基于Copula-GARCH模型的外匯期貨最優(yōu)套期保值比率研究

馬超群，王寶兵

（湖南大學 工商管理學院，長沙 410082）

0 引言

外匯期貨是指交易雙方約定在未來某一時間，依據(jù)約定的比例，以一種貨幣交換另一種貨幣的標準化合約，是期貨市場一個重要的交易品種。它是以匯率為標的物的期貨合約，能用來規(guī)避外匯風險。隨著全球經(jīng)濟一體化和對外貿(mào)易的深入發(fā)展，我國企業(yè)特別是跨國公司、進出口型公司將面臨更為動蕩的外部市場環(huán)境，同時承受來自產(chǎn)品市場和要素市場的各種風險，其中外匯風險是企業(yè)必須面對的重要風險之一。那么，如何降低由于匯率變動可能帶來的風險，乃是我國企業(yè)邁向國際化過程中不容忽視的重要課題之一。因此，使用外匯期貨進行套期保值分析，對于我國企業(yè)減少套期保值成本，從而規(guī)避外匯風險，具有十分重要的研究意義。

期貨市場的風險轉(zhuǎn)移功能主要通過套期保值策略實現(xiàn)，而套期保值理論的核心是套期保值比率的確定?，F(xiàn)有研究主要可以分為以下兩大類：一類是從組合收益風險最小化的角度，研究最小風險套期保值比率；另一類是綜合考慮組合收益和組合收益的方差，從效用最大化的角度研究均值-風險套期保值比率。本文研究屬于第一類，即從組合收益風險最小化的角度研究外匯期貨最優(yōu)套期保值比率問題。

本文首先簡要介紹最小方差套期保值比率和三類套期保值模型：ECM-GARCH模型、CCC-GARCH模型和Copula-GARCH模型，其次使用歐元、英鎊現(xiàn)貨和期貨數(shù)據(jù)進行實證分析，進而計算最優(yōu)套期保值比率，并對比分析上述三類模型的套期保值效果。

1 模型及方法

1.1 最小方差套期保值比率

考慮一個包含Cs單位的現(xiàn)貨多頭頭寸和Cf單位的期貨空頭頭寸的資產(chǎn)組合，記St和Ft分別為t時刻現(xiàn)貨和期貨的價格,則此資產(chǎn)組合的收益ΔVH為：

式(1)中：ΔSt=St-St-1,ΔFt=Ft-Ft-1。

那么，資產(chǎn)組合套期保值的風險為：

Johnson(1960)通過最小化期貨與現(xiàn)貨組合的方差提出了最小方差套期保值比率，其計算公式為：

考慮到協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系，式(3)可變?yōu)椋?/p>

其中 ρΔSt,ΔFt表示現(xiàn)貨和期貨的相關(guān)系數(shù)，σΔSt和 σΔFt分別表示現(xiàn)貨和期貨的標準差。

1.2 ECM-GARCH模型

Engle(1982)最先提出了自回歸條件異方差模型(A簡稱ARCH)，并由Bollerslev(1986)發(fā)展成為GARCH-廣義自回歸條件異方差模型，該模型特別適用于對金融時間序列數(shù)據(jù)的波動性和相關(guān)性進行建模，一般由兩個方程組成，一個是條件均值方程，一個是條件方差方程，GARCH(p,q)模型的表達式為：

其中Rt是t時刻的收益率，ut是條件均值，殘差εt服從均值為0，方差為的正態(tài)分布。ω為常數(shù)項，p是GARCH項的階數(shù)，q是ARCH項的階數(shù)，Ωt-1為期信息集。為保證GARCH過程是寬平穩(wěn)的，需要對模型參數(shù)施加如下約束條件：αi≥0，βj≥

Kroner和Sultan(1993)認為GARCH模型忽略了時間序列間存在的協(xié)整關(guān)系，于是將考慮了協(xié)整關(guān)系的ECM模型和GARCH模型結(jié)合成為ECM-GARCH模型，該模型的表達式為：

其中△lnSt和△lnFt分別為t時刻現(xiàn)貨和期貨的一階差分對數(shù)收益率，u1和u2、α1和α2均為常數(shù)項，殘差εt服從均值為0，條件協(xié)方差為Ht的二元正態(tài)分布，Ωt-1為t-1時刻信息集，hss,t和hff,t分別為t時刻現(xiàn)貨和期貨的方差，而hsf,t為t時刻現(xiàn)貨和期貨的協(xié)方差。

1.3 CCC-GARCH模型

Bollerslev(1990)在BGARCH模型基礎(chǔ)上提出了靜態(tài)條件相關(guān)模型 (Constant Conditional Correlation，簡稱CCC模型)，該模型可表示為：

其中 Rt=(△lnSt,△lnFt)T,ut=(ust,uft)T，εt=(εst,εft)T,Ωt-1為期信息集，BN為二元正態(tài)分布，Ht為時變正定的條件協(xié)方差矩陣，Dt=diag(hi,t)是條件方差取對角項所形成的n×n的對角矩陣，R是固定的n×n條件相關(guān)系數(shù)。Bollerslev假定殘差εst和εsf之間的相關(guān)系數(shù)ρst為常數(shù)，此時，Ht可表示為：

式(17)中t時刻現(xiàn)貨方差hss,t、期貨方差 hff,t、現(xiàn)貨和期貨協(xié)方差hsf,t分別由以下等式給出：

1.4 Copula-GARCH模型

Slkar(1959)最早提出Copula函數(shù)的概念。Slkar指出，Copula函數(shù)可以理解為“連接函數(shù)”，它把多維隨機變量的聯(lián)合分布用其一維邊際分布連接起來。對于一個具有一元邊緣分布的聯(lián)合分布F1,F2,…,Fn函數(shù)F，一定存在一個Copula函數(shù)，滿足：

若F1(x1),…,Fn(xn),…,FN(xN)連續(xù)，則C唯一確定；反之，若F1(x1),…,Fn(xn),…,FN(xN)為一元分布，那么由上式定義的函數(shù)F是邊緣分布F1(x1),…,Fn(xn),…,FN(xN)的聯(lián)合分布函數(shù)。由此可見，Copula函數(shù)描述了變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，從概率角度上反映了變量間的相關(guān)性，為求取聯(lián)合分布函數(shù)提供了一條便捷的通道。

運用Copula理論構(gòu)建金融模型，可分為以下兩個步驟：

第一，確定邊緣分布。由于金融時間序列多呈現(xiàn)隨機波動特性和尖峰厚尾等現(xiàn)象，而GARCH類模型特別適用于對金融時間序列數(shù)據(jù)進行建模，可用來估計或預(yù)測其波動性和相關(guān)性。因此，本文使用GARCH(p,q)模型描述變量的邊緣分布。

第二，定義一個適當?shù)腃opula函數(shù)，以便描述邊緣分布的相依結(jié)構(gòu)。本文研究的是現(xiàn)貨和期貨兩類資產(chǎn)價格在上升和下降時的套期保值比率，因此選用 Gumbel Copula和Clayton Copula函數(shù)度量現(xiàn)貨和期貨間的尾部相關(guān)性。

Copula-GARCH模型是將GARCH模型和Copula函數(shù)結(jié)合起來，以此分析變量間相關(guān)關(guān)系和分布特性，其中GARCH模型用于描述各變量的邊緣分布，而Copula函數(shù)則用于連接各變量的邊緣分布以得到總體的聯(lián)合分布。

由于本文研究涉及現(xiàn)貨和期貨兩個隨機變量，因此采用二元Copula-GARCH模型。結(jié)合Copula函數(shù)和GARCH模型，可得到如下一般形式的模型：

其中Rnt表示t期第 n個隨機變量，unt和 hnt分別表示t期第n個隨機變量的均值和方差，而εnt和ξm則分別表示t期第n個變量的殘差和標準殘差，ε1t和ξ2t均獨立同分布，Ωt-1表示t-1期信息集，Copula函數(shù)Ct(Φ(ξ1t).Φ(ξ2t)|It-1)表示t期兩個隨機變量R1t和R2t之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，Φ(·)為標準一元正態(tài)分布函數(shù)。

Archimedean Copula函數(shù)有一個重要特性，即Kendall秩相關(guān)系數(shù)均τ為單參數(shù)Copula函數(shù)參數(shù)θ的解析函數(shù)。對于Gumbel Copula函數(shù)，Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ、參數(shù)θ及上尾相關(guān)數(shù)λu三者的關(guān)系是：θ=1/(1-τ)，λtt=2-21/θ；對于Clayton Copula函數(shù)，Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ、參數(shù)θ及下尾相關(guān)數(shù)λl三者的關(guān)系是：θ=2τ/(1-τ)，λl=2-1/θ。

由于本文考慮到現(xiàn)貨和期貨資產(chǎn)價格在上升和下降時的不同情況，因此我們選取上尾相關(guān)數(shù)λu和下尾相關(guān)數(shù)λl的平均數(shù)作為期貨和現(xiàn)貨的相關(guān)系數(shù)，以計算最優(yōu)套期保值比率。此時，最優(yōu)套期保值比率的計算公式為：

其中λit和λl分別表示上尾相關(guān)數(shù)和下尾相關(guān)數(shù)，而σs,t和σf,t分別表示現(xiàn)貨和期貨時變的標準差。

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)來源及處理

本文選取自2007年5月1日至2010年4月30日期間歐元、英鎊現(xiàn)貨和期貨數(shù)據(jù)，除去缺失數(shù)據(jù)，共計751對日數(shù)據(jù)，其中2007年5月1日至2009年12月31日共計668對日數(shù)據(jù)為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，用于計算套期保值比率；2010年1月1日至2010年4月30日共計83對日數(shù)據(jù)為樣本外數(shù)據(jù)，以此對比各模型的套期保值效果。外匯現(xiàn)貨數(shù)據(jù)是從美國聯(lián)邦儲備委員會網(wǎng)站上（http://www.federalreserve.gov/econresdata/releases/statisticsdata.htm）下載，為紐約中午電匯買入價，均以一外幣折合一美元表示。外匯期貨數(shù)據(jù)來源于美國芝加哥商品交易所CME國際貨幣市場（IMM）日交易報告，選取歐元（EU）、英鎊（GBP）的收盤價，具體是從華爾街日報上手工收集，均以一外幣折合一美元表示。為避免價格異動和實物交割，不選取交割月份的期貨合約，因此，前一年12月份和本年1、2月份交易本年3月份的期貨合約，本年3、4、5月份交易本年6月份的期貨合約，本年6、7、8月份交易本年9月份的期貨合約，而本年9、10、11月份交易本年12月份期貨合約，這樣就可以構(gòu)造出一個連續(xù)的期貨價格序列。

在平穩(wěn)性檢驗和協(xié)整檢驗之前，我們首先計算出各貨幣收益率序列的“對數(shù)收益率”，即對原序列作一階對數(shù)逐期查分，△lnRt=lnRt-lnRt-1，再對各收益率序列進行統(tǒng)計特征描述，從而得到各貨幣收益率數(shù)據(jù)描述統(tǒng)計表，具體結(jié)果見表1。

從表1中可見，對比各貨幣收益率的均值發(fā)現(xiàn)歐元、英鎊現(xiàn)貨和期貨收益率的均值在0附近，其中歐元現(xiàn)貨和期貨的均值大于0，而英鎊現(xiàn)貨和期貨的均值小于0，歐元現(xiàn)貨均值最高，其值為7.86E-05，而英鎊期貨收益率均值最低，其對應(yīng)的值為-0.000320。在偏度上，歐元現(xiàn)貨的偏度值大于零，右偏，而歐元期貨和英鎊現(xiàn)貨、期貨收益率的偏度值均小于零，左偏。在峰度上，各貨幣現(xiàn)貨、期貨收益率均大于3，說明它們都呈現(xiàn)出尖峰厚尾的形態(tài)。J-B統(tǒng)計量檢驗證實這四個收益率序列都不符合正態(tài)分布?？傊瑲W元、英鎊的現(xiàn)貨和期貨收益率序列均呈現(xiàn)時變、尖峰厚尾等分布特征。

表1 收益率序列基本統(tǒng)計特征

2.2 平穩(wěn)性及協(xié)整檢驗

首先，對各貨幣收益率序列分別進行單位根檢驗，檢驗結(jié)果表明，在1%顯著性水平下，歐元現(xiàn)貨和期貨收益率序列ADF統(tǒng)計量的值分別為-25.71276、-25.51398，均小于1%顯著性水平下對應(yīng)的臨界值-3.439940和-3.439940，說明歐元現(xiàn)貨和期貨收益率序列均為平穩(wěn)序列；對英鎊現(xiàn)貨和期貨收益率序列進行單位根檢驗，ADF統(tǒng)計量的值分別為-25.21986和-24.03839，同樣小于1%顯著性水平下對應(yīng)的臨界值-3.439940和-3.439940，這表明英鎊現(xiàn)貨和期貨也是平穩(wěn)性序列。

其次，采用Engle-Granger提出的E-G兩步法來檢驗各貨幣現(xiàn)貨和期貨之間的協(xié)整關(guān)系。E-G兩步法協(xié)整檢驗從檢驗對象上可分為兩種：一種是基于回歸系數(shù)的協(xié)整檢驗，即Johansen協(xié)整檢驗；另一種是基于回歸殘差的協(xié)整檢驗，如CRDW檢驗、DF檢驗、ADF檢驗。本文采用第二種方法檢驗現(xiàn)貨和期貨間的協(xié)整關(guān)系。先使用OLS線性回歸方法對各貨幣現(xiàn)貨和期貨收益率進行簡單線性回歸，再對線性回歸方程的殘差進行單位根ADF檢驗，計算結(jié)果表明，在1%顯著性水平下，兩個線性回歸方程的殘差A(yù)DF統(tǒng)計量的值分別為-23.92534和-23.30802，均小于1%顯著性水平對應(yīng)的臨界值-3.439970和-3.439970，因此可以認為線性回歸后方程的殘差為平穩(wěn)序列，由此表明歐元的現(xiàn)貨和期貨以及英鎊的現(xiàn)貨和期貨之間都存在長期穩(wěn)定的協(xié)整關(guān)系。

2.3 Copula-GARCH模型估計

表2 GARCH(1,1)模型估計結(jié)果

我們首先分別對各貨幣收益率序列進行線性回歸分析，建立均值方程，并檢驗殘差的自相關(guān)性和ARCH效應(yīng)，結(jié)果表明，各均值方程不存在自相關(guān)性，但都存在ARCH效應(yīng)。為消除均值方程存在的ARCH效應(yīng)，我們使用GARCH(p,q)模型描述各貨幣現(xiàn)貨和期貨收益率序列的邊緣分布。一般而言，GARCH(1,1)模型形式最簡單，在實際應(yīng)用中也最為常用，能夠很好地滿足建模要求，因此本文選用GARCH(1,1)模型描述變量的邊緣分布，模型估計結(jié)果見表2。

從表2中可見，除常數(shù)項外，GARCH(1,1)模型的參數(shù)在5%顯著性水平上均是顯著的。檢驗各貨幣現(xiàn)貨和期貨收益率序列GARCH(1,1)模型的自相關(guān)性和ARCH效應(yīng)，檢驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)均不存在序列自相關(guān)和ARCH效應(yīng)，且各模型α+β＜1，說明GARCH(1,1)模型是寬平穩(wěn)的，且擬合效果較好，能夠較好地描述各貨幣現(xiàn)貨和期貨收益率序列的邊緣分布。使用QQ圖擬合各GARCH(1,1)模型標準殘差的分布，結(jié)果表明，使用正態(tài)分布擬合效果較好。再對標準殘差序列進行概率積分變換，運用K-S檢驗方法檢驗概率積分變換后的序列是否服從(0,1)均勻分布從而得到K-S檢驗統(tǒng)計量對應(yīng)的概率值，從表2中可見，K-S檢驗統(tǒng)計量對應(yīng)的概率值均不顯著，因此無充分理由拒絕“變換后的序列服從(0,1)均勻分布”的零假設(shè)。此外，檢驗概率積分變換后標準殘差序列的自相關(guān)性，結(jié)果表明，各標準殘差序列均不存在自相關(guān)，說明概率積分變換后的序列是相互獨立的，因此使用GARCH(1,1)模型估計得到邊緣分布的標準殘差序列均服從i.i.d(0,1)均勻分布，滿足Copula-GARCH的建模要求。

利用MATLAB 7.0軟件編程，分別估計歐元現(xiàn)貨和期貨以及英鎊現(xiàn)貨和期貨之間的Kendall秩相關(guān)系數(shù)，并計算對應(yīng)的Gumbel Copula和Clayton Copula函數(shù)的尾部相關(guān)數(shù)，計算結(jié)果詳見表3。從表3中可見，英鎊現(xiàn)貨和期貨的Kendall秩相關(guān)系數(shù)較高，為0.73697，高于歐元現(xiàn)貨和期貨對應(yīng)的Kendall秩相關(guān)系數(shù)的值0.69033，說明英鎊現(xiàn)貨和期貨間的相關(guān)性比歐元現(xiàn)貨和期貨間的相關(guān)性更強；此外，對比Gumbel Copula和Clayton Copula函數(shù)估計的尾部相關(guān)數(shù)，英鎊現(xiàn)貨和期貨的尾部相關(guān)數(shù)分別為 0.80000和 0.88365，高于歐元現(xiàn)貨和期貨尾部相關(guān)數(shù)對應(yīng)的估計值0.76057和0.85601，說明英鎊現(xiàn)貨和期貨收益率序列的尾部更敏感，更易受到收益率波動的影響。

表3 Copula函數(shù)估計結(jié)果

2.4 不同模型套期保值比率計算結(jié)果

本文使用Gumbel Copula和Clayton Copula函數(shù)的尾部相關(guān)數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的線性相關(guān)數(shù)作為各貨幣現(xiàn)貨和期貨收益率序列之間的相關(guān)系數(shù)，再利用GARCH(1,1)模型計算現(xiàn)貨和期貨收益率序列的波動率，將其帶入最優(yōu)套期保值比率方程(27)，從而求出Copula-GARCH模型的套期保值比率，并與CCC-GARCH模型和ECMGARCH模型計算出的套期保值比率相比較，計算結(jié)果如表4所示。

表4 不同模型套期保值比率估計

由于各模型計算出的套期保值比率均為動態(tài)套期保值比率，因篇幅限制，無法具體列出，因此本文只對比其均值和方差。從表4中可見，對于歐元期貨，Copula-GARCH模型套期保值比率的均值和標準差最小，其值分別為0.815335和0.046425，均小于其他模型對應(yīng)的計算結(jié)果，其次為CCCGARCH模型，而ECM-GARCH模型計算出的均值最大，且標準差最大，其值分別為0.961102和0.080238，由此可見，使用Copula-GARCH模型能夠獲得最優(yōu)套期保值比率，且波動性最??；對于英鎊期貨，Copula-GARCH模型計算的套期保值比率均值和標準差最小，其值分別為 0.847049和0.065567，其次為CCC-GARCH模型，而ECM-GARCH模型計算出的均值和標準差最大，同樣說明Copula-GARCH模型能夠獲得最優(yōu)套期保值比率，且波動性最小。綜上，運用Copula-GARCH模型計算出的套期保值比率最優(yōu)，波動性最小，能夠顯著降低套期保值者的套期保值成本。此外，對比歐元和英鎊期貨各模型計算出的套期保值比率的均值和標準差，結(jié)果表明，歐元期貨相對于英鎊期貨具有較小的套期保值比率且波動性相對較小，說明相對于英鎊期貨而言，對歐元期貨進行套期保值，其套期保值成本低且風險較小。

2.5 套期保值效果對比

Lien(2002)給出了套期保值績效的衡量指標，即和未參與套期保值時收益方差相比，參與套期保值后收益方差的減少程度，計算公式如下：

其中，He為套期保值績效指標，Var(ut)為未進行套期保值現(xiàn)貨收益率的方差，Var(ht)為套期保值組合收益率的方差。套期保值績效指標He越大，說明其套期保值效果越好。不同模型套期保值效果的計算結(jié)果見表5。

表5 不同模型套期保值效果對比

從表5中可見，在樣本內(nèi)，對于歐元期貨，Copula-GARCH模型的套期保值績效He最大，其值為0.74134，說明其套期保值效果最好，其次為CCC-GARCH模型，而ECMGARCH計算的套期保值績效He最小，其值為0.72882，說明其套期保值效果最差；對于英鎊期貨，也可以得到同樣結(jié)論。在樣本外，對于歐元期貨，Copula-GARCH模型的套期保值績效He最大，其值為0.79355，說明其套期保值效果最好，其次為CCC-GARCH模型和ECM-GARCH模型；對于英鎊期貨，CCC-GARCH模型的套期保值績效He的值為0.88423，略大于Copula-GARCH模型對應(yīng)的值0.88226，說明CCCGARCH模型在樣本外具有較好的套期保值效果，而ECMGARCH模型的套期保值績效He最小，其套期保值效果相對較差。此外，樣本外的套期保值效果好于樣本內(nèi)的套期保值效果；在樣本內(nèi)和樣本外，對比歐元期貨和英鎊期貨的套期保值績效He，計算結(jié)果表明，英鎊期貨的套期保值績效He均大于歐元期貨的套期保值績效He，說明使用不同模型對英鎊期貨進行套期保值，套期保值效果好于歐元期貨的套期保值效果。

總之，與CCC-GARCH模型和ECM-GARCH模型相比，運用Copula-GARCH模型能獲得相對較好的套期保值效果。

3 結(jié)論

最優(yōu)套期比率的確定是套期保值操作中的一個十分重要的問題。本文使用Copula-GARCH、CCC-GARCH和ECMGARCH等三類模型分析比較了歐元和英鎊兩類期貨的動態(tài)套期保值比率，并且評價了它們的套期保值效果，通過實證分析得出了如下結(jié)論：

（1）歐元現(xiàn)貨和期貨收益率以及英鎊現(xiàn)貨和期貨的收益率均為平穩(wěn)性時間序列，且相同貨幣的現(xiàn)貨和期貨收益率之間存在協(xié)整關(guān)系，具有長期的穩(wěn)定性。

（2）運用Copula-GARCH模型計算出的套期保值比率最優(yōu)，且套期保值效果相對于其它兩個模型而言較好。在實際套期保值操作過程中，企業(yè)可考慮使用Copula-GARCH模型估計的套期保值比率來規(guī)避外匯風險，從而降低套期保值成本，獲得較好的套期保值效果。

由于本文未考慮到交易成本、資金限制等現(xiàn)實問題，且只考慮了一對一的套期保值策略，因此仍存在一些不足。未來研究將考慮以上因素深入探討最優(yōu)套期保值比率問題，使其更符合企業(yè)運用外匯期貨進行套期保值的實際需要。

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