合作博弈隱含連通性假設(shè)述評

應(yīng)思思

(中國傳媒大學(xué)媒體管理學(xué)院，北京 100024)

1 引言

隨著經(jīng)濟(jì)全球化的不斷發(fā)展，全球大部分國家、地區(qū)、產(chǎn)業(yè)、企業(yè)乃至家庭都被巨大的經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)連在一起。尤其是信息革命蔓延至經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域之后，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和經(jīng)濟(jì)行為效率都越來越依賴于經(jīng)濟(jì)主體之間的各種經(jīng)濟(jì)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)。新的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)使得許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會學(xué)家對經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)和社會關(guān)系網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生興趣，同時(shí)吸引了大批學(xué)者討論與經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)緊密聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò)協(xié)同、合作和分享現(xiàn)象。一些新的直接研究網(wǎng)絡(luò)的研究方向開始興起，如網(wǎng)絡(luò)經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會網(wǎng)絡(luò)分析和經(jīng)濟(jì)社會學(xué)等;與此同時(shí)，以討論聯(lián)盟合作為主題的合作博弈理論研究也重新得到關(guān)注。

在上述背景下，本文從經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)連通性的視角對合作博弈理論隱含的連通性假設(shè)做簡單述評，以期為構(gòu)建一種與主流經(jīng)濟(jì)理論相一致的經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)分析理論提供參考。

首先簡單給出經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)和連通性的描述。經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)理論把經(jīng)濟(jì)社會看作一個(gè)大系統(tǒng)。與經(jīng)濟(jì)活動(dòng)密切相關(guān)的物流網(wǎng)絡(luò)、金融網(wǎng)絡(luò)、信息網(wǎng)絡(luò)等統(tǒng)稱為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的廣義中介網(wǎng)絡(luò)。在廣義中介網(wǎng)絡(luò)中，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的各個(gè)經(jīng)濟(jì)元之間擁有與網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)連通性。如兩個(gè)經(jīng)濟(jì)元在物流網(wǎng)絡(luò)中相連通意味著他們之間可進(jìn)行物質(zhì)商品轉(zhuǎn)移，即他們具有物質(zhì)連通性。

2 合作博弈定義及其刻畫

Harsanyi于1966年明確提出的合作博弈定義影響廣泛，被沿用至今。他定義，“如果在一個(gè)博弈中，義務(wù)——協(xié)議、承諾、威脅——具有完全約束力并且是可強(qiáng)制執(zhí)行的，則該博弈稱為是合作的。如果義務(wù)不可強(qiáng)制執(zhí)行，即使局中人之間在博弈前可以溝通，此博弈仍稱為是非合作的?！保?］可以明顯地看出，合作博弈從某種意義上來說是相對于非合作博弈定義的。

實(shí)際上，合作博弈的研究最早在博弈論開山之作《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》中已經(jīng)由von Neumann和Morgenstern進(jìn)行過詳細(xì)的討論［2］。在此基礎(chǔ)上，Nash詳細(xì)討論了非合作博弈［3］。他評論《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》“研究了n人合作博弈理論，該理論是基于對博弈各方不同串謀形式形成的分析而建立起來的”。而將其《非合作博弈》一文討論的“理論建立在沒有聯(lián)盟的基礎(chǔ)之上，也就是假定博弈各方獨(dú)立行動(dòng)，相互之間沒有合作和交流”。

Nash1953年的文章《兩人合作博弈》對研究中的“合作”一詞進(jìn)行了解釋［4］?！拔覀兗僭O(shè)兩個(gè)個(gè)體可以一起討論面臨的情況，并就一個(gè)理性的共同行動(dòng)計(jì)劃達(dá)成一致，也即達(dá)成一個(gè)假定具有強(qiáng)制性的協(xié)議”。這篇文章也提及合作博弈與非合作博弈的差異。他定義“如果參與人不能以任何方式進(jìn)行溝通或合作，這樣的博弈就稱為非合作博弈”，并指出“從某種意義上說，它們正好與合作博弈相反”。

由此可見，合作博弈與非合作博弈的區(qū)分是自博弈論發(fā)展早期就存在的。諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者Aumann在《博弈論手冊》第一卷的序言中討論了兩者特征的差異［5］?！胺呛献鞑┺募锌疾靷€(gè)體的策略選擇”，“合作博弈理論則處理集體的可行選擇”?！耙蚨呛献鞑┺睦碚撁芮嘘P(guān)注定義博弈的詳細(xì)過程和規(guī)則;而合作博弈一般已經(jīng)從這些規(guī)則中抽象出來，只從更一般的描述中研究問題，只明確各種聯(lián)盟能得到什么樣的支付，而不考慮如何得到”?！耙粋€(gè)不太恰當(dāng)?shù)念惐仁恰?，兩者“就像?jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)和物理學(xué)中微觀視角和宏觀視角的關(guān)系”，并且“這兩大研究途徑之間有著十分密切的聯(lián)系，他們相互補(bǔ)充相互加強(qiáng)”。

本文主要討論的合作博弈理論都采用聯(lián)盟型博弈模型，并且都與策略型博弈密切關(guān)聯(lián)。這里首先給出聯(lián)盟型博弈和策略型博弈的定義。

定義1(聯(lián)盟型博弈)一個(gè)聯(lián)盟型博弈是一個(gè)有序數(shù)對(N，V)。N={1，2，… ，n}代表局中人集合，V:2N→?N是一個(gè)特征函數(shù)，將N的每個(gè)子集(稱作聯(lián)盟)S?N與一個(gè)或幾個(gè)|N|維實(shí)向量對應(yīng)。

其中，N={1，2，… ，n}中的元素代表單個(gè)局中人;參與人集合N的任意子集S?N稱作聯(lián)盟。特征函數(shù)V在可轉(zhuǎn)移效用情況下是一個(gè)實(shí)值函數(shù)，v(S)∈?此時(shí)表示聯(lián)盟S的所有成員合作時(shí)能夠獲得的總支付，通常在策略型博弈的效用函數(shù)ui的基礎(chǔ)上通過推導(dǎo)得到。當(dāng)不存在可轉(zhuǎn)移效用時(shí)，特征函數(shù)V將聯(lián)盟S與其效用可能性集V(S)相聯(lián)系，并要求V(S)是包容的非空閉集，表示聯(lián)盟S可以獲得的所有可能支付的集合。

定義2(策略型博弈)形式上，一個(gè)策略型(strategic-form)博弈就是任何一個(gè)具有如下形式的系統(tǒng) Γ［5］:

其中N是一個(gè)非空集，代表局中人集合，對N中的每一個(gè)i，Ci是一個(gè)非空集，且ui是從到實(shí)數(shù)集R的一個(gè)函數(shù)。這里，N是這個(gè)博弈的局中人集。對每個(gè)局中人i，Ci是可供局中人i利用的策略(或純策略)集。在策略型博弈Г進(jìn)行時(shí)，每個(gè)局中人i都必須在集中選擇一個(gè)策略。一個(gè)策略組合(strategy profile)就是N中所有局中人可以選擇的策略的一個(gè)組合。設(shè)C是由所有可能的策略組合所組成的集，則:

對于C中任一策略組合 c=(cj)j∈N，如果 c是局中人所執(zhí)行的策略組合，那么ui(c)就表示此時(shí)局中人i在這個(gè)博弈中將得到的期望效用支付。

3 合作博弈的聯(lián)盟假設(shè)

在合作博弈中，博弈局中人集N的任何一個(gè)非空子集S都可能形成聯(lián)盟(coalition)。一般地，當(dāng)我們說一個(gè)局中人聯(lián)盟的成員可以有效地談判(negotiate effectively)時(shí)，我們的意思是，如果聯(lián)盟成員的策略中存在一個(gè)可行的變化能使他們?nèi)渴芤?，那么他們將同意?shí)際做出這樣一個(gè)變化。除非它與聯(lián)盟中某些成員與聯(lián)盟外的其他局中人之間可能形成的協(xié)議相矛盾［6］。

由合作博弈定義可知，合作博弈區(qū)別于非合作博弈的關(guān)鍵因素在于，合作博弈中存在可有效談判的聯(lián)盟。由于聯(lián)盟的存在，合作博弈的局中人不僅可以采用個(gè)人策略，還擁有與其他聯(lián)盟成員共同實(shí)施相關(guān)策略的能力。換句話說，在合作博弈中，聯(lián)盟的成員相對于聯(lián)盟外的其余局中人而言是相互合作的，而在聯(lián)盟內(nèi)部仍需就聯(lián)盟收益分配進(jìn)行競爭。本文將合作博弈局中人之間的這種多重策略互動(dòng)模式稱為合作競爭。

在合作博弈的研究文獻(xiàn)中，聯(lián)盟都是討論的中心。Aumann在比較合作博弈與非合作博弈特征差異時(shí)提出，合作博弈處理(聯(lián)盟)集體的可行選擇，其研究的主要內(nèi)容是“何種聯(lián)盟會產(chǎn)生?聯(lián)盟的得益如何分配?”［5］事實(shí)上，合作博弈為了集中分析聯(lián)盟合作，犧牲了非合作博弈中發(fā)展的對各種博弈細(xì)節(jié)的刻畫，而將它們抽象為聯(lián)盟特征函數(shù)。從這個(gè)意義上說，合作博弈相對于以策略型和擴(kuò)展型博弈為出發(fā)點(diǎn)的非合作博弈有著完全不同的分析視角。這種視角的差異類似于經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中的宏觀視角與微觀視角的差異。

博弈論研究史上最早對聯(lián)盟進(jìn)行討論和刻畫的是 von Neumann和 Morgenstern［2］。他們在《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》中討論了聯(lián)盟分析所需的基礎(chǔ)假設(shè)，并首先使用特征函數(shù)來刻畫聯(lián)盟。此后，合作博弈研究多以聯(lián)盟型博弈為基礎(chǔ)，由于聯(lián)盟型博弈以特征函數(shù)最為關(guān)鍵，又常被學(xué)者稱為特征函數(shù)型博弈。

從這個(gè)角度來說，博弈論文獻(xiàn)中已研究的博弈可根據(jù)局中人連通性屬性的不同大致分為三大類:嚴(yán)格競爭博弈，非合作博弈和非合作博弈。

嚴(yán)格競爭博弈即二人零和博弈，是連通性結(jié)構(gòu)最為簡單的博弈經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。嚴(yán)格競爭博弈的兩個(gè)局中人擁有完全對立的支付函數(shù)，即ui(ci，cj)=-uj(ci，cj)［7］。這一類博弈的研究為博弈論研究提供了分析的基本概念體系和分析思路。博弈論的早期結(jié)論都是關(guān)于嚴(yán)格競爭博弈提出的，著名的有澤梅羅定理、馮·諾依曼的最小最大定理等等［8］。

非合作博弈對應(yīng)著局中人相互競爭但不存在聯(lián)盟合作的情況，由于不必考慮結(jié)盟可能性對策略連通性的約束，這類博弈問題在這個(gè)意義上來說仍然比合作博弈簡單。非合作博弈中對局中人策略競爭連通性的強(qiáng)調(diào)和討論直接體現(xiàn)在局中人的支付函數(shù)形式上:ui=ui(ci，c-i)，其中-i表示N中除去i之外的所有局中人，c-i則表示除i之外所有局中人的策略組合。具體地說，非合作博弈的效用函數(shù)意味著局中人i的效用不僅取決于i自己的行動(dòng)，也同其他所有局中人-i的行為有聯(lián)系。這也是所有博弈論問題的共同點(diǎn)。因此，非合作博弈實(shí)際上在不考慮聯(lián)盟合作的情況下為一般化的n人博弈問題的探討提供了恰當(dāng)?shù)哪Ｐ推瘘c(diǎn)。當(dāng)博弈規(guī)則轉(zhuǎn)化為二人零和博弈時(shí)，非合作博弈的效用函數(shù)與嚴(yán)格競爭博弈效用函數(shù)有著同樣的形式。

相對于嚴(yán)格競爭博弈和非合作博弈來說，合作博弈是對協(xié)議約束(必然存在合作結(jié)構(gòu))下博弈局中人得益進(jìn)行聚焦的理論。聯(lián)盟成員間的策略連通性同時(shí)具有合作與競爭的雙重屬性，在涉及的策略連通性方面比上述兩種博弈問題都更復(fù)雜。合作博弈中出現(xiàn)的這種策略連通性的復(fù)雜性源自其經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜性，即出現(xiàn)了聯(lián)盟這一介于局中人和博弈全局之間的中間結(jié)構(gòu)。如果說嚴(yán)格競爭博弈和非合作博弈的分析主要集中于局中人個(gè)體分析的層面，那么合作博弈分析則在允許聯(lián)盟結(jié)構(gòu)存在的情況下將重心聚焦于聯(lián)盟合作層面。從經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的角度來看，這是系統(tǒng)層級的飛躍。

正是聯(lián)盟的出現(xiàn)，使得合作博弈局中人在與其余所有局中人競爭的同時(shí)，還必須面對與哪些局中人合作的決策。從經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)連通性的角度來看，站在聯(lián)盟層次對合作進(jìn)行分析，必須同時(shí)考慮所有局中人之間的競爭性策略連通和聯(lián)盟成員間合作性策略連通。

由上述討論不難發(fā)現(xiàn)，合作博弈較非合作博弈和嚴(yán)格競爭博弈而言擁有更復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)層次結(jié)構(gòu)，也相應(yīng)地存在更復(fù)雜的局中人策略連通結(jié)構(gòu)。正如之前提到的，復(fù)雜的根源在于合作博弈的聯(lián)盟層次和與之相應(yīng)的合作與競爭并存的策略連通格局。因此，合作博弈研究無一例外地聚焦于聯(lián)盟分析，為此犧牲了博弈中除支付空間外的所有博弈細(xì)節(jié)，無論是行動(dòng)順序、策略集還是信息集都被抽象掉了。這一處理恰與系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的層級戰(zhàn)略相契合［9］。層級戰(zhàn)略認(rèn)為，在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中考慮第N層系統(tǒng)的問題，須要在第N+1層系統(tǒng)進(jìn)行分析。合作博弈研究則正是通過特征函數(shù)的推導(dǎo)完成了由第N層到第N+1層的自由度歸并，具體推導(dǎo)過程后文將做簡單介紹。最終，合作博弈運(yùn)用特征函數(shù)對各種可能出現(xiàn)的聯(lián)盟情況進(jìn)行刻畫，為聯(lián)盟層次的博弈分析搭建了合適的平臺。

聯(lián)軸器的玻璃鋼中間管是實(shí)現(xiàn)聯(lián)軸器電絕緣的關(guān)鍵部件，玻璃鋼中間體制造好后，需要進(jìn)行絕緣電阻測試，要求玻璃鋼中間體兩端的絕緣電阻不小于10 MΩ(1 000 V DC)。

事實(shí)上，為了保證合作博弈聯(lián)盟層次的存在和穩(wěn)定性，合作博弈研究還根據(jù)需要對博弈系統(tǒng)的其他連通性進(jìn)行了合理假設(shè)。這些連通性假設(shè)的存在使得合作博弈理論更加豐富。

4 合作博弈常用的其他連通性假設(shè)條件

(1)相關(guān)策略

在聯(lián)盟型合作博弈中描述聯(lián)盟，首先需要尋找相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來刻畫聯(lián)盟行動(dòng)以及聯(lián)盟行動(dòng)帶來的效用。為此，合作博弈需要在非合作博弈語言的基礎(chǔ)上發(fā)展與聯(lián)盟相關(guān)的假設(shè)。最直接和基礎(chǔ)的假設(shè)就是博弈中聯(lián)盟成員可通過采取相關(guān)策略進(jìn)行合作。這意味著聯(lián)盟內(nèi)部成員之間存在合作策略連通性。

在從策略型博弈導(dǎo)出聯(lián)盟式博弈的過程中，相關(guān)策略的描述是特征函數(shù)推導(dǎo)的基礎(chǔ)。下面在具可轉(zhuǎn)讓支付的假設(shè)下給出相關(guān)策略的定義。

定義3(相關(guān)策略):形式上，給定任一策略型博弈 Г =(N，(Ci)i∈N，(ui)i∈N)，某些局中人組成的集的一個(gè)基于純策略的相關(guān)策略(correlated strategy)就是，這些局中人在Г中所能選擇的所有純策略組合集上的任何一個(gè)概率分布［6］。也就是說，任給一個(gè)S?N，S的一個(gè)相關(guān)策略是，且中的任何一個(gè)概率分布，其中

定義4(相關(guān)策略期望效用):給定所有局中人在△(Cs)中的任一相關(guān)策略μ，對于每個(gè)局中人i，令Ui(μ)表示當(dāng)μ在博弈Г中被執(zhí)行時(shí)局中人i所能得到的期望支付，則有

在相關(guān)策略假設(shè)的基礎(chǔ)上，Myerson(1991)認(rèn)為，“至少有3種方法可以從n-人策略型博弈中導(dǎo)出合作博弈的特征函數(shù)，分別導(dǎo)出3種特征函數(shù)表示:最小化最大表示(mini-max representation)、防御均衡表示(defensive-equilibrium representation)和理性威脅表示(rational-threats representation) ”［6］。實(shí)際上，所有這三種方法的應(yīng)用，都需要首先明確相關(guān)策略和相關(guān)策略對應(yīng)的局中人期望效用函數(shù)的定義和表示。

以特征函數(shù)的最小化最大表示為例。給定一個(gè)具有可轉(zhuǎn)移效用的策略型博弈(ui)i∈N)，馮·諾依曼和摩根斯特恩［2］提出把特征函數(shù)定義為

這里的NS表示N中不在聯(lián)盟S內(nèi)的所有局中人組成的集。

由此可見前述特征函數(shù)定義v(S)是聯(lián)盟S的成員在對付互補(bǔ)聯(lián)盟NS的最佳攻擊威脅時(shí)所能保證得到的最大效用支付和。如果v(S)滿足上述式子，我們就稱v為具有可轉(zhuǎn)讓效用的策略型博弈Γ的聯(lián)盟型最小化最大表示。

在上面的特征函數(shù)推導(dǎo)過程中，相關(guān)策略是推導(dǎo)的基本要素。

合作博弈允許聯(lián)盟成員采取相關(guān)策略是針對局中人策略集做出的假定，因此在已經(jīng)拋棄策略描述的聯(lián)盟式博弈中不可能得到直接體現(xiàn)，而只能在由策略型博弈誘導(dǎo)的聯(lián)盟型博弈特征函數(shù)的表達(dá)式中，通過局中人期望效用的計(jì)算間接地顯現(xiàn)。

由于相關(guān)策略是將聯(lián)盟中所有成員采用策略進(jìn)行關(guān)聯(lián)后得到的，其存在內(nèi)生地在聯(lián)盟內(nèi)部搭建起了一種策略中介網(wǎng)絡(luò)。這使得聯(lián)盟全體成員具有全局策略連通性，并且這種連通性更接近于聯(lián)盟全體成員的協(xié)調(diào)連通。這從相關(guān)策略的形式中也可以看出。

表1 相關(guān)策略與混合策略組合的比較

因此，相關(guān)策略假設(shè)實(shí)際上意味著所有可形成聯(lián)盟的成員之間都存在策略的協(xié)調(diào)連通性，以此強(qiáng)調(diào)聯(lián)盟中存在具有約束力的協(xié)議。

(2)可轉(zhuǎn)讓效用

在合作博弈聯(lián)盟型框架中，研究者為了簡潔描述博弈所處的特定底層社會或經(jīng)濟(jì)情況，常常同時(shí)采用可轉(zhuǎn)讓效用(transferable utility，簡稱TU)和附加支付(side payment，簡稱SP)這兩個(gè)假設(shè)條件，以構(gòu)建符合要求的效用理論。采用這種假設(shè)的聯(lián)盟式合作博弈吸引了眾多合作博弈研究者，這類博弈的研究也擁有了相對于其他合作博弈而言更為豐富的文獻(xiàn)和正式結(jié)論，因而在合作博弈研究中占據(jù)重要地位。我們通常將同時(shí)運(yùn)用TU和SP假設(shè)的合作博弈稱作具有可轉(zhuǎn)讓效用的博弈(TU games)或者具附加支付或旁支付的博弈(games with side payment);而將不采用這兩個(gè)假設(shè)的合作博弈稱作不具可轉(zhuǎn)讓效用博弈(games without transferable utility)或者不具附加支付(或旁支付)的博弈(games without side payment)。本文主要分析TU博弈，借此對TU和SP假設(shè)作簡要述評。

前面已經(jīng)給出TU博弈的定義，也曾討論由策略型博弈誘導(dǎo)的TU博弈特征函數(shù)。由其特征函數(shù)形式v(S):2N→?可知，TU博弈僅用一個(gè)實(shí)數(shù)就概述了某個(gè)聯(lián)盟的可得結(jié)果，即聯(lián)盟可達(dá)到的總支付。為使該特征函數(shù)v(S)有意義，TU和SP缺一不可。

SP簡單指博弈除去規(guī)則內(nèi)生的任何支付之外，允許進(jìn)行附加支付。

TU則在SP的基礎(chǔ)上，假定存在一種無限可分且承載著效用的合意商品(一般等價(jià)物，比如貨幣)，作為聯(lián)盟型博弈特征函數(shù)的測度單位，并且每一單位該種商品的轉(zhuǎn)移都會帶來轉(zhuǎn)出者一單位效用的減少和接受者一單位效用的增加。因此效用可通過該種商品的流通而在局中人之間無損失地轉(zhuǎn)移。這一情況也被稱作效用是“無條件轉(zhuǎn)移(unrestrictedly transferable)”的。

需要注意的是，可轉(zhuǎn)讓效用這個(gè)術(shù)語并不意味著效用可以直接在兩個(gè)局中人間轉(zhuǎn)移。效用作為一個(gè)派生概念是附著于商品之上的，不可能直接轉(zhuǎn)移，而只能通過商品的轉(zhuǎn)移而改變相關(guān)局中人的效用水平。而這種效用水平一增一減的現(xiàn)象，可以形象地看作效用在發(fā)生轉(zhuǎn)移，從效用減少的一方轉(zhuǎn)移到了效用增加的另一方。

根據(jù)馮·諾依曼和摩根斯特恩［2］，一個(gè)具有TU和SP的聯(lián)盟型合作博弈定義如下。

定義5(TU博弈)二元組(N，v)是一個(gè)具可轉(zhuǎn)移支付的聯(lián)盟式合作博弈(a cooperative game in characteristic function form with transferable utilities)，如果N是一個(gè)有限的參與人集合，V:2N→?是一個(gè)特征函數(shù)，它將聯(lián)盟可獲得的最大收益v(S)賦予每一個(gè)聯(lián)盟S?N，且滿足v(?)=0。

其中v(N)表示博弈中所有參與人集體(大聯(lián)盟)創(chuàng)造的總財(cái)富。而價(jià)值的分配就是一個(gè)支付向量 x∈?n，它滿足。

一般的n人聯(lián)盟型合作博弈在博弈情況的刻畫問題上有著極大的復(fù)雜性。為了最大程度地簡化可能出現(xiàn)的聯(lián)盟情況，研究者們希望通過假設(shè)得到聯(lián)盟總得益的惟一測度，并將其作為特定聯(lián)盟博弈的特征函數(shù)值。TU和SP的同時(shí)使用能夠充分達(dá)到這個(gè)效果。

如前面提到的，TU與SP允許聯(lián)盟總得益可在聯(lián)盟成員內(nèi)部任意分配。這令聯(lián)盟可得的最大總支付作為一個(gè)實(shí)值量有意義且惟一，盡管略去了同一聯(lián)盟中成員得益分配可能出現(xiàn)的差異。

然而達(dá)到方便聯(lián)盟分析目的的同時(shí)，這些假設(shè)仍有著內(nèi)在的特定局限性。有文獻(xiàn)提出SP假設(shè)可能改變原有博弈的解［13］，因?yàn)樗拇嬖诖蟠髲?qiáng)化了聯(lián)盟成員間的策略連通性，進(jìn)而強(qiáng)化了某些聯(lián)盟出現(xiàn)的可能性。馮·諾依曼和摩根斯特恩在初次使用SP時(shí)就對于這種影響進(jìn)行了詳細(xì)描述［2］。

而TU在20世紀(jì)60年代也被證明是相當(dāng)嚴(yán)格的條件，因?yàn)樗鼘?shí)際上要求聯(lián)盟內(nèi)所有成員對于貨幣的效用函數(shù)都是擬線性的，即博弈局中人的偏好必須采用基數(shù)效用函數(shù)表示。這一點(diǎn)可以從具有TU的策略博弈效用函數(shù)Ui(cs)=ui(cs)+x中看出。

這在經(jīng)濟(jì)學(xué)理論術(shù)語中稱為“擬線性效用加假設(shè)”，該假設(shè)條件下意味著聯(lián)系不同市場的收入效應(yīng)不存在。因此如果在市場博弈中采用TU假設(shè)，該博弈只能描述市場的局部均衡情況，無法同時(shí)討論多個(gè)市場。這使得TU博弈無法完整描述大型經(jīng)濟(jì)的一般均衡情況。

鑒于SP和TU內(nèi)在的這些局限性，Aumann和Peleg同時(shí)拋棄了TU和SP，在NTU博弈基礎(chǔ)上發(fā)展了聯(lián)盟式博弈的概念體系和部分解概念［11］［12］。NTU博弈此后被普遍應(yīng)用于大型市場博弈分析。

在由博弈誘導(dǎo)的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)框架中，TU和SP假設(shè)意味著在原有局中人得益空間基礎(chǔ)上并上一個(gè)“貨幣-效用流通”空間。這是一個(gè)對應(yīng)于局中人集的貨幣資源分布空間，而在這個(gè)空間里，每一對局中人的對應(yīng)貨幣資源點(diǎn)之間都存在著連通性。即存在一族作用gkij:X2→X2，對于任意選擇的i和j屬于聯(lián)盟 S，滿足，其中 kij滿足

這樣，我們就得到一個(gè)定義在聯(lián)盟S上的封閉但具有全局連通性的貨幣資源空間，空間中的貨幣總量守恒。于是聯(lián)盟總效用必然有上確界，即該聯(lián)盟所能得到的最高得益總量，可用于概述聯(lián)盟的效用特征。

正是因?yàn)镾P和TU的存在，我們可以推斷聯(lián)盟型合作博弈中隱含的效用連通性狀況。也正是這種理想化的連通性假設(shè)，在與之相關(guān)的大量文獻(xiàn)中達(dá)到有效描述某種現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)(如市場博弈)的目的的同時(shí)，充分證明連通性結(jié)構(gòu)會對經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)產(chǎn)生重要影響。

(3)超可加性

基于聯(lián)盟式合作博弈的研究還常常假設(shè)特征函數(shù)v或V擁有分別定義的超可加性。事實(shí)上1944年馮·諾依曼和摩根斯特恩就在討論一般非零和博弈的特征函數(shù)時(shí)提到，他們提出的特征函數(shù)具有超可加性［2］。這是關(guān)于特征函數(shù)可加性的最早論述。

接下來簡要介紹在TU和SP條件下聯(lián)盟式博弈特征函數(shù)的超可加性假設(shè)和來自連通性視角的可加性解讀。首先給出特征函數(shù)的超可加性的定義。

定義6(特征函數(shù)的超可加性)給定聯(lián)盟型博弈Г=(N，v)，當(dāng)且僅當(dāng)每一對屬于N的聯(lián)盟S和T都滿足命題“如果 S∩T=?，則 v(S∪T)≥v(S)+v(T)”，稱特征函數(shù)v是超可加的(super-additive)，并稱博弈(N，v)是超可加博弈。

由定義可知，在超可加博弈中，不相交聯(lián)盟間的合并必然增加他們的特征函數(shù)值?？梢宰C明，如果v是前文介紹過的策略型博弈的最大最小化表示，則v一定是超可加的。其他表示則不一定。

還需要注意的是，對于任意一個(gè)聯(lián)盟型博弈，我們都能通過“超可加覆蓋”［6］定義一個(gè)與之相應(yīng)的超可加博弈。這令超可加性假設(shè)擁有了更廣泛的應(yīng)用空間。

正如前面所介紹的，超可加性意味著超可加博弈中任何不相交聯(lián)盟進(jìn)行聯(lián)合行動(dòng)的價(jià)值至少與他們各自行動(dòng)的價(jià)值一樣大。許多學(xué)者運(yùn)用超可加性假設(shè)來達(dá)到大聯(lián)盟N最終形成的狀態(tài)。Hart和Kurz對此寫道:“我們設(shè)社會作為一個(gè)整體是有效地運(yùn)轉(zhuǎn)的，并將其作為一個(gè)假定;我們要設(shè)法解決的問題是收益是如何在成員中分配的。帶著這樣的視角，聯(lián)盟并非是為了成員獲得他們的價(jià)值后離開博弈而形成的。相反，他們將留在博弈中作為一個(gè)聯(lián)合體與其他所有局中人談判。［14］”這也可以視作是對合作博弈定義所強(qiáng)調(diào)的“存在具有約束力的協(xié)議”的一種詮釋。

圖1 聯(lián)盟S形成時(shí)局中人合作連通性示意圖

需要注意的是，Hart和Kurz將超可加性解釋為假定社會運(yùn)作是有效的［14］。這種解釋同經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)框架中涉及的基于連通性的“有效”概念是一致的。連通性視角下，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)由硬部和軟部兩大部分組成，而連通性就是因軟部而存在的。在TU和SP條件下的聯(lián)盟型合作博弈也可以被視作一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，其中局中人和聯(lián)盟就是系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)元，屬于硬部，而他們之間的各種聯(lián)系都屬于軟部。在這個(gè)系統(tǒng)中，TU和SP共同描述了經(jīng)濟(jì)元(局中人和聯(lián)盟)效用空間上的連通性狀況。在這種解釋下，超可加性描述的實(shí)際上是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)得以維系的系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)條件，即“整體大于部分之和”。而整體較部分之和多出的部分就是前面所說的軟部，即提供各種連通性的部分，或者也可以說整體價(jià)值與部分價(jià)值之和的差值都是軟部的貢獻(xiàn)。

從這個(gè)意義上來說，具有TU和SP假設(shè)的聯(lián)盟式超可加博弈與經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)框架實(shí)際上是對類似經(jīng)濟(jì)狀態(tài)的不同描繪。而在由這類博弈所誘導(dǎo)出的對應(yīng)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，連通性存在的原因相對清晰，特定連通性帶來的價(jià)值也能得到定量的測度。圖1至圖3大致描述了超可加性博弈可能形成的聯(lián)盟S、T和S∪T與它們形成時(shí)的局中人合作連通性情況。

如果將超可加性的判定表達(dá)式v(S∩T)≥v(S)+v(T)進(jìn)行改寫，可得到不等式v(S∩T)-v(S)-v(T)≥0。

不等式左邊就可以作為連通性價(jià)值的度量，而這個(gè)超可加性判定式則意味著超可加博弈中連通性價(jià)值必然非負(fù)。這顯然與經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的維系條件相一致。因此超可加性如果被解釋為假定社會是有效運(yùn)作的，其中的有效概念也與經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的“系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)”這一效率概念一致。

5 小結(jié)

經(jīng)過簡單的評述，我們從經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)連通性的角度對合作博弈中涉及的幾種連通性假設(shè)進(jìn)行了討論。其中最重要的是聯(lián)盟內(nèi)部連通性假設(shè)，這一假設(shè)實(shí)際上是通過相關(guān)策略、TU與SP以及超可加性等常用假設(shè)來保證的。在此基礎(chǔ)上，我們找到一種與經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)模型相一致的合作博弈，他們同時(shí)滿足上面提到的所有假定。文中詳細(xì)討論了其中最典型的一類，即由策略博弈誘導(dǎo)的聯(lián)盟型博弈?？梢钥隙?，這類博弈可以方便地表示為一個(gè)擁有完全貨幣-效用連通性的有效運(yùn)作的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。這為發(fā)展一套能夠刻畫經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)模型提供了一個(gè)可能的起點(diǎn)。

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