縱橫荷載下單樁地基反力法的半解析解

張 磊，龔曉南，俞建霖

(1.浙江大學(xué)軟弱土與環(huán)境土工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，310058杭州，zh888lei@tom.com; 2.西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院，710055西安)

縱橫荷載作用下，不僅其水平荷載將使樁身產(chǎn)生較大的變形和內(nèi)力，縱向荷載也將因樁身的側(cè)向變形而產(chǎn)生附加彎矩(即P－Δ效應(yīng))，而這一附加彎矩又將促使側(cè)向變形進(jìn)一步增大，尤其當(dāng)?shù)鼗临|(zhì)較差、荷載及地面以上樁長(zhǎng)較大時(shí)，附加的彎矩和變形更為明顯.文獻(xiàn)［1－6］分別用實(shí)驗(yàn)方法和有限元法進(jìn)行了研究，并得到很多有益的結(jié)論.1977年，日本學(xué)者橫山幸滿［7］給出了縱橫向荷載下地基反力系數(shù)為常數(shù)時(shí)長(zhǎng)單樁的解析解，并指出應(yīng)力迭加原理不適用于縱橫荷載共同作用下的基樁計(jì)算分析.當(dāng)?shù)鼗戳ο禂?shù)沿深度線性增加時(shí)，趙明華［8］和王哲等［9］給出了冪級(jí)數(shù)解，李微哲等［10］給出了單、多層地基中考慮樁身初始微傾斜的冪級(jí)數(shù)解，Han等［11］用變分法分析了考慮樁身橫觀各向同性時(shí)樁的響應(yīng).但是，考慮到土的強(qiáng)度隨深度的增加而增大、土體變形的非線性、土的屈服以及樁身側(cè)向變形隨深度的增加而減小等特點(diǎn)［12］，簡(jiǎn)單地假定地基反力系數(shù)沿深度不變或線性增加并不符合實(shí)際情況.另外，考慮到一些粘性土以及巖石在地表處也呈現(xiàn)出一定抗力的情況，地基反力系數(shù)在地表處可以不為零.許多學(xué)者據(jù)此針對(duì)水平荷載作用提出了地基反力系數(shù)的一般形式［13－15］，并指出地表處土反力和地基反力系數(shù)沿深度的分布形式對(duì)樁的響應(yīng)影響很大.然而，目前既考慮P－Δ效應(yīng)又考慮地基反力系數(shù)一般形式的研究未見報(bào)道.

本文在研究縱橫荷載下基樁變形和內(nèi)力時(shí)引入地基反力系數(shù)的一般形式，推導(dǎo)出地面以下樁身的撓曲線微分方程并求得半解析解，結(jié)合自由段樁身的冪級(jí)數(shù)解［9－10］，采用Fortran語言編制了計(jì)算程序.通過與冪級(jí)數(shù)解［9－10］的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比以證明其可靠性，并分析了荷載、地表處土反力和地基反力系數(shù)沿深度的分布形式等因素對(duì)樁身響應(yīng)的影響.

1 控制方程及解

1.1 方程的建立

如圖1所示，一根樁上半段露出地面，下半段垂直沉入土中，其長(zhǎng)度分別為H1和H2.為求解方便，地面以下樁身在C點(diǎn)分成兩段，上段(OC段)和下段(CD段)的長(zhǎng)度分別為l1和l2，l1+l2= H2.在各段上建立坐標(biāo)系.樁頂作用水平力Qp、力矩Mp和縱向力Np.假定自由段分布荷載滿足線性關(guān)系:

式中:k0和k1為與荷載分布有關(guān)的系數(shù).

自由段、OC段和CD段的樁身軸力分別為

式中:f1和f2分別為自由段和地面以下樁段的軸力增長(zhǎng)系數(shù).f1可取為樁身重度與樁橫截面積的乘積;數(shù)值模擬結(jié)果［6］顯示地面以下樁身主要側(cè)向變形段上的軸力沿樁身近似成線性分布，即f2可假定為常數(shù)，其取值方法參閱文獻(xiàn)［9，14］.OC段和CD段地基反力系數(shù)的一般形式［13－15］分別為

式中:m和k分別為比例系數(shù)和指數(shù)，均可通過實(shí)測(cè)或經(jīng)驗(yàn)確定;z0為地表處的當(dāng)量深度.當(dāng)k=0時(shí)，可化為文獻(xiàn)［7］的情況;當(dāng)z0=0且k=1時(shí)，可化為文獻(xiàn)［8－9］的情況.因此文獻(xiàn)［7－9］的研究可視為本文的特例.

圖1 縱橫荷載樁示意圖

在推導(dǎo)方程時(shí)假定:位移以向右為正，轉(zhuǎn)角以向左傾斜為正，彎矩以樁身右側(cè)受壓為正，剪力以繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正.文獻(xiàn)［9－10］給出了自由段樁身的撓曲線微分方程為

式中:u'為樁身位移.

對(duì)于OC段，基于梁在軸、橫向荷載作用下的彎曲理論，可得

式(2)不能求得解析解或冪級(jí)數(shù)解，為求得半解析解需進(jìn)行以下處理，如圖2(a)所示，把OC段分成n1個(gè)等長(zhǎng)的小段.從中任取一段(如第i段)并在其上建立坐標(biāo)系，如圖2(b)所示.假定第i段上樁身軸力和地基反力系數(shù)為常數(shù)，可分別取為

將以上兩式代入式(2)并對(duì)縱坐標(biāo)求一次導(dǎo)數(shù)，得第i段樁身的撓曲微分線方程為

式中:ui″為樁身位移.

同理把CD段分成n2個(gè)等長(zhǎng)的小段，并在第j段上建立坐標(biāo)系，如圖2(c)所示.第j段樁身的撓曲線微分方程為

式中:uj為樁身位移，N3j=Np+f1H1+f2l1+1，2，…，n2.

圖2 地面以下樁身和樁段示意圖

1.2 半解析解

自由段樁身變形和內(nèi)力的冪級(jí)數(shù)解為

式中:U'(z')=［u'(z')，φ'(z')，M'(z')，Q'(z')］T，φ'、M'和Q'分別為z'處樁的轉(zhuǎn)角、彎矩和剪切力;U'p=［up，φp，Mp，Qp］T，表示樁頂?shù)淖冃魏蛢?nèi)力.矩陣Q和矩陣W具體的表達(dá)式已由文獻(xiàn)［8－10］給出.

OC段上第i段樁身變形和內(nèi)力的解為

CD段上第j段樁身變形和內(nèi)力的解為

式(5)～(7)即為初參數(shù)方程，樁頂未知的邊界值可通過樁頂和樁底已知的邊界值，由樁的變形和內(nèi)力在各分界點(diǎn)處的連續(xù)性，采用迭代法求得.而對(duì)于樁身任意點(diǎn)處的變形和內(nèi)力，也可根據(jù)樁頂?shù)倪吔缰涤墒?5)～(7)迭代求得.在編程計(jì)算時(shí)，可適當(dāng)增加n1和n2的值以獲得滿意的精度.可以預(yù)見:當(dāng)n1和n2都趨近無窮大時(shí)，本文解趨向于精確解.另外，樁的最大位移和最大彎矩是設(shè)計(jì)縱橫荷載樁基礎(chǔ)時(shí)工程師最為關(guān)心的2個(gè)參數(shù).樁的最大位移即為已求得的樁頂位移.在求解最大彎矩時(shí)需首先采用二分法自樁頂向下求得第1個(gè)彎矩微分為零的點(diǎn)，然后比較該點(diǎn)和樁頂?shù)膹澗匾缘玫阶畲笾?

2 算例分析

基于以上解，采用Fortran語言編制了計(jì)算程序.為驗(yàn)證解和程序的可靠性，假定z0=0、k=1以與冪級(jí)數(shù)解［8－10］的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.本算例中某橋梁樁基自由段長(zhǎng)度H1=15 m，地面以下長(zhǎng)度H2=30 m，樁的計(jì)算寬度b=1.8 m，抗彎剛度EI=9.275×106kN·m2，比例系數(shù) m=6× 103kN/m4，軸力增長(zhǎng)系數(shù)f1=62.345 kN/m，水平力Qp=300 kN，力矩Mp=200 kN·m，縱向荷載Np=10 000 kN，自由段無分布荷載;樁頂和樁底的邊界條件均為自由.另外為方便計(jì)算，假定樁身軸力自地面至樁底線性減小到零.本文解及已有解計(jì)算出的位移和彎矩沿樁身的分布如圖3所示.

由圖3可見，2種解計(jì)算出的樁身響應(yīng)吻合的很好，故本文解和程序是可靠的.

利用編制的計(jì)算程序，進(jìn)一步分析水平荷載、縱向荷載以及參數(shù)z0和k對(duì)樁的最大位移和最大彎矩的影響.圖4為樁身響應(yīng)與縱向荷載關(guān)系曲線，圖4中有:z0=0.5 m、k=0.8;圖5為不同z0值時(shí)樁身響應(yīng)與參數(shù)k關(guān)系曲線，圖5中有:Qp= 400 kN、Mp=100 kN·m、Np=10 MN.樁和土其他的參數(shù)均保持不變.

圖4表明，當(dāng)縱向荷載不變時(shí)，隨著水平力和力矩的增加，最大位移和最大彎矩都將大幅度增大.當(dāng)水平荷載不變時(shí)，隨著縱向荷載的增加，最大位移和最大彎矩都增大，且當(dāng)縱向荷載較小時(shí)，增加的幅度不大;隨著縱向荷載的增加，最大位移和最大彎矩增加的幅度越來越明顯，從圖中曲線的后半段可以看出，最大位移和最大彎矩隨縱向荷載的增加而急劇增大，此時(shí)樁基已經(jīng)失穩(wěn)，這與文獻(xiàn)［11］的研究成果是一致的.因此當(dāng)縱向荷載和自由段樁長(zhǎng)較大時(shí)，P－Δ效應(yīng)不容忽略.另外還可以看出，當(dāng)水平力和力矩較大時(shí)，縱向荷載的影響也較大，說明水平位移越大，P－Δ效應(yīng)越明顯.圖5(a)表明當(dāng)k＞0且保持不變時(shí)，最大位移隨z0值的增加而減小，這是由于土抵抗側(cè)向變形的能力隨z0值的增加而提高所造成的.圖5(b)表明最大彎矩隨z0值的增加而減小.如圖5所示，最大位移和最大彎矩與參數(shù)k的關(guān)系受z0值的影響很大.

圖3 樁身響應(yīng)分布圖

圖4 樁身響應(yīng)與縱向荷載關(guān)系曲線

圖5 不同z0值時(shí)樁身響應(yīng)與參數(shù)k關(guān)系曲線

3 結(jié)論

1)隨著水平荷載的增加，樁的變形和內(nèi)力均大幅增大.對(duì)于無縫梁的橋臺(tái)樁基，由于伸縮縫的取消，混凝土熱脹冷縮引起的水平荷載將大大增加，其影響在設(shè)計(jì)中需充分考慮.

2)當(dāng)水平荷載和縱向荷載均較小時(shí)，縱向荷載引起的附加變形和附加彎矩很小.但隨著水平荷載和縱向荷載的增加，縱向荷載的影響越來越大，甚至?xí)饦痘Х€(wěn).

3)最大位移和最大彎矩隨z0值的增加而減小.最大位移和最大彎矩與參數(shù)k的關(guān)系受z0值的影響很大.

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