲彈簧或拉壓彈簧[6，7]，柔性鉸鏈被視為單自由度模型。采用這種方法雖然對微動工作臺的動力特性分析提供方便，但是由于模型簡化程度較大，分析得到的結果誤差也較大，結果的準確性難以保證。

本文采用能量法，建立柔性鉸鏈的單元剛度矩陣，即把柔性鉸鏈視為三自由度單元，并在此基礎上建立了單向平動微位移工作臺的有限元數(shù)學模型。通過對單向平動微位移工作臺分析表明，這種方法不僅計算簡單，而且精度較高。

1 柔性鉸鏈單元剛度矩陣

柔性鉸鏈的幾何結構、受力及變形如圖1所示。

柔性鉸鏈的幾何尺寸為:切割半徑R，鉸鏈最薄處的厚度t，鉸鏈的寬度b，圓心角θm。假設柔性鉸鏈的右端為相對固定端，左端受到力和力矩Fx、Fy、Mz的作用，左端的變形為u、v、αz。

把柔性鉸鏈看作變截面梁單元如圖2所示。

圖1 柔性鉸鏈的幾何結構、受力和變形

圖2 變截面梁單元

顯然x截面的內力分量可以表示為:

單元的應變能為:

其中，A s(x)為x截面的有效剪切面積。根據卡氏第二定理，則有:

在圓心角θ(x截面)處取微元體dθ進行研究，把從0～l上的積分轉化到從-θm～θm上的積分。微元體的厚度為:

微元體的高度為:

微元體截面面積為:

微元體截面沿z方向的慣性矩為:

根據積分公式:

可以得到聯(lián)系單元i端節(jié)點位移和節(jié)點力的關系式為:

其中，E、G分別為材料的彈性模量和剪切模量，則有:

(5)式、(6)式中:

根據文獻[8]，有

(6)式中矩陣Dii即為單元i端的柔度矩陣，對于該柔度矩陣求逆可得到剛度矩陣K ii為:

其中

單元平衡條件為:

即

其中，H為單元平衡矩陣。

根據文獻[9]可以得到單元剛度矩陣Ke為:

則有:

其中

若θm=π/2，則

單元在整體坐標系下的剛度矩陣為:

其中，T為坐標轉換矩陣，即

其中，γ為單元與結構整體坐標系的夾角。

2 連桿單元剛度矩陣

根據文獻[10]，可以得到框架單元在局部坐標系下的剛度矩陣:

其中，A為單元截面面積;L為單元長度;I為單元截面慣性矩。

連桿單元在整體坐標系下的剛度矩陣為:

組合柔性鉸鏈單元剛度矩陣和連桿單元剛度矩陣，就可以得到結構的總體剛度矩陣，即

3 單向平動微位移工作臺的分析與計算

單向平動微位移工作臺為對稱平行四桿機構，如圖3所示。圖3為離散化后的模型，驅動力施加在方框內對稱面處，方向向上。

用有限元分析軟件對工作臺進行模擬計算并與理論模型計算值相比較。微位移工作臺采用材料為65M n，材料的彈性模量E=200 GPa，泊松比ν=0.288，柔性鉸鏈采用直圓型，即θm=π/2。

圖3 微位移工作臺的有限元模型

單自由度微位移工作臺的變形主要發(fā)生在柔性鉸鏈部分，其它部分的變形很小，根據模型的對稱性僅取模型的1/2進行分析。理論模型分為5個單元，每個單元有2個節(jié)點，每個節(jié)點有3個自由度，組合柔性鉸鏈單元剛度矩陣和連桿單元剛度矩陣得到機構的總體剛度矩陣K為18×18階對稱矩陣，如圖4所示。圖4中L1、L2、L3為連桿單元，粗短線代表柔性鉸鏈。

位移向量為:

由于模型僅在節(jié)點6施加一個沿V方向的集中力載荷F，其載荷向量為:

模型的位移邊界條件如下:

(1)節(jié)點1的平動、轉動位移均為零，即

(2)對稱約束條件，節(jié)點6所在的截面為對稱面，即

施加載荷和邊界條件后，可以得到結構的平衡方程:

解線性方程組(16)，可以得到工作臺的位移輸出值，表1中理論解即為v6的值。

圖4 理論計算模型

有限元分析軟件計算模型如圖3所示，模型采用8節(jié)點的Solid45單元，每個節(jié)點3個自由度。選取不同的柔性鉸鏈參數(shù):R=1.8，2.0，2.5，t=0.7，0.9，1.0;連桿參數(shù)L2=18，20，22。施加不同的載荷F，用2種方法計算微位移工作臺的輸出位移，見表1所列。

計算結果表明，在選取的參數(shù)范圍內，理論計算模型與有限元軟件計算結果相吻合。

表1 理論法與模擬法計算工作臺輸出位移

4 結束語

本文通過對柔性鉸鏈的分析，把柔性鉸鏈視為變截面梁單元，建立柔性鉸鏈單元剛度矩陣，與連桿單元剛度矩陣組合，建立單向平動微位移工

作臺的有限元計算模型。選取不同的柔性鉸鏈參數(shù)，用有限元分析軟件對工作臺進行分析計算并與理論模型計算結果相比較，結果表明2種方法計算結果相吻合。在一定參數(shù)范圍內，理論計算模型能分析單向平動微位移工作臺的位移輸出特性，計算誤差較小，計算簡單。

本文的設計計算方法對其它類型的柔性鉸鏈分析以及對平面連桿機構的微位移工作臺的設計有一定的參考意義。

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